江苏省2022-2022年高二下第一次月考数学试题(理科)

高二下第一次月考数学试题（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.已知a
x x f =)(，若(1)4f '-=-，则a 的值等于（ ） A.4 B.－4 C.5 D.－5 2.曲线x
y e -=在点(0,1)处的切线方程为（ ）
A. 1y x =-+
B.1y x =-
C.1y x =+
D.1y x =--
3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是（ ）
A.平行四边形的对角线相等
B.正方形的对角线相等
C.正方形是平行四边形
D.以上都不是
4.欧拉公式θ+θ=θ
sin cos i e i (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉
发明的，01=+πi e 被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数i e 6
-π的虚部为（ ）
A.i 21-
B.i 21
C.2
1
- D.21
5.某个自然数有关的命题，如果当)(1*
∈+=N n k n 时，该命题不成立，那么可推得k n =时，该命题不成立.现已知当2016n =时，该命题成立，那么，可推得（ ） A.2015n =时，该命题成立 B.2017n =时，该命题成立 C.2015n =时，该命题不成立 D.2017n =时，该命题不成立
6.一个几何体的三视图如题(6)图所示， 则该几何体的侧面积为（ ）
A.
C.4
D.8
7.若函数3
()3f x x x a =-++有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 2a =±
B.(2,2)-
C. (,2)(2,)-∞-⋃+∞
D.[2,2]-
8. 曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=
2
1
围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3 B.3-2 C.3
-
2π D.3-3π
2
2
2 正视图 2
2
2
侧视图
俯视图
题(6)图
9.函数sin =1(2)
x
f n x +（
x ）的图象可能是（ ）
A B C D 10．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 13cos 17sin13cos17+- （2）22sin 18cos 12sin18cos12+- （3）2
2
sin (18)cos 48sin(18)cos 48-+-- （4）2
2
sin (25)cos 55sin(25)cos55-+-- 则这个常数为（ ） A.
34 B. 1 C. 4
3
D. 0 11.已知椭圆15
92
2=+y x 的右焦点为,F P 是椭圆上一点，点()
32,0A ，当APF ∆的周长最大时，APF ∆的面积等于（ ）
A.
4311 B.4321 C.411 D.4
21 12.已知函数),0(ln )(2
R b a x bx ax x f ∈>-+=,若对任意0>x ，)1()(f x f ≥，则（ ）A.b a 2ln -< B . b a 2ln -≤ C. b a 2ln -> D. b a 2ln -≥
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.若复数z 满足1zi i =+，则z =
14.用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积为_________ 3
m . 15.已知等差数列{}n a ，若12n
n a a a b n
++
+=
，则数列{}n b
也是等差数列，类比上述结
论，可得：已知等比数列{}n c ，若0)n n d c =>，则数列{}n d 也是等比数列；
已知等差数列{}n a ，若12212n
n a a na b n
+++=
+++，则数列{}n b 也是等差数列，类比上述结
论，可得：已知等比数列{}n c ，若n d = ，则数列{}n d 也是等比数列. 16．已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有
22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2016)(2016)4(2)0x f x f ++--<的解集
为 .
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
函数()ln f x ax x b =+在()1,(1)f 处的切线方程为1y x =+
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 的极值．
18．（本小题满分12分）
在数列{a n }中，a 1=1，*12()2n
n n
a a n N a +=
∈+ （1）求234,,a a a 的值；
（2）猜想这个数列的通项公式并用数学归纳法证明.
题(19)图
C 1
D 1
A 1
B 1
D C
B A
19.（本小题满分12分）
如题(19)图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，
122,,DC DD AD AB AD DC ===⊥AB ∥DC ．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．
20.（本小题满分12分）
设函数x
e ax ax x
f )1()(2++=，其中R a ∈．
（1）若()f x 在其定义域内是单调函数，求a 的取值范围； （2）若()f x 在(0,1)内存在极值点，求a 的取值范围.
21.(本小题满分12分)
从抛物线C ：2
2(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、）
，分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,4M x 在抛物线C 上，且6MF =（F 为抛物线的焦点）.
1BCD ⊥1D BD 11B A C D --
（1）求抛物线C 的方程；
（2）求证：四边形PCQD 是平行四边形.
