湖北省孝昌一中、应城一中、孝感一中三校2015-2016学年高一上学期期末联考数学试题

湖北省部分重点中学20152016学年度上学期期末考试
高一数学试卷
考试时间：2016年1月28日上午8:0010:00 试卷满分：150分
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷上无效.
3.第Ⅱ卷必须时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各角中，与60角终边相同的角是 （ ）
A. -60
B. 600
C. 1020
D. -660
2. 已知集合{}{}|4,|10,A x Z x B x x =∈<=-≥则A B 等于
A. ()14，
B. [)14，
C. {}123，
， D. {}234，， 3. 下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上单调递增的是
A. ln y x =
B. y =sin y x = D. cos y x =
4. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A. ()()0,0,2,3a b ==
B. ()()1,-3,2,-6a b ==
C. ()()4,6,6,9a b ==
D. ()()2,3,-4,6a b ==
5.已知函数()f x 的图象是连续不间断的，且有如下的(),x f x 对应值表：
函数()f x 在区间[]1,6上的零点有
则
（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 至少3个
D.至多2个
6. 已知函数()2cos(1),0=tan ,0
x x f x x x ⎧-<⎨-≥⎩，则
=8f f π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 设函数()()222=c o s 2s i n c o s s i n ,=2c o s 2s i n c o s 1,f x x x x x g x x x x --+-把()f x 的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数()g x 的图象，则m 的值可以是（ ）
A. π
B. 34π
C. 2π
D. 4
π 8.已知ABC 满足2=A B A B A C B A B C C A C B
⋅+⋅+⋅，则ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B. 锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
9. 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如下，此函数的解析式可为（ ）
A. 22sin(2)3y x π=+
B. 2sin(2)3y x π=+
C. 2sin()23x y π=-
D. 2sin(2)3y x π
=-
10. 若0.20.52log 0.2,log 0.2,2,a b c ===则,a b c ，的大小关系是（ ）
A. a b c <<
B. b c a <<
C. b a c <<
D. c b a <<
11. 已知集合{}1=|lg ,01,N =|,1,10x M y y x x y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
则M N = A. {}|0y y < B. 1|10y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ C. 1|010y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D. ∅
12.已知ABC 中=64AB AC BC P ==，，是ACB ∠的平分线AB 边的交点，M 为PC 上一点，且满足
(0)AC AP BM BA AC AP λλ⎛⎫ ⎪=++> ⎪⎝⎭
，则BM BA BA ⋅的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.等边ABC 的边长为1，记,C A ,B C a b A B c ===，则a b b c c a ⋅-⋅-⋅等
于 . 14.已知角α的终边上一点的坐标为22sin ,cos 33ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则角α的最小正值为 . 15.函数[]y x =叫做“取整函数”，其中符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如[][][]2=2 2.1=2; 2.2=-3-;，那么[][][][]l g 1l g 2+l g 3++l g
2016+的值为 . 16.已知定义在R 上的两函数()()=
,g =22x x x x f x x ππππ---+（其中π为圆周率，=3.1415926π），
有下列命题： ①()f x 是奇函数，()g x 是偶函数；
②()f x 是R 上的增函数，()g x 是R 上的减函数；
③()f x 无最大值、最小值，()g x 有最小值，无最大值；
④对任意x R ∈,都有()()()22f x f x g x =；
⑤()f x 有零点，()g x 无零点.
其中正确的命题有 （把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知向量()()()3,4,6,3,5x,3.OA OB OC y =-=-=---
（1）若点A,B,C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；
（2）若ABC 为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值.
18.(本小题满分12分)
点(1
7)A ，是锐角α终边上的一点，锐角β
满足sin 5β=， （1） 求()tan αβ+的值；（2）求αβ+的值.
19.(本小题满分12分)
设全集[]11U =-，，函数21()1sin f x x R x =∈+（）的值域为A, sin ()sin 2
x g x x R x =∈+（）的值域为B ，求U U C A C B .
20.(本小题满分12分)
如图，已知三点O,A,B 不共线，且2A,3,OC O OD OB ==，设,OA a OB b ==
（1）试用,a b 表示向量OE ；
（2）设线段AB,OE,CD 的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N 三点共线.
21.(本小题满分12分) 已知连续不断函数()sin ()cos 4242f x x x x g x x x x π
πππ
=+-<<=-+<<(0）,(0）. （1）求证：函数()f x 在区间02π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上有且只有一个零点； （2）现已知函数()g x 在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上有且只有一个零点（不必证明），记()f x 和()g x 在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上的零点分别为12,x x ，求证：12.2
x x π+=
22.(本小题满分12分) 已知函数2ln ,0()()()41,0
x x f x g x f x a x x x ⎧>⎪==-⎨++≤⎪⎩,. （1）当2a =时，求函数()g x 的零点；
（2）若函数()g x 有四个零点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记()g x 得四个零点分别为1234,,x x x x ，，求1234+++x x x x a 的取值范围.
高一数学参考答案
命题学校：应城一中 命题教师：陈志雄 审题教师：祁建红
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．21 14．6
11π 15．4941 16．①③④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
解：（1）)1,2(),1,3(y x AC AB --==→→ …………………… 2分 若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，∴3(1)2y x -≠-， ∴,x y 满足的条件为31y x -≠ …………………… 4分
（2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，由B ∠为直角知AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---= ① …………………… 6分
又||||AB BC =，∴22(1)10x y ++= ②…………………… 8分 由①②联立解得03x y =⎧⎨=-⎩或23
x y =-⎧⎨=⎩……………………10分 18．（本小题满分12分）
解：（1）由题知，2
1tan ,7tan ==βα ……………4分 3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+∴β
αβαβα …………… 6分 （2）∵1tan )tan(1tan )tan()2tan(
-=+-++=+ββαββαβα……………8分 且)23,0(2πβα∈+……… 10分 ∴4
32πβα=+…………… 12分 19．（本小题满分12分） 解：∵20sin 1x ≤≤∴21sin 12x ≤+≤∴
1)(21≤≤x f ∴1[,1]2A =………3分 而[1,1]U =-,∴1[1,)2
U A =-ð;………… 5分 由sin ()sin 2x g x x =+,得sin sin 2
x y x =+,于是2sin 1y x y =-,∴1sin 1x -≤≤,
∴2111y y -≤≤-,解得113
y -≤≤∴1{|1}3B y y =-≤≤…………8分 .而[1,1]U =-,∴1
(,1]3U B =ð………… 10分 ∴11()()(,)32
U U A B =痧.……………………12分 20．（本小题满分12分）
解：（1）∵C E B ,,三点共线，∴x =)1(x -+x 2=a )1(x -+b ，① 同理，∵D E A ,,三点共线，可得y =a )1(3y -+b ，② ………3分 比较①②，得⎩⎨
⎧-=-=)1(31,2y x y x ……4 解得=x 52， =y 5
4，∴=4355+a b .…………6分 （2）∵2OL +=a b ，143210OM OE +==a b ,123()22ON OC OD +=+=a b ,……8分 ∴61210MN ON OM +=-=a b ,210
ML OL OM +=-=a b ,……10分 ∵6=， ∴N M L ,,三点共线. ……12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）∵02)2(,01)0(<-=>=π
πf f ，
由零点存在性定理知)(x f 在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0π上有零点 ................3分 再任取2021π
<<<x x ，0)()sin (sin )()(212121<-+-=-x x x x x f x f
∴)()(21x f x f <∴)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
20π，上是单调递增函数。

