人教版平行四边形单元 易错题难题学能测试试卷

人教版平行四边形单元 易错题难题学能测试试卷
一、解答题
1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．
2．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？
（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
3．综合与探究
如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:
（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒
①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．
4．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．
（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，
①BCF ∠= ；
②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13
CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．
．
5．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．
（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，
AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN
CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：
①CEN DEG ∆∆≌；
②ENG ∆是等边三角形．
6．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．
7．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
（1）求证：GF GC =；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
8．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．
（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522
CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =
； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最
小值．
9．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.
（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，
求证：DM =ME ，DM ⊥.ME
简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.
（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .
10．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，
(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；
(2)如图1，若3，求AE 的长；
(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索
1
AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
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一、解答题
1．（1）见解析；（2）11
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=1
2
AC，在
Rt ACE
∆应用勾股定理即可解答．【详解】
（1）证明：∵AB CD
∥，
∴OAB DCA
∠=∠，
∵AC为DAB
∠的平分线，
∴OAB DAC
∠=∠，
∴DCA DAC
∠=∠，
∴CD AD AB
==，
∵AB CD
∥，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD AB
=，
∴ABCD是菱形；
（2）
∵四边形ABCD是菱形
∴AO CO
=
∵CE AB ⊥
∴90AEC ∠=︒
∴26AC OE ==
在Rt ACE ∆中，CE
故答案为（2．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（1）
112；（2）112
或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形 【分析】 （1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形； （2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；
（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．
【详解】
（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，
∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，
此时有t=22﹣3t ，解得t=
112． ∴当t=112
时，四边形ABQP 成为矩形； 故答案为
112； （2）如图1，当t=
112
时，四边形ABQP 成为矩形， 如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，
则16﹣t=3t ，
解得：t=4， ∴当t=
112
或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为112
或4； （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：
∵PD ∥BQ ，
∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．
由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，
解得：t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，BP=22AB AP
+
=228t +=2283+=73≠13，
∴四边形PBQD 不能成为菱形；
如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，
由题意，得221622168t vt
t t
-=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得62t v =⎧⎨=⎩． 故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．
【点睛】
此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．
3．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒
【分析】
（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;
（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．
【详解】
解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）
理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90︒,
∴∠ABC=∠ACB=45︒,
∵∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD 和△CAF 中,
BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,
∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,
∵∠ACB=45︒,
∴∠FCB=90︒,
∴CF ⊥BD,CF=BD,
故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
理由:
由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．
∵∠BAC=90︒,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC,
∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90︒,AB=AC,
∴∠ABC=45︒,
∴∠ACF=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF ⊥BD ．
（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF ⊥BD ．
理由:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,
∴AC=AG,
由（1）可知:△GAD ≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGD=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,
即CF ⊥BD ．
故答案为45︒．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．
4．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，3【分析】
（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；
（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；
（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132
==
=BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∴∠BAD+∠DAC=60°
在菱形ADEF 中
AD=AF
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°
∴∠CAF=∠DAB
又∵AC=AB ，AF=AD
∴△ACF ≌△ABD
∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120° 故答案为：120°
②∵BC=BD+CD ，BD=CF
∴BD=CF+CD
故答案为：BC=CD+CF
（2）不成立
理由：∵ABC ∆是等边三角形
∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC = 又∵60DAF ∠=
∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠ ∴FAC DAB ∠=∠
∵四边形ADEF 是菱形
∴AD AF =
∴≅△△ADB AFC
∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-= ∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-= ∵BC CD BD =-
∴BC CD CF =-
（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是263 ∵60BAC DAF ∠=∠= ∴BAD CAF ∠=∠
又∵AB AC =，AD AF = ∴≅△△ADB AFC
∴16683
CF BD BC CD ==+=+⨯= ∴如图，
过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD ∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322BH HC BC ===⨯=
∴325HD HC CD =+=+=
∵22236927AH AB BH =-=-=
∴AD =
∴1222AFD ADEF S S ∆==⨯
⨯=菱形 【点睛】
此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．
5．（1
）AH 2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；
（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；
②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】
（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.
