2024年高考数学全国甲卷理科真题试卷附详解

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学
使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.l.设5z i =+,则()i z z +=()
A.10i
B.2i
C.10
D.2
-2.集合1,2,3,4,9{}5,A =
,{|}B x A =,则()A C A B = ()
A.{1,4,9}
B.{3,4,9}
C.{1,2,3}
D.{2,3,5}3.若实数,x y 满足约束条件4330,220,2690.x y x y x y --⎧⎪
--⎨⎪+-≤⎩
,则5z x y =-的最小值为(
)
A.
12
B.0
C.52
-
D.72
-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5105,1S S a ==,则1a =()A.2
- B.
73
C.1
D.2
5.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为21(0,4),(0,4)F F -,点
(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(
)
A.
13
5
B.
137
C.2
D.3
6.设函数2
2sin ()1x e x
f x x
+=+则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A.
16
B.
13
C.
12
D.
23
7.函数2(sin )x x y x e e x -=-+-在区间 2.8,[]2.8-的图像大致为(
)
A. B.
C. D.
8.已知cos cos sin ααα=-则πtan 4α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭(
)
A.1+
B.1-
C.3
2
D.19.设向量(1,),(,2)a x x b x =+=,则()
A.3x =-是a b ⊥的必要条件
B.3x =-是//a b 的必要条件
C.0x =是a b ⊥的充分条件
D.1x =-+是//a b 的充分条件
10.设,αβ为两个平面,,m n 为两条直线,且.m αβ= 下述四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则n α⊥或n β⊥③若//n α且//n β,则//m n
④若n 与,αβ所成的角相等,则m n ⊥.其中所有真命题的编号是()
A.①③
B.②④
C.①②③
D.①③④
11.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2
9
60,4
B b ac ︒==
,则sin sin A C +=()A.
32
B. C.
72
D.
32
12.已知b 是a ,c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为()
A.1
B.2
C.4
D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.10
13x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式中,各项系数的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为
21212(),3()r r r r --,则圆台甲与乙的体积之比
=V V 甲
乙
____________.15.已知1a >且
8115
log log 42
a a -=-,则a =_______.16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于
1
2
的概率为_______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)
某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下
优级品合格品不合格品总计
甲车间2624050
乙车间70282100
总计96522150
(1)填写如下列联表
优级品非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5
p=,设p为升级改造后抽取的n件
产品的优级品率.如果p p
>+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品
的优级品率提高了？12.247
≈)
附:
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
2
()
P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828
记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知434n n S a =+(1)求{}n a 的通项公式;
(2)设1
(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和n
T 19.(12分)
如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为
等腰梯形,//,//,4,2,EF AD BC AD AD AB BC EF ED =====
FB =,M 为AD 的中点.
(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ,点
3(1,)2M 在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程.
(2)过点(4,0)P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线
MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.
21.(12分)
已知函数()(1)ln(1)f x ax x x =-+-(1)若2a =-,求()f x 的极值.
(2)当0x 时,()0f x ,求a 的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C 的极坐标方程为cos 1.
ρρθ=+(1)写出C 的直角坐标方程.
(2)设直线,
:(x t l t y t a =⎧⎨
=+⎩
为参数),若C 与l 相交于,A B 两点,且||2AB =,求a 的值.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知实数,a b 满足 3.a b + (1)证明:2222a b a b
+>+(2)证明:22
22 6.
a b b a -+-∣∣∣∣
2024年全国甲卷理科数学参考答案
一、选择题.l.A
【解析】因为5z i =+,所以()(55)10i z z i i i i +=-++=,故选A.2.D
【解析】因为1,2,3,4,9{}5,A =
,{|}{1,4,9,16,25,81}B x A ==所以
{}()2,3,5A C A B = ,故选D.
3.D
【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≤⎩
,
作出可行域如图
由5z x y =-可得1155
y x z =
-即z 的几何意义为11
55y x z =-的截距的15
-
则该直线截距取最大值时,z 有最小值此时直线11
55
y x z =
-过点A 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得321x y ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩
,即3,12A ⎛⎫
⎪⎝⎭则min 37
5122
z =-⨯=-.故选D.
【解析】因为510S S =,所以788,0S S a ==,又因为51a =,所以公差
1817
,733
d a a d =-=-=,故选B.