故函数)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
20π，有且只有一个零点。

................6分 （2）∵2x 是)(x g 的零点，∴04
cos )(222=+-=πx x x g ，∴04)2()2sin(22=--+-πππx x ，即0)2(2=-x f π，∴22
x -π是函数)(x f 的零点.............9分 由202π<<x 知2
202ππ<-<x ，.............10分 又201π<<x 且1x 也是函数)(x f 的零点，由（1）知函数)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛20π，有且只有一个零点∴122x x =-π
∴221π
=+x x ...............12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）当0>x 时，由2ln =x 解得2e x =或21e
x =，…………………2分 当0≤x 时，由2142=++x x 解得52+-=x （舍）或52--=x ，
∴函数)(x g 有三个零点，分别为2e x =，2
1e x =，52--=x 。

………4分 （2）函数a x f x g -=)()(的零点个数即)(x f y =的图象与a y =的图象的交点个数， 作函数)(x f y =的图象与a y =的图象，结合两函数图象可知，
函数)(x g 有四个零点时a 的取值范围是10≤<a ；…………………………8分 （3）不妨设4321x x x x <<<，结合图象知421-=+x x 且103<<x ，14>x ，………9分 由a x x ==43ln ln ，知143=x x 且],1(4e e x a ∈=， ∴e
e x x x x 1,2(14443+∈+=+]， ……………………………11分 故4321x x x x +++的取值范围是]41,2(-+-e e ………………………12分。