∵AH BD ⊥，∴1
302
DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.
∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，
∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.
∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.
∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.
在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.
②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.
∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.
∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.
∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.
∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.
∴ENG ∆是等边三角形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出
△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，
∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：
∵AF 平分∠BAD ，
∴∠BAF=∠DAF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠CFE ，
∴∠CEF=∠CFE ，
∴CE=CF ，
又∵四边形ECFG 是平行四边形，
∴四边形ECFG 为菱形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，AB=DC ，AD ∥BC ，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF 是菱形，
∴CE=GE ，∠BCG=
12
∠BCF=60°， ∴CG=GE=CE ，∠DCG=120°，
∵EG ∥DF ，
∴∠BEG=120°=∠DCG ，
∵AE 是∠BAD 的平分线，
∴∠DAE=∠BAE ，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵
BE CD
BEM DCM EM CM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形．
∵AB=10，AD=24，
∴BD=22221024AB AD +=+=26，
∴2132DM BD =
=． 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
7．（1）详见解析；（2）2BH AE =，理由详见解析
【分析】
1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明
△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =
，得结论；
【详解】
证明：（1）如图1，连接DF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，
∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，
∴ADE ∆≌FDE ∆，
∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，
∴90DFG ∠=︒，
在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，
∵DF DC DG DG =⎧⎨=⎩
∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），
∴GF GC =；
（2）2BH =，理由是：
如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，
∵AD AB =，
∴DM BE =，
由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，
∵90ADC ∠=︒，
∴123490∠+∠+∠+∠=︒，
∴222390∠+∠=︒，
∴2345∠+∠=︒，
即45EDG ∠=︒，
∵EH DE ⊥，
∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，
∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，
∴1BEH ∠=∠，
在DME ∆和EBH ∆中，
1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DME ∆≌EBH ∆
∴EM BH =，
Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =， ∴2EM AE =
， ∴2BH AE ； 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
8．（1）①7；②证明见解析；（293，理由见解析 【分析】
（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．证明△BDT 是等腰直角三角形，四边形ACTE 是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可； ②如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ，进而利用全等三角形的性质证明
△CEF 是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x ，则∠BAC=2x ．证明△ABC 是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．
∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∵CA=CB ，EA=ED ，
∴∠B=∠D=45°，
∴∠BTD=90°，
∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°，
∴四边形ACTE 是矩形， ∴52EC AT ==
， ∵TH ⊥BD ，
∴BH=HD=x ，
∴TH=HB=HD=x ，
∵AB=3，
∴AH=x-3，
在Rt △ATH 中，则有22252(
())3x x =-+， 解得：72x =或12
-（不符合题意舍弃）， ∴BD=2x=7．
②证明：如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ．
∵∠B=∠D=45°，
∴TB=TD，
∵∠BTD=90°，BF=DF，
∴TF⊥BD，∠FTE=∠BTF=45°，
∴TF=BF，∠BFT=90°，
∵四边形ACTE是矩形，
∴TE=AC，
∴AC=BC，
∴BC=TE，
∵∠B=∠FTE=45°，
∴△FBC≌△FTE（SAS），
∴FC=EF，∠BFC=∠TFE，
∴∠CFE=∠BFT=90°，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴EC=2EF．
（2）如图3中，设∠EAD=x，则∠BAC=2x．
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=x，
∴2x+∠AED=180°，
∵∠ACB+∠AED=180°，
∴∠ACB=2x，
∵CB=CA，
∴∠B=∠CAB=2x，
∴∠C=∠B=∠CAB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=60°，∠EAD=30°，
当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，
∵AB=BC=AC=3，
∴
32
2 AD ，
∴S △ADE 的最小值132********
=
⨯⨯=． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（3）2或42，17.
