高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测含解析

??≥ 0 .
A.3
B.2
C.-2
D.-3
解析 :由约束条件画出可行域 ,如图阴影部分所示 .
线性目标函数 z=ax+y ,即 y=-ax+z.
设直线 l 0:ax+y= 0.
当 -a≥ 1,即 a≤ -1 时 ,l0 过 O(0,0)时 ,z 取得最大值 ,zmax= 0+ 0= 0,不合题意 ;
模块综合检测
(时间 :120 分钟 满分 :150 分)
一、选择题 (本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中
项是符合题目要求的 )
1.已知 a∈R ,且 a2+a< 0,则-a,-a3,a2的大小关系是 (
)
A. a2>-a 3>-a C.-a3>a 2>-a
解析 :画出约束条件对应的平面区域 (如图 ),点 A 为 (1,3),要使 ????最大 ,则 ????--00最大 ,即过点 (x,y),(0,0) 两点的
直线斜率最大 ,由图形知当该直线过点
A
时
,(
??
??)
max
=
3 -0
1 -0= 3.
答案 :3
16.①数列 { an} 的前
n 项和
Sn=n
即 an+ 1= 4an(n≥ 2).
故 n≥2 时 ,{ an} 是以 a2 为首项 ,以 4 为公比的等比数列 . ∵a2= 3S1= 3a1= 3,∴ ??2 = 3≠4.
??1
∴a1 不在上述等比数列里面 .
∴数列 { an} 的通项公式为
1 (??= 1),
a
n=
{
3
·4 ??-2
(
??≥
在 △ABC 中 ,由余弦定理 ,得
4
BC2=AB 2+AC 2-2AB·AC ·cos∠BAC = 122+ 202- 2×12×20×cos 120°= 784.
A. 一解
B. 两解
C.一解或两解
D.无解
解析 :在 △ABC 中 ,a<b ,A= 45° < 90° .
由 a>b sin 45° = 50√2,知此三角形有两解 .
,只有一
) ()
1
答案 :B
7.设 x∈ R,记不超过
x 的最大整数为
[x],令 {
x} =x-
√5+1
[x],则 { 2
}
, [ √5+1
2
故 ).
a6= 3 ×44.
答案 :A
2
12.已知 a,b,a+b 成等差数列 ,a,b,ab 成等比数列 ,且 0< log m(ab)< 1,则 m 的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.(1, + ∞,b,a+b 成等差数列 ,∴2b= 2a+b ,b= 2a.
2
]
, √5+1
2
(
)
A. 是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析 :可分别求得
[ √5+1
√5+1
] = 1,{
}
2
2
=
√5- 1
2 ,则由等比数列性质易得三者构成等比数列
.
答案 :B
8.在 △ABC 中,AB= √3 ,AC= 1,B= 30°,则 △ABC 的面积等于 ( )
A. a3+a 7> 2a5
B.a3+a 7< 2a5
C.a3+a 7= 2a5
D.a3+a 7 与 2a5 的大小和 a 有关
解析 :由题意知 ,a3=a 3>0,a7=a 7> 0,a5=a 5> 0,
∴a3+a 7≥ 2√ ?3?·??7 =2a5.
又 a> 0,a≠1,∴等号不成立 .
故 a3+a 7>2a5.
3
2
bn+ 1= 2????+1-1 =
2
2 ( 1 -4?1???) -1 =
2
2????-1+
2
=b
n+
2,∴
{
bn}
是公差为
④中当 n= 1 时 ,a1= 22 =4,不满足 an= 2n-1,
∴④ 错误 .
2 的等差数列
,故③错误 ;
答案 :①
三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
答案 :A
4.在 △ABC 中,若 2cos Bsin A= sin C,则 △ABC 的形状是
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理、余弦定理得
2·??2
+??2 -??2 2????
·a=c
,整理得
a=b ,故 △ABC 为等腰三角形
.
答案 :B
5.已知向量 a= (3, -2),b = (x,y-1),若 a∥b ,则 4x+ 8y 的最小值为 (
,得
cos
A=
???2?+???2?-???2? =
2???·?????
9+25 -49 1
2× 3×５=- 2.
因为 0° <A< 180°,所以 A= 120° .
18.(12 分 )已知等比数列 { an} 的各项均为正数 ,且 2a1+ 3a2 =1,??32 = 9a2a6.
(1) 求数列 { an} 的通项公式 ;
sin?? 3
17.(10 分 )△ABC 中 ,BC= 7,AB= 3,且 sin?? =
.
5
(1) 求 AC 的长度 ;
(2) 求角 A 的大小 .
解 :(1)由正弦定理
,得
????
=
????
,
sin?? sin??
即
????
????=
sin??
sin?? =
3
5.故
5×３
AC= 3 = 5.
(2)由余弦定理
)
A. √2
B.4√2
C.2√2
D.2
解析 :∵a∥b ,∴3(y-1)-(-2)x= 0,
∴2x+ 3y= 3.
故 4x+ 8y=22x+ 23y≥ 2√２2??+3??= 2√２3 = 4√2,当且仅当
2x= 3y,即
x=
3
4,y=
1时,
2
等号成立
.
答案 :B
6.在 △ABC 中,若 a= 80,b= 100,A= 45° ,则此三角形的解的情况是 ( )
≥
?? 4??+1
=
1
1
4+
1≥
??
5,当且仅当
n= 1 时等号成立 ,故 ①正确 ;
∵
an+
1=
2
a
n-1,∴
a
n+
1-
1=
2(
an-1),∴
????+1????-1
1
=
2
.