22.（本小题满分12分） 已知函数． （1）若，讨论在上的单调性；
（2）设，比较
与的大小，并加以证明．
月考题参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C
8.D
9.A 10.C 11.B 12.A 13.1i - 14. 3 15. 121(n
n d c c +++= 16. {|20182014}x x -<<-
17．（1）因为()(1ln )f x a x '=+
()=ln(1+)ax
f x x x a
-
+1a >()f x (0,)+∞*n N ∈12231
n
n ++⋅⋅⋅+
+ln(1)n n -+
易知(1)22
()ln 2(1)11
f b f x x x f a =⇒=⎧⇒=+⎨
'=⇒=⎩…………………………5分
（2）()(1ln )f x x '=+，令1
()0(1ln )=0f x x x e
'=⇒+⇒=……6分 列表
………………………………………………………………………………9分 所以()f x 的极小值为11
()2f e e
=-
，无极大值.………………………10分 18.（1）234212
,,325
a a a =
==………………………………4分 （2）猜想：2
1
n a n =
+……………………………………………………6分 证明如下：当n =1时，a 1=1，
22
112
n ==+，猜想成立.………………7分 假设n =k *
(,1)k N k ∈≥时，2
1
k a k =
+成立，……………………8分 那么，当n =k +1时，124
2222
11=22422(1)12+11
k k k a k k a k a k k k k +⋅
++====
+++++++……11分 ∴当n =k +1时，猜想成立. 综上，由数学归纳法可知，2
1
n a n =
+对一切正整数成立.………………12分
A
B
C
D 1A
1B
1C
1D y
z
以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
19． （1）1AD AB ==,则
设
(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)A B C
1111(1,0,2),(1,1,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C D -………2分
（1）1(1,1,0),(1,1,2)BC BD =-=--1(0,0,2)DD =
11(1,1,0)(1,1,2)0,BC BD BC BD ⋅=-⋅--=∴⊥
11(1,1,0)(0,0,2)0,,BC DD BC DD BC ⋅=-⋅=∴⊥∴⊥平面1D DB
∴平面1BCD ⊥平面1D BD ;………………5分
（2）1(0,1,2),A B =-1
(1,2,2),AC =--11(1,0,0),A D =- 设平面1BA C 与平面11A CD 的法向量分别为：(,,),(,,)m x y z n a b c ==则
11m A C
m A B
⎧⊥⎪⇒⎨
⊥⎪⎩2202202x y z x z
y z y z -+-==⎧⎧⇒⎨
⎨-==⎩⎩
，令1,z =则(2,2,1),m =…………7分 1
11
n AC n A D ⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩22000x y z x x y z -+-==⎧⎧⇒⎨
⎨==⎩⎩，令1,z =则(0,1,1),n =……………9分
cos ,2||||32
m n m n m n ⋅∴<>=
==，………………………………………………11分 ∴二面角11B A C D --的大小为
3.4
π
…………………………………………………12分 20． （1）x
e a ax ax x
f )()(132
+++=' ……………………1分
当0=a 时，0>='x
e x
f )(，符合题意；…………2分 当0≠a 时，
若)(x f 在R 上单调递增，则2
()(31)0x
f x ax ax a e '=+++≥恒成立
2
310ax ax a ⇔+++≥恒成立294(1)04
050
a a a a a ⎧∆=-+≤⇔⇔<≤⎨
>⎩ 即5
4
0≤
<a ；………………5分
若)(x f 在R 上单调递减，则2
()(31)0x
f x ax ax a e '=+++≤恒成立
2
310ax ax a ⇔+++≤恒成立294(1)0
a a a a a ⎧∆=-+≤⇔⇔⎨
<⎩无解……6分 5
4
0≤
≤∴a ……………………………………7分 （2）要使()f x 在(0,1)内存在极值，由（1）知首先有0<a 或5
4
>
a ，另外还需要方程0132=+++=a ax ax x g )(的根在(0,1)内，由于对称轴3
02x =-<
∴只需1
(1)(0)051)(1)015
g g a a a <⇔++<⇔-<<-（…………10分
所以1
15
a -
<<-．……………………12分 21. 解：（1）因为462
p
MF =+
=所以4p =，即抛物线C 的方程是28x y =……4分 （2）由2
8x y =得28x y =，'
4x y =………………5分设22
1212,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则直线PA 的方程为()211
184
x x y x x -=-， ①…………………………………………6分 则直线PB 的方程为()222284
x x
y x x -=-，②…………………………………………7分 由①和②解得：1212,28x x x x x y +=
=，所以1212,2
8x x x x P +⎛⎫
⎪⎝⎭……………………8分
设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+
由28x y y kx t
⎧=⎨=+⎩得2
880x kx t --= 则12128,8x x k x x t +==-…………………9分 所以()4,P k t -，所以线段PQ 的中点为2,0)k （
在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以线段CD 的中点 坐标为12,04x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即()2,0k ……………………………………………………10分 即线段CD 与线段PQ 互相平分…………………………………………………………11分 因此，四边形PCQD 是平行四边形…………………………………………………12分
22.解： （1）由题设，．………… 2分
当，即时，则的增区间为；……4分 当，即时，
有时，的减区间为；
有时，的增区间为；．……6分 综上可知，当时， 在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数． （2），………………………………7分 证明如下：
方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，先证明ln(1＋x )>x 1＋x
，x >0. 令2211()ln(1),(0)0,()011(1)(1)
x x g x x g g x x x x x '=+-=∴=-=>++++ ()()ln(1)0ln(1)11x x g x g x x x x x ∞∴>⇒+-
>⇒+>++在(0,+)单调递增，g(0)=0()()()()()2220,,1x x a a x f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'∈+∞=++220a a -≤12a <≤()()0,f x f x '>()0,+∞220a a ->2a ()20,2x a a ∈-()0,f x '<()f x ()20,2a a -()
22,x a a ∈-+∞()0,f x '>()f x ()22,a a -+∞12a <≤()f x ()0,+∞2a ()f x ()20,2a
a -()22,a a -+∞12ln(1)231
n n n n ++⋅⋅⋅+>-++
…9分 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1 即：1ln(1)ln 1n n n
+->+ 故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……，ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1
， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1
，结论得证．………………12分 方法二：令x ＝1n ，n ∈N ＋，同方法一有1n ＋1<ln n ＋1n
.下面用数学归纳法证明． 当n ＝1时，12
<ln 2，结论成立． 假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1
<ln(k ＋1)． 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1
＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．
方法三： ⎠⎛0n
x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1
是图中所示各矩形的面积和， ∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．。