2018届高三数学第51练空间点线面的位置关系练习

第51练空间点、线、面的位置关系
训练目标
(1)掌握平面的性质，能应用这些性质判断线面、面面的位置关系；(2)会利用定
义判断线线、线面、面面的位置关系．
训练题型判断点、线、面的位置关系．
解题策略(1)借助几何体，将抽象问题形象化；(2)巧用反证法、排除法、特殊位置法化难为易.
1．已知平面α与平面β、γ都相交，那么这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条B．2条或3条
C．1条或3条D．1条或2条或3条
2．已知直线l和平面α，不管直线l与平面α具有如何的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( ) A．相交B．平行
C．垂直D．异面
3．(2017·蚌埠质检)已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是( )
A．假设l1⊥l2，l1⊥l3，那么l2∥l3
B．假设l1⊥l2，l2∥l3，那么l1⊥l3
C．假设l1∥l2，l2∥l3，那么l1，l2，l3共面
D．假设l1，l2，l3共点，那么l1，l2，l3共面
4．平面α外有两条直线m和n，若是m和n在平面α内的投影别离是m1和n1，给出以下四个命题：①m1⊥n1⇒m ⊥n；②m⊥n⇒m1⊥n1；③m1与n1相交⇒m与n相交或重合；④m1与n1平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(2016·江门模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F别离是AB1，BC1的中点．以下结论中，正确的选项是( )
A．EF⊥BB1 B．EF∥平面ACC1A1
C．EF⊥BD D．EF⊥平面BCC1B1
6.(2016·青岛平度三校上学期期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且
EF＝1
2
，那么以下结论中错误的选项是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
7．有以下命题：
①若是两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；
②假设直线l上有无数个点不在平面α内，那么l∥α；
③假设直线l与平面α平行，那么l与平面α内的任一直线平行；
④若是两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与那个平面平行；
⑤假设直线l与平面α平行，那么l与平面α内的任一直线都没有公共点．
其中正确命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．(2016·上饶一模)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1的中点，且FD⊥AC1，有下述结论：
①AC1⊥BC；
②AD
DC1
＝1；
③平面FAC1⊥平面ACC1A1；
④三棱锥D－ACF的体积为
3
3
.
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．如下图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，那么AO与A′C′所成角的度数为________．
10．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，假设增加一个条件，就能够得出BD⊥EF，现有以下条件：
①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．
11．设a，b，c是空间中的三条直线，给出以下几个命题：
①设a⊥b，b⊥c，那么a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，那么a和c也相交．
其中真命题的个数是________．
12.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M别离是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q别离在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．设平面MEF∩平面MPQ
＝l，现有以下结论：
①l∥平面ABCD；
②l⊥AC；
③直线l与平面BCC1B1不垂直；
④当x转变时，l不是定直线．
其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号)
答案精析
1．D
2．C [当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，因此不管直线l与平面α具有如何的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．]
3．B [两条直线都和第三条直线垂直，这两条直线不必然平行，应选项A不正确；一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么它也垂直于另一条，故B正确；三条直线彼此平行，这三条直线不必然共面，如三棱柱的三条侧棱所在的直线，故C不正确；三条直线相交于一点，这三条直线不必然共面，如三棱锥的三条侧棱所在的直线，故D不正确．]
4．D [如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1，AB1，B1C，A1B在底面A1B1C1D1上的投影别离是A1D1，A1B1，B1C1，A1B1.因为A1D1⊥A1B1，而AD1不垂直于AB1，故①不正确；因为AD1⊥B1C，而A1D1∥B1C1，故②不正确；因为A1D1与A1B1相交，而AD1与A1B异面，故③不正确；因为A1D1∥B1C1，而AD1与B1C异面，故④不正确．]
5．B [如下图，取BB1的中点M，连接ME，MF，延长ME交AA1于P，延长MF交CC1于Q，
∵E，F别离是AB1，BC1的中点，
∴P是AA1的中点，Q是CC1的中点，
从而可得E是MP的中点，F是MQ的中点，∴EF∥PQ.
又PQ⊂平面ACC1A1，EF⊄平面ACC1A1，
∴EF∥平面ACC1A1.应选B.]
6．D [因为AC⊥平面BDD1B1，
BE⊂平面BDD1B1，
因此AC⊥BE，故A正确；
依照线面平行的判定定理，故B正确；
因为三棱锥的底面△BEF的面积是定值，且点A到平面BDD1B1的距离是定值
2
2
，因此其体积为定值，故C正确；
很显然，点A和点B到EF的距离不必然是相等的，故D错误．]
7．A [①正确；②有可能相交，故错误；③有可能异面，故错误；④有可能线在面内，故错误；⑤
正确，因此正确命题的个数为2，应选A.]
8．C [BC ⊥CC 1，但BC 不垂直于AC ，故BC 不垂直于平面ACC 1A 1，因此AC 1与BC 不垂直，故①错误；
连接AF ，C 1F ，可得AF ＝C 1F ＝ 5.
因为FD ⊥AC 1，
因此可得D 为线段AC 1的中点，
故②正确；
取AC 的中点为H ，连接BH ，DH ，
因为该三棱柱是正三棱柱，
因此CC 1⊥底面ABC ，
因为BH ⊂底面ABC ，因此CC 1⊥BH ，
因为底面ABC 为正三角形，
可得BH ⊥AC ，
又AC ∩CC 1＝C ，
因此BH ⊥侧面ACC 1A 1.
因为D 和H 别离为AC 1，AC 的中点，
因此DH ∥CC 1∥BF ，
DH ＝BF ＝12
CC 1，
可得四边形BFDH 为平行四边形，因此FD ∥BH ，
因此可得FD ⊥平面ACC 1A 1，
因为FD ⊂平面FAC 1，
因此平面FAC 1⊥平面ACC 1A 1，
故③正确； V D －ACF ＝V F －ADC ＝13·FD ·S △ACD ＝13×3×(12×1×2)＝
33
，故④正确．应选C.] 9．30° 解析 ∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角确实是∠OAC .
∵OC ⊂平面BB ′C ′C ，AB ⊥平面BB ′C ′C ，
∴OC ⊥AB .又OC ⊥OB ，AB ∩BO ＝B ，
∴OC ⊥平面ABO .又AO ⊂平面ABO ，
∴OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2，sin ∠OAC ＝OC AC ＝12
，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°.
10．①③
解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面，
①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，
又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，
∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②中，由①可知，假设BD⊥EF成立，那么有EF⊥平面ABCD，那么有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等无法取得EF⊥AC，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确；
④中，仿照②的分析进程可知④错误，故答案为①③.
11．0
解析因为a⊥b，b⊥c，因此a与c能够相交，平行，异面，故①错．
因为a，b异面，b，c异面，那么a，c可能异面，相交，平行，故②错．
由a，b相交，b，c相交，那么a，c能够异面，相交，平行，故③错．
12．④
解析连接BD，B1D1，
∵A1P＝A1Q＝x，
∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，
易证PQ∥平面MEF，
又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，
∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x转变时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．。