5.C 【解析】1221||8
2||||106
F F c e a PF PF ====--,故选C.6.A
【解析】()
()()()()
22
2e 2cos 1e 2sin 21x
x x x x x
f x x ++-+⋅'=
+则()
()()()()
02
e 2cos 010e 2sin 00
03
10f ++-+⨯'=
=+即该切线方程为13y x -=,即31y x =+令0x =,则1y =,令0y =,则1
3
x =-故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积111
1236
S =⨯⨯-=.
故选:A.7.B 【解析】
()()()()
()
22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C
又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫
=-+->-+-=--
>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故可排除D.故选:B.
【解析】因为cos cos sin α
αα
=-
所以
11tan =-α,3
tan 13
⇒α=-
所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α
⎝⎭故选:B.9.C
【解析】对A,当a b ⊥ 时,则0
a b ⋅=
所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;
对C,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0
a b ⋅=
所以a b ⊥
,即充分性成立,故C 正确;
对B,当//a b
时,则22(1)x x +=,解得1x =±,即必要性不成立,故B 错误;
对D,当1x =-+时,不满足22(1)x x +=,所以//a b
不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.10.A
对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α
当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;
对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t
因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理
知//n s
同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;
对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确故选:A.11.C 【解析】因为29,34B b ac π=
=,则由正弦定理得241sin sin sin 93
A C
B ==.由余弦定理可得:222
9
4
b a
c ac ac =+-=即:22
134a c ac +=
,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412
A C A C +==所以
222
7(sin sin )sin sin 2sin sin 4
A C A C A C +=++=
因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin 2
A C +=.故选:C.12.C
因为,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,2c b a =-,代入直线方程0ax by c ++=得
20ax by b a ++-=,即()()120a x b y -++=,令1020x y -=⎧⎨+=⎩得1
2
x y =⎧⎨
=-⎩
故直线恒过()1,2-,设()1,2P -,圆化为标准方程得:()2
2:25
C x y ++=设圆心为C ,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC AB ⊥时,AB
最小
1,PC AC r ===,
此时24AB AP ====
.
故选:C 二、填空题.13.【答案】5
由题展开式通项公式为101101C 3r
r r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
,010r ≤≤且r ∈Z
设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33r
r
r r r r
r r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩294334r r ⎧
≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩
,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8
r =所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为2
8101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
故答案为:5.14.【答案】
64
【解析】由题可得两个圆台的高分别为
)
12 h r r ==-
甲
)
12
h r r
==-
乙
所以
(
(
21
21
1
6
3
14
3
S S h
V h
V h
S S h
++-
===
++
甲
甲甲
乙
乙
乙
.
故答案为:
4
.
15.【答案】64
【解析】由题2
82
11315
log
log log4log22
a
a
a a
-=-=-,整理得
()2
2
2
5log60
log a
a--=
2
log1
a
⇒=-或
2
log6
a=,又1
a>
所以6
22
log6log2
a==,故6264
a==
故答案为:64.
16.【答案】
7
15
【解析】
从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36
A120
=种
设前两个球的号码为,a b,第三个球的号码为c,则
1
322
a b c a b
+++
-≤
故2()3
c a b
-+≤,故32()3
c a b
-≤-+≤
故323
a b c a b
+-≤≤++
若1
c=,则5
a b
+≤,则(),a b为:()()
2,3,3,2,故有2种
若2
c=,则17
a b
≤+≤,则(),a b为:()()()()()
1,3,1,4,1,5,1,6,3,4
()()()()()
3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种
当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为
()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5()()()()()()()()
2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4故有16种
当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种共m 与n 的差的绝对值不超过1
2
时不同的抽取方法总数为()22101656++=故所求概率为
567
12015
=.故答案为:
7
15
三、解答题.(一)必考题:共60分.17.【小问1详解】根据题意可得列联表:
优级品
非优级品甲车间2624乙车间
70
30
可得()2
21502630247075
4.6875501009654
16
K ⨯-⨯=
=
=⨯⨯⨯因为3.841 4.6875 6.635
<<所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】
由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为96
0.64150
=用频率估计概率可得0.64
p =又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =则
0.5
0.50.5 1.650.568
12.247
p +=+≈+⨯
≈
可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.18.【小问1详解】
当1n =时,1114434S a a ==+,解得14a =．
当2n ≥时,11434n n S a --=+,所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-而140a =≠,故0n a ≠,故
1
3n
n a a -=-∴数列{}n a 是以4为首项,3-为公比的等比数列所以()
1
43n n a -=⋅-.
