第九讲(盈亏问题)

第九讲：盈亏问题
一、 基本型盈亏问题核心
“分东西”的问题
1、 两种分配方案
2、 总量和单位量不变
二、 解题思路——比较法
例：程老师给同学们分积分卡，如果每人5张，还剩18张，如果每人7张，就缺2张。

有多少个同学，共有多少张卡？
解析：总量：卡 （把卡分给同学，被分的东西就是总量）
单位量：同学 （一般来说，“每”字后面的是单位量）
草图分析 ○ ○ ○ …… ○ （一个○表示一个人）
5 5 5 …… 5 多出来18张 2 2 2 …… 2 还要每人再给2
张，才是7张
用多出来的18张分给每人2张还不够，
18+2 还要“借”2张
那么人数就是（18+2）÷（7-5）=10（人）
卡的总张数 根据方案一：5×10+18=68（张）
根据方案二：7×10-2=68（张）
总结：
比较两次方案总量的盈亏差距，再比较两次方案单位分得的量的差距
总量的盈亏差距是由单位分得的量的差距引起的。

所以 总量的盈亏差距 ÷ 单位分得的量的差距 = 单位量
老师这里只举例说明了盈亏型，同学们不妨自己画一画盈盈型、亏亏型的草图吧
分配方案： 每人分得 盈/亏 方案一 5 +18 方案二 7 -2
三、 解题步骤
1、 找总量和单位量
2、 表格法表示两种分配方案
3、 公式求单位量
4、 根据任一分配方案求总量
四、注意要点
1、盈与亏针对的是总量
2、总量和单位量是不变的数
（题目中有两个总量或单位量时要转化为一个）
3、每一次分配方案中要统一
五、例题讲解
（一）盈亏针对总量，仔细计算盈亏数
例1 A、B 两人买了相同张数的信纸，A 在每个信封里装1张信纸，最后用完所有的信封还剩40张信纸，B 在每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封，他们都买了多少张信纸？
解析：： 总量:信纸 单位量：信封
列式计算单位量：（40+120）÷（3-1）=80（个）
信纸共有：1×80+40=120（张）或3×80-120=120（张）
或根据题目语句求总量：（80-40）×3=120（张）
（二）总量和单位量不能变
（尖子）学案1 一个班的学生去划船，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，这个班一共有多少人？
解析：同学们都知道本题是把学生分给船，可是单位量要求是个不变的数，题中一会儿增加船、一会儿减少船，怎么办呢？那就固定为原来的船，找到针对原来的船分配时的盈与亏。

总量:学生 单位量：原来的船
列式计算单位量：（6+9）÷（9-6）=5（条）……这是原来的船
学生共有：6×5+6=36（人）或9×5-9=36（人）
或根据题目语句求总量：（5+1）×6=36（人），（5-1）×9=36（人）
强调：分配时要注意总量和单位量不能变，两个分配方案中单位量不一样时要学会转化
还记得上学期老师补充的这道题吗？试试看
体育课上给同学们分乒乓球，每人5个则余10个乒乓球，如果把人数增加到原来的3倍，则每人2个球还少8个，这个班一共有多少人，共多少个乒乓球？
解析：小朋友们都知道本题是把乒乓球分给同学，可是老师强调过，总量和单位量都要是个不变的数，题中后来把人增加到3倍了，怎么办呢？那就把后来的3个人看成1个人，不就
1 +40
3 -120
6 +6 9 -9 要增加1条船才够，说明人多了6人 减少1条船正好，说明人少了9人 信封多，说明信纸少了，是亏。

亏多少呢？1个信封装3张信纸，40个信封需要3×40=120（张）
和原来的人数对应上了吗？
总量:乒乓球 单位量：同学
如果人数不变，相当于每人分得球：2×3=6（个）
列式计算单位量：（10+8）÷（6-5）=18（人）
乒乓球共有：5×18+10=100（个）或6×18-8=100（个）
（三）每个分配方案要统一（少数服从多数）
例3 （2010年希望杯五年级初赛）大猴采到一堆桃子，分给一群小猴吃，如果其中两个小猴各分得4个桃，其余每只小猴各分得2个桃，则最后剩4个桃，如果其中一只小猴分得6个桃，其余每只小猴各分得4个桃，那么还差12个桃，大猴共采到多少个桃？这群小猴共有多少只？
解析：本题的关键在于每种方案中有的猴子分的不一样，怎么办呢？那就把他们统一，少数服从多数，再看总量的盈亏情况。

总量: 桃子 单位量：小猴子
如果每只猴子都分2个，桃子多了：（4-2）×2+4=8（个）
如果每只猴子都分4个，桃子少了：12-（6-4）=10（个）
列式计算单位量：（8+10）÷（4-2）=9（只）
桃子共有：2×9+8=26（个）或4×9-10=26（个）
（四）直接比较法
例2 容容从家到学校去上课，如果每分钟走50米，要迟到3分钟到校，如果每分钟走60米，可提前2分钟到校，容容家到学校距离多少米？
解析：题目明显有两次方案，可是在“分”什么呢？一般“每”字后面是单位量，那我们想象，就是把“米”分给“分”。