【分析】
（1）结论：DM ⊥EM ，DM=EM ．只要证明△AMH ≌△FME ，推出MH=ME ，AH=EF=EC ，推出DH=DE ，因为∠EDH=90°，可得DM ⊥EM ，DM=ME ；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；
【详解】
解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.
如图1中，延长EM 交AD 于H ．
∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，
∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =，
∴//AD EF ，
∴MAH MFE ∠=∠，
∵AM MF =，AMH FME ∠=∠，
∴△AMH ≌△FME ，
∴MH ME =，AH EF EC ==，
∴DH DE =，
∵0EDH 90∠=，
∴DM ⊥EM ，DM=ME ．
（2）结论仍成立.
如图，延长EM 交DA 的延长线于点H,
∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,
∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =,
∴AD ∥EF,∴MAH MFE ∠=∠.
∵AM FM =，AMH FME ∠=∠,
∴△AMF ≌△FME(ASA), …
∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.
在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,
∴=DM EM ，DM ⊥EM.
（3）①当E 点在CD 边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2
,此时DE EC DC 532=-=-=,所以2DM = ②当E 点在CD 的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 2，此时DE DC CE 538=+=+= ，所以42DM = ； ③当E 点在BC 上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME 为等腰直角三角形，
证明如下：∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形, 且点E 在BC 上
∴AB//EF ，∴HAM EFM ∠=∠，
∵M 为AF 中点，∴AM=MF
∵在三角形AHM 与三角形EFM 中：
HAM EFM AM MF
AMH EMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△AMH ≌△FME(ASA),
∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.
∵在三角形AHD 与三角形DCE 中：
090AD DC DAH DCE AH EF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
， ∴△AHD ≌△DCE(SAS),
∴ADH CDE ∠=∠,
∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，
∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,
∵在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,
∴三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2
，此时在直角三角形DCE 中2222DE DC CE 5334=+=+= ，所以DM=17
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）AE ＝33）（3）
12AG AF =. 【分析】 （1）运用四边形AMFN 是正方形得到判断△AMC,△AND 是Rt △，进一步说明△ABC 是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.
（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x ，则AE=2x 3x ，得到△GBE 是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt △AMC ≌Rt △AND ，最后通过计算求得AE 的长；
（3）延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =，可得GMB ∆≌11GFC ∆，从而得到111BM FC DF == 1BMG GF
N ∠=，可知BM ∥1F N , 再根据题意证明ABM ∆≌1ADF ∆，进一步说明1AMF ∆是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形AMFN 是正方形，
∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°
∴△AMC,△AND 是Rt △
∵△ABC 是等边三角形
∴AB=AC
∵旋转后AB=AD
∴AC=AD
∴Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)
（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，
设AG ＝x
则AE=2x 3x
易得△GBE 是等腰直角三角形
∴BG=EG 3x
∴AB=BC=31)x
易得∠DHF=30°
∴HD=2DF=3，HF=3
∴BF=BH+HF=233
∵Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)
∴易得3
∴BC=BF-CF=233333=+∴(31)33x =∴3x =∴AE ＝223x =
（3）122
AG AF =； 理由：如图2中,延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =,则GMB ∆≌11GFC ∆,
∴111BM FC DF == 1BMG GF
N ∠=, ∴BM ∥1F N ,
∴MBA N ∠=∠
∵0190NAO OF D ∠=∠= 1AON DOF ∠=∠
∴1N ADF ∠=∠
∴1ABM ADF ∠=∠,
∵AB AD =
∴ABM ∆≌1ADF ∆（SAS ）
∴1AM AF = 1MAB DAF ∠=∠
∴0190MAF BAD ∠=∠=
∴1AMF ∆是等腰直角三角形
∴1AG MF ⊥ 1AG GF = ∴12AF ∴12AG AF =【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.。