高三数学 平面向量多选题知识归纳总结含答案

高三数学 平面向量多选题知识归纳总结含答案
一、平面向量多选题
1．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()
()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗
C ．()()()
a b c a c b c +⊗=⊗+⊗
D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】
对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λa
b 时,
()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,
()()()sin ,sin
,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会
恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行
化简验证即可. 【详解】
解：对于A ：()
()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a b
λλλ⊗=⋅，
故()
()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；
对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立； 对于C ，若λa
b ，且0λ>，()
()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，
()()()sin
,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，
显然()()()
a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立； 对于D ，1212
cos ,x x y y a b a b
+=
⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭
，
即有2
2
2121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭
=
=
=
1221x y x y =-.
则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】
本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.
2．下列命题中真命题的是（ ）
A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）
B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则
3
π
＜θ≤π
C ．A 、B 、C 、
D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形
D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】
对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】
对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即1
2
a b ⋅＜，又
1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3
π
＜θ≤π，即B 正确.
对于C ：
()()
22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，
0||
BC BD cosB BC BD ⋅=
⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所
以C 正确.
对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC
共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.
3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()2
2
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()2
2
222x y -+-=上
C ．线段PG 长的最大值为1
D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用
1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到2
3PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.
【详解】
对于选项A ：设()00,G x y ，
2AB =
G 为弦AB 的中点，
GB ∴=，
而()()2
2
:114C x y +++=， 半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，
又圆心()1,1C --，
()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ：
由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩
，
得222
232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2， 故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()2
2
111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()2
2
222x y -+-=，
()(
)11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=
所以线段
1112max 11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确； 对于选项D ：
()()
PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()
2
PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 2
2
2
03PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()
(
)
2
min
min
3
PA PB
PG ⋅=-，
由选项C
知：
1112min 11PG PG r r =--=-=，
所以(
)
()
2
min
136PA PB
⋅=-=-，
故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
4．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）
A ．当0x =时，[]2,3y ∈
B ．当P 是线段CE 的中点时，1
2x =-，52
y =
C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段
D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】
利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】
当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，1
3()2
OP OE EP OB EB BC =+=+
+ 115
3(2)222
OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对
x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一
点，故P 的轨迹是线段，故C 对
如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：
OP ON OM =+；
又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；
由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；
此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】
结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.
5．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
23
()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣，
而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()
a c
b
c a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()
b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-
D ．(
)()
22
323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，
()()()()()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦
， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；
选项C ，∵a 与b 不共线，
∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；
若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()
22
223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
7．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是
PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233
PG PH a b a b =
=⨯+=+， 1121111
,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，
1111
3333
FG PG PF a b b a =-=+-=，
11
21133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，
∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；
0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=
，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()2
cos ,2||||122
a a
b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式22
+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
22
2
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式
1212222
2
1122•+?a b
cos a b x y x y ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.
二、立体几何多选题
9．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）
A ．11E
B AD ⊥
B ．二面角11E A B A --的大小为
4
π
C ．三棱锥11A B
D
E -体积的最小值为3
13
a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】
连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知
14
DA A π
∠=
，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为
求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为3
16a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，
则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】
选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，
11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A D
A B A =， 则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，
所以11EB AD ⊥，选项A 正确；
选项B ，因为11//DE A B ， 则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --，
由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ，
则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=
， 所以选项B 正确；
选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ，
则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，
连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，
则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小，
由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ，
所以1111
123111113326
D AB D B ADD ADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；
选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，
平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ，
则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.
10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 有可能是梯形
B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
C ．四边形1BF
D
E 有可能垂直于平面11BB D D
D ．四边形1BFD
E 面积的最小值为
62 【答案】BCD
【分析】
四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62
. 【详解】
过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ，
如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E
平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，
故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；
对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；
对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为
16232=D 正确. 故选：BCD
【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。