【小问2详解】
111
(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅所以123n n T b b b b =++++ 0211
438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343
n
n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343
n n
n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ (
)1
3134443
13
n n
n --=+⋅
-⋅-()
14233143n n
n -=+⋅⋅--⋅(24)32
n n =-⋅-
(21)31n n T n ∴=-⋅+.
(2)设1
(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和n
T 19.【答案】（1）证明见详解（2
）
13
【小问1详解】
因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDE
CD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE 【小问2详解】
如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF
因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =结合（1）BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =所以ABM 为等边三角形,O 为AM 中点,
所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF
==所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥
,3
OF ==因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直
以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系
()0,0,3F
,)()(),0,1,0,0,2,3B M E
,(
)()
,BM BF ==
()
2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()
111,,m x y z =
平面EMB 的法向量为()
222,,n x y z =
则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,
即11110
30
y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,
令1x =得11
3,1y z ==,
即)
m =
则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即22222
303230
x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩,令23x =,得223,1y z ==-即()
3,3,1n =- ,1111cos ,131313m n m n m n ⋅===⋅⋅
,则43sin ,13
m n =
故二面角F BM E --的正弦值为
43
13
.20.【答案】（1）22
1
43
x y +=（2）证明见解析【小问1详解】
设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故213
2a a -=,故2a =,故3
b =故椭圆方程为22
143
x y +=.
【小问2详解】
直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()
22,B x y
由223412(4)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=故()()
422
Δ102443464120k k k =-+->,故1122
k -
<<又2212122
2
326412
,3434k k x x x x k k -+==++而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故直线2
25:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-,故2222
3
325252
Q y y y x x --==--所以()1222
112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+
=--()()()
12224253425
k x x k x x -⨯-+-=
-()22
2212122264123225825834342525k k x x x x k k k k
x x -⨯-⨯+-++++==--222
2
212824160243234025
k k k k k x --+++==-故1Q y y =,即AQ y ⊥轴.
21.【答案】（1）极小值为0,无极大值.（2）1
2
a ≤-
【小问1详解】
当2a =-时,()(12)ln(1)f x x x x =++-故121
()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++
-=+-+++因为1
2ln(1),11y x y x
=+=-
++在()1,∞-+上为增函数
故()f x '在()1,∞-+上为增函数,而(0)0f '=故当10x -<<时,()0f x '<,当0x >时,()0
f x '>故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.【小问2详解】
()()()()11ln 11ln 1,011a x ax
f x a x a x x x x +-=-+'+
-=-+->++设()()()1ln 1,0
1a x
s x a x x x
+=-+->+则()()()()()()
222
11121
1111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=
-=-=-+++'+当1
2
a ≤-时,()0s x '>,故()s x 在()0,∞+上为增函数
故()()00s x s >=,即()0
f x '>所以()f x 在[)0,∞+上为增函数,故()()00f x f ≥=.
当102a -<<时,当210a x a
+<<-时,()0
s x '<故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数,故在210,a a +⎛
⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <即在210,a a +⎛
⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数
故在210,a a +⎛
⎫- ⎪⎝⎭
上()()00f x f <=,不合题意,舍.
当0a ≥,此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立
同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍
综上,1
2
a ≤-.
(二)选考题.
22.【答案】（1）221y x =+（2）3
4
a =
【小问1详解】
由cos 1ρρθ=+,
将x
ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1
ρρθ=+
1x =+,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】
对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+.法1:直线l 的斜率为1,故倾斜角为
π
4
故直线的参数方程可设为22
2x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
,s ∈R .
将其代入221y x =+
中得()22
1)210
s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ,
则)()
2
12121,21s s a s s a +=--=-且()()
2
2
Δ818116160a a a =---=->,故<1
a
12AB s s ∴=-=
2==,解得34
a =
.法2:联立221y x a
y x =+⎧⎨=+⎩,得22(22)10
x a x a +-+-=()
22Δ(22)41880a a a =---=-+>,解得1
a <设()()1122,,,A x y B x y ,2
121222,1
x x a x x a ∴+=-=-
则AB =
=2
=解得34
a =
23.【小问1详解】
因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥当a b =时等号成立,则222
22()a b a b +≥+因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b
+≥+>+【小问2详解】
222222222222()
a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。