“米”是长度单位，那就是把路程分给时间。

可是要注意，总量和单位量要不变，路程就是小明家到学校的距离，这是不变的，时间确定为“从家出发到上课的时间”，这个时间也是不变的。

总量:小明家到学校的距离
单位量：从家出发到上课的时间
从家出发到上课的时间：（120+150）÷（60-50）=27（分）
距离：50×27+50×3=1500（米）或50×（27+3）=1500（米）
当不太好找总量和单位量时，其实我们可以运用直接比较法：
5 +10
6 -8
2 +8
4 -10 60 -120 50 +150 把3个人当作一个原来的人，每人2个，3个人合在一起那么原来的人就应该是6个。

有1只猴子本来分得6个，要让他变成分4个，就多出来2个，本
来缺12个，补回来2个，只缺12-2=10（个）
有2只猴子本来各分得4个，要让他们各分2个，就多出来4个，共多出来8个 提前2分钟，说明有2分钟没“分”到路走，距离少了，少了60×2=120米 迟到3分钟，说明时间少，距离多出来了，多了50×3=150米
第一种方案，每分钟50米，少走150米
第二种方案，每分钟60米，多走120米
比较：第一种方案比第二种方案共多走150+120=270（米）
同样都是容容，同样的时间里怎么会多走270米呢？
原因是两次的速度不一样，每分钟多走60-50=10（米）
所以走了270÷10=27（分）
那么距离是（27+3）×50=1500（米）或（27-2）×60=1500（米）
注：同学们会发现，表格的形式其实来源于比较法，直接用比较法有时候更快一些，这时不用拘泥于一定要画表格。

另外，画表格时盈亏的符号反了也能做题，比如这个题很多同学都表示为： 算出单位量仍然是（120+150）÷（60-50）=27（分）
所以当我们拿不准的时候也不用太纠结，只要做到：同向就同号，反向就反号，那么单位量一定还是对的，只是算总量时再根据题目的语句好好推敲。

家庭作业5 某铅笔厂进行成本核算，发现某种铅笔的价格若按每打（12支）9元6角计算，则每天亏损82元，若按每盒（144支）129元6角计算，则每天可得利润918元，该厂每天生产这种铅笔多少支？
解析：因为有两次方案，先判断是盈亏问题，但似乎不好找总量和单位量，怎么办呢？那就用直接比较法试试吧。

第一种方案，每支8角，亏820角 96÷12=8（角）
第二种方案，每支9角，赚9180角 1296÷144=9（角）
比较：第二种方案比第一种方案多卖出820+9180=10000（角）
原因是两次的单价不一样，每支多卖出9-8=1（角）
所以共卖了10000÷1=10000（支）
（五）分组型
例5 苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，还多4个苹果，梨正好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12个。

苹果和梨各有多少个？
解析：明显两次方案，是盈亏问题。

可是在分什么呢？注意题目中每次方案都是3个梨一袋，那么我们可以看做梨不动，把苹果分给梨。

只是要注意是3个梨绑在一起不动。

总量：苹果
单位量：梨堆（3个梨一堆）
12÷3×7=28（个）
列式计算单位量，即梨的堆数：（4+28）÷（7-5）=16（袋）
梨有：16×3=48（个）
苹果有：16×5+4=84（个）
（六）关系转化型
例4 食堂管理员带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉还差6元钱，若买12千克猪肉还剩
60 +120 50 -150 5 +4 7 -28 多12个梨，即4堆梨，每堆缺7个苹果，共缺28个苹果。

4元钱，已知每千克牛肉比每千克猪肉贵3元，问：食堂管理员带了多少钱？
解析：本题的两个方案中，同学们能很快找到总数是王阿姨带的钱，因为是用这同一份钱去解析：买两次东西。

一次买的是牛肉，一次买的是猪肉，这是不能直接比较的，那么就进行转化，转化成买一种东西。

比如说，两次都买的是牛肉，单位量该是什么呢？——牛肉的单价！这是不变的
总量:食堂管理员带的钱
单位量：牛肉的单价
列式计算单位量，即牛肉的单价：（32-6）÷（12-10）=13（元）
食堂管理员带的钱：13×10-6=124（元）
如果转化成两次都买猪肉呢？同学们自己试试吧。

例6 幼儿园老师把一袋糖果分给小朋友，如果分给大班的小朋友，每人5粒就缺6粒，如果分给小班的小朋友，每人4粒就余4粒，已知大班比小班少2个小朋友，这袋糖果共有多少粒？
解析：同学们都知道本题是把糖分给小朋友，可是单位量要求是个不变的数，题中一次是分给大班的，一次是分给小班的，怎么办？那就转化为一个班，找到针对这个班分配时的盈与 亏即可。

总量:糖
单位量：小班小朋友
列式计算单位量（小班人数）：（16+4）÷（5-4）=20（人）
糖共有：4×20+4=84（粒）
或 ： 总量:糖 单位量：大班小朋友
列式计算单位量（大班人数）：（12+6）÷（5-4）=18（人）
糖共有：5×18-6=84（粒）
10 -6 12 -32 5 -16 4 +4 5 -6
4 +12
给大班加2人，就变成小班的人数了，本来就缺6粒，加了2人，共缺2×5+6=16粒 给小班减2人，就变成大班的人数了，本来多4粒，少了2人，共多2×4+4=12粒 把12千克猪肉换成12千克牛肉，需要补差价3×12=36元，原来剩4元，则还缺36-4=32元。