∴{ an-1} 是等比数列 ,an-1= 2n-1.∴an =2n-1+ 1,
a11= 210+ 1= 1 025,故 ②错误 ;
2+
2n
(n
∈
N
+
),
则
1 ????+1
+
1
11
????+2+ … + ??2?? ≥ 5 ;
②数列 { an} 满足 a1= 2,an+1 = 2an-1( n∈ N + ),则 a11= 1 023;
③数列 { an} 满足
1
2
an+ 1= 1-4????,bn = 2????-1(n∈ N +),则数列 { bn} 是从第二项开始的等比数列
√3
A. 2
√3
B. 4
C.
√3 2
或
√3
D. √3
4
或
√3 2
解析 :由余弦定理 ,得 12=(√3)2+BC 2-2√3·BC ·cos 30°,
解得
BC= 1 或
2.故
S△ABC
=
1 2
BA·BCsin
1
30° = 2
1
×√3 ×1×2
=
√43或
S△ABC=
1 2
1
×√3×2×2
=
√3
2.
答案 :D
D.(8, + ∞)
∵a,b,ab 成等比数列 , ∴a≠0,b≠0,b2=a 2b,∴ b=a 2. ∴a2= 2a,a= 2,∴b= 4,∴ab= 8. ∵0< log m(ab)< 1,∴m> 8.
答案 :D
二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上 )
9.已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn 满足 : Sn+Sm=S n+m,且 a1= 1,则 a10 等于 ( )
A.1
B.9
C.10
D.55
解析 :由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9 =S10,
故 a10=S 10-S9 =S1=a 1= 1.
答案 :A
??-??≥ 0 ,
10.已知 x,y 满足约束条件 { ??+ ??≤ 2 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a 等于 ( )
;
④已知 a1+ 3a2+ 5a3+ … +(2n-1) an= 2n+ 1 (n∈ N+),则 an= 2n-1.
以上命题正确的有
(只填序号 ).
解析 :∵Sn=n 2+ 2n,∴an= 2n+ 1,
1+
????+1
1
????+2+
…
+
1=
??2??
1+
2??+3
1
1
2??+5+ …+ 4??+1
整理得 q2- 3q= 0,解得 q= 3 或 q= 0(舍去 ).
所以等比数列 { an} 的首项为 a1= 1,公比为 q= 3, 故 an= 3n-1.
答案 :3n-1
??-1 ≥ 0 ,
15.若 x,y 满足约束条件 {??-??≤ 0 ,
则 ??的最大值为
??
.
??+ ??-4 ≤ 0 ,
D.(
1
-∞，- 2
)
∪(1,
+ ∞)
解析 :∵2x2-x-1= (x-1)(2 x+ 1)> 0,
∴x> 1 或
x<-
1
2.
故解集为 ( -∞，- 12) ∪ (1,+ ∞).
答案 :D
3.已知点 An(n,an)(n∈ N+)在函数 y=a x(a> 0,a≠1)的图像上 ,则 a3+a 7 与 2a5 的大小关系是 (
13.在
△ABC
中
,a=
3,b=
√6
,A=
2π,
3
则
B=
.
解析 :由正弦定理
,得
?? sin??
=
?? 3
sin??,即 √3 =
√6
sin??,
2
所以
答案
:π
4
sin
B=
√2
2 .所以
∠ B=
π
4.
14.设 Sn 为等比数列 { an} 的前 n 项和 ,若 a1= 1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列 ,则 an=
B. -a>a 2>-a 3 D.a2 >-a>-a 3
解析 :∵a2+a< 0,∴-1<a< 0,
∴0<-a< 1.
∴-a> (-a)2> (-a)3,即 -a>a 2 >-a 3 .
答案 :B
2.不等式 2x2-x- 1> 0 的解集是 (
)
1
A. ( - 2 ,1)
B.(1, +∞)
C.(-∞,1)∪ (2,+∞)
.
解析 :设等比数列 { an} 的公比为 q,则 an=a 1qn-1=q n-1 .
因为 3S1 ,2S2 ,S3 成等差数列 ,所以 2×(2S2 )= 3S1+S 3,即 4S2= 3+S3,即 4(a1+a 2)= 3+(a1+a 2+a 3),也就是 4(1+q )= 3+ (1+q+q 2),
a1=
1
3.
故数列 { an} 的通项公式为
1
an= 3 ??.
(2)因为 bn= log 3a1+ log3a2+ … +log 3an
??( ??+1)
=- (1+ 2+ … +n )=- 2 ,
所以
1
????=-
2
??(??+1)=-
2(
1
??-
1
??+1)
.
所以
1 ?1?
+
1
1
??2 + … + ????
1
11
11
=- 2[(1
-
)
2
+
(
2
-
)
3
+
…
+
(
??-
)]
??+1
2??
=- ??+1.
故数列
{
1
}
????
的前
n 项和为
2??
-??+1.
19.(12 分 )
如图所示 ,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处 ,且与岛屿 A 相距 12 n mile, 渔船乙以 10 n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行 ,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α的方向追赶渔船 乙,刚好用 2 h 追上 ,此时到达 C 处 . (1) 求渔船甲的速度 ; (2) 求 sin α的值 . 解 :(1)依题意知 ,∠ BAC= 120° ,AB= 12 n mile, AC= 10×2= 20(n mile) .
当 0≤ -a< 1,即 -1<a ≤ 0 时 ,l 0 过 B(1,1)时 ,z 取得最大值 ,zmax=a+ 1= 4,∴a= 3(舍去 );
当 -1<-a< 0 时 ,即 0<a< 1 时 ,l0 过 B(1,1)时 ,z 取得最大值
,zmax=
2a+
1=
4,∴a=
3 2