考研数学(数学二)模拟试卷283(题后含答案及解析)

考研数学（数学二）模拟试卷283(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( )．A．不可导
B．可导但f’(x)≠0
C．取得极大值
D．取得极小值
正确答案：D
解析：利用等价无穷小的代换求得f(x)．由于x→0时，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件，而f(x)在x=0处可导f’(0)=0，取极小值．则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)．
2．曲线y=e1/x2arctan的渐近线有( )．
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
正确答案：B
解析：因故y=π/4是曲线的水平渐近线，又故x=0是曲线的垂直渐近线．故应选(B)．
3．设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )．
A．当f(a).f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0
B．对任何ξ∈(a，b)，有
C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0
D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)
正确答案：B
解析：由于f(x)在(a，b)内可导，ξ∈(a，b)则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故所以应选(B)．
4．设f(x)=，则f(x)在点x=1处的( )．
A．左、右导数都存在
B．左导数存在，但右导数不存在
C．左导数不存在，但右导数存在
D．左、右导数都不存在
正确答案：B
解析：由左、右导数的定义知所以f_’(1)=2，但f+’(1)不存在．故应选(B)．
5．设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于( )．
A．f(x)
B．f(x)dx
C．f(x)+C
D．f’(x)dx
正确答案：B
解析：因，故应选(B)．
6．设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由题设可得
7．设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．
A．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)都线性相关
B．向量组(Ⅰ)线性相关
C．向量组(Ⅱ)线性相关
D．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关
正确答案：D
解析：因为向量组(Ⅲ)线性相关，所以矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0．因此｜A｜、B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，亦即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关，所以选(D)．
8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜=0，则A( )．
A．必有一列元素全为0
B．必有两列元素对应成比例
C．必有一列向量是其余列向量的线性组合
D．任一列向量是其余列向量的线性组合
正确答案：C
解析：本题考查｜A｜=0的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D)都是充分不必要条件．以3阶矩阵为例，若A=，条件(A)、(B)均不成立，但｜A｜=0．若A=，则｜A｜=0，但第3列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确．这样，用排除法可知应选(C)．
填空题
9．设，其中f可导，且f’(0)≠0，则dy/dx｜t=0=__________．
正确答案：3
解析：
10．函数y=x+2cosx在上的最大值为__________．
正确答案：
解析：先求出[0，π/2]内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值．因为y’=1-2sinx，令y’=0，得[0，π/2]内的驻点x=π/6．又y(0)=2，
11．设函数z=z(x，y)由方程F(x-az，y-bz)=0所给出，其中F(u，v)任意可微，则=_________．
正确答案：1
解析：因故
12．=_________．
正确答案：π/12
解析：
13．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________．
正确答案：
解析：由题设，根据麦克劳林公式，xn的系数为
14．设，已知Aa与a线性相关，则a=_________．
正确答案：-1
解析：，由于Aa与a线性相关，则存在数k≠0 使Aa=ka，即a=ka，2a+3=k，3a+4=k三式同时成立．解此关于a，k的方程组可得a=-1，k=1．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．求
正确答案：
16．设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
正确答案：由题设，f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上也必然连续，则在[0，2] 上f(x)必有最大值M和最小值m，因而m≤f(0)≤M，m≤f(2)≤M，从而由连续函数的介值定理，知存在一点η∈[0，2]，使由已知条件f(0)+f(2)=3，可推知f(η)=1，因此f(η)=f(3)=1，η∈[0，2]．由罗尔定理，知存在ξ∈(η，3)[0，3)，使f’(ξ)=0．证毕．
17．设
正确答案：由参数方程求导法知
18．已知连续函数f(x)满足条件f(x)=
正确答案：方程f(x)=∫03xf(t/3)dt+e2x。

两边对x求导得f’(x)=3f(x)+2e2x，即f’(x)-3f(x)=2e2x，令x=0，由原方程得f(0)=1．于是，原问题就转化为求微分方程f’(x)-3f(x)=2e2x满足初始条件f(0)=1的特解．由一阶线性微分方程的通解公式，得代入初始条件f(0)=1，得C=3，从而f(x)=3e3x-2e2x．
19．假设曲线ι1：y=1-x2(0≤x≤1)与x轴，y轴所围成区域被曲线ι2：y=ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．
正确答案：如图，由，得曲线ι1与曲线ι2的交点为，所求平面图形面积为
20．设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且(Ⅰ)验证f’’(u)+f’(u)/u=0；(Ⅱ)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．
正确答案：(Ⅰ)用复合函数求导法验证，令[*]，则[*](Ⅱ)因为f’’(u)+[*]=0(已证)，所以uf’’(u)+f’(u)=0，即[uf’(u)]’=0，积分得uf(u)=C1，由f’(1)=1[*]C1=1，于是f’(u)=1/u，再积分得f(u)=lnu+C2 由f(1)=0[*]C2=0，所以f(u)=lnu．
21．设二元函数f(x，y)= D={(x，y)｜x｜+｜y｜≤2}．
正确答案：设区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜1＜｜x｜+｜y｜≤2}则
22．设矩阵A与B相似，其中(Ⅰ)求x与y的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP=
B．
正确答案：(I)因为A～B，故其特征多项式相同，即｜λE-A｜=｜λE-B｜，(λ+2)[λ2-(x+1)λ+(x-2)]=(λ+1)(λ-2)(λ-y)，令λ=0，得2(x-2)=2y，即y=x-2，令λ=1，得y=-2，从而x=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知对应于A和B的共同的特征值-1、2、-2的特征向量分别为ξ1=(0，2，-1)T，ξ2=(0，1，1)T，ξ3=(1，0，-1)T，则可逆矩阵，满足P-1AP=
B．
23．设矩阵(Ⅰ)已知A的一个特征值为3，试求y；(Ⅱ)求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
正确答案：(Ⅰ)因为｜λE-A｜==(λ2-1)[λ2-(y+2)λ+2y-1=0．当λ=3时，代入上式解得y=2．于是A=(II)由AT=A，得(AP)T(AP)=pTA2P，而矩阵A2=考虑二次型xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x34=x12+x22+令y1=x1，y2=x2，y3=x3+(4/5)x4，y4=x4，得取P=，则有(AP)T(AP)=。