广东第二师范学院第三届数学建模竞赛

广东第二师范学院第三届数学建模竞赛
试题及参考解答
一、最大收益
某食品厂生产Ⅰ型和Ⅱ型饼干.在每种饼干的生产过程中，都需要使用搅拌机（A ）、成型机（B ）和烘箱（C ）三种设备.已知每生产一吨Ⅰ型饼干需要在A 、B 、C 上工作的时间分别为4、5、8小时.对Ⅱ型饼干，相应的时间为6、4、3小时.每生产一吨Ⅰ、Ⅱ型饼干均可获得利润7百元.这些饼干在市场上都很畅销.但由于条件限制，A 、B 、C 每天可供利用的工时不能超过24、20、24小时，试问应如何安排每天Ⅰ、Ⅱ型饼干的生产量，才能使该厂获得最大的收益？
解：设每天Ⅰ、Ⅱ型饼干的生产量分别为12,x x 吨，每天的利润为Z ，则此问题的数学模型为：
12maxZ 77x x =+
s.t.1212
12124624
54208324,0
x x x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ ------（10分）
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线112:4624l x x +=，212:5420l x x +=，312:8324l x x +=以及
0,0x y ==组成的凸五边形区域.直线12:77l x x c +=在可行域内平行移动
.
------（18分） 易知：当l 过1l 与2l 的交点时，Z 取最大值.
由121246245420x x x x +=⎧⎨
+=⎩ 解得12
127
207
x x =⎧⎨=⎩
此时 max 1220
773277
Z =⨯
+⨯=(百元). ------（25分） 故每天生产Ⅰ型饼干127吨，Ⅱ型饼干207吨，相应的收益最大是3200元.
二、快件派送
如图，快递员从C 3骑车出发往A 2、C 1、E 2三处送快件，然后回到C 3.图中数字单位为hm (百米)，假设车速为15km/h ，送快件时每处耽误5min ，试为快递员设计一条最短路线.问从出发算起30min 内该快递员能否回到出发地点？
解：
第一步：先找出C 3到达A 2、C 1、E 2各点间最短距离如下表：(单位hm) 从 到
C 3 A 2 C 1 E 2
C 3 0 9 8 10 A 2 9 0 11 16 C 1
8 11 0 8 E 2
10
16
8
-------------（10分）
第二步：将第一步中表格转化为各地点间的加权无向图G(见下图)
1.C 3；
2.A 2；
3.C 1；
4.E 2
图 各点间加权无向图 ------（17分）
第三步，按最优邻近法求最佳线路的具体过程如下：
16
①开始于顶点1，组成闭回路11，在下一阶段最邻近1的顶点为顶点3，建立闭回路131，顶点4最邻近顶点3，建立闭回路1341.
②将顶点2插入上面闭回路，得到6个闭回路是13421、13241、14321、14231、12341、12431，它们的长度分别为41、45、38、45、38、41.在这些闭回路中长度最短的回路14321、12341为最佳线路，即C 3—A 2—C 1 —E 2—C 3或C 3—E 2—C 1—A 2—C 3，距离均为3800m.按所给数据，骑车和派件耽误时间共
2.30356015000
3800
=⨯+⨯ (min)
故从出发算起半小时内该快递员不能回到出发地点. ------（25分）
三、雪球融化
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩小为3cm ，试推导雪球的体积随时间变化的关系式，并求3个小时后雪球的体积.
解：设t 时刻雪球的体积为()v t ,表面积为s(t),则
)()
(t ks dt
t dv -=，--（10分） 根据球体的体积(v =334R π)和表面积(s=4R π2
=32
)43(4ππv )的关系得s(t)=32
32313)4(v π，引入新常数 r =k 3
23
13)4(π，再利用题中的条件得32
rv dt
dv
-=,v(0)=288π,v(2)=36π， --------------------（15分） 分离变量积分得方程的通解为 v(t)=
27
1(c －rt)3
---------------（20分） 利用条件v(0)=288π和v(2)=36π得c=363
6
π
，r=93
6
π
.代入得雪球体积随时间变化的关
系式为 v(t)=
3
)312(6
t -π
（实际问题要求t ∈[0,4]）. 3个小时后雪球的体积为：
v (3)=92
π
. --------------（25分）
四、宠物食谱
一名兽医推荐宠物狗每天的食谱中应该包含100个单位的蛋白质，200个单位的卡路里，50个单位的脂肪.一个商店的宠物食物部有4种食物，分别为A 、B 、C 、D.每千克食物所含的营养成分如下：
若单从该商店的这四种食物中取材，是否存在某种方案满足兽医推荐的食谱？
解：此问题是对食物A 、B 、C 、D 进行混合，使得混合物中各种营养成分的含量与兽医推荐的量相等，故可列出线性方程组对此问题进行求解.
设宠物狗一天食谱中食物A 、B 、C 、D 的量分别为1x 、2x 、3x 、4x （千克）.为保证其食谱满足兽医的推荐，可得如下线性方程组：
1234123412345471010020251052002210650
x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩
.---------（10分）
同解方程组为：
1234234345325181160361685
x x x x x x x x x +++=⎧⎪
--=-⎨⎪+=⎩
.----------（15分）
通过回代的方法确定上述方程组的非负解（实际问题的需要）.
令4x t =，则0t ≥.于是，31(8516)036x t =
-≥，此时要求85
16t ≤.----（20分） 将4x 与3x 回代，求得235302
x t =-≥，此时要求35
6t ≥
. 然而1685635>, 故3585616
t ≤≤
无解.这就说明，不可能找到方程组的非负解，也即，该商店中的这四种食物无论如何配比，都不能完成兽医的配方要求. --------（25分）
五、最优生产
甲车间为乙车间生产某种原料，已知乙车间平均每月需要100件，而甲车间平均每月生产500件，因此甲车间要进行等周期分批有间断的生产. 另外甲车间的产品运到乙车间时要包装，平均每批的包装费为4元. 若运到乙车间后暂时来不及加工，则要花费存贮费，平均每件每月0.4元，每月按30天计算，请通过建立数学模型给出甲车间的最优生产周期. (注：据调查知在一个生产周期T 天的存贮费用为
01()2P R TT C -，其中0=R
T T P
为生产时间，P 为甲车间的生产速度，R 为乙车间的需求速度，C 为每天每件产品的存贮费.) 解：设一个生产周期T 天的包装费为D ，每个月生产的批数为30/T ，因此每个月内的总费用()F T 为
0301()()2130()2F T D P R TT C T D R P R TC T P ⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭
⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
------------------（10分）
利用微积分求极值方法可得
2
1()3002D P R F T RC T P -⎛⎫'=-
+= ⎪⎝⎭
从而
T =
-------------（15分）
已知：P =500/30，R =100/30，D =4，C =0.4/30，于是可得
15T ===
因此，甲车间的最优生产策略为每隔15天生产一批. ----------（25分）
六、鱼雷轨迹
位于坐标原点的我舰向位于x 轴上距离我舰1公里处的敌舰发射制导鱼雷．假设敌舰以速度0v 沿着平行于y 轴的直线行进，鱼雷始终对准敌舰且速度为02v . 请建立数学模型确定鱼雷的轨迹方程.
解：设鱼雷航行轨迹方程为()y y x =. 在时刻t 鱼雷的坐标为(,)P x y ，敌舰的坐标为
0(1,)Q v t . 因鱼雷始终对准敌舰，所以有
01v t y
y x
-'=
- (1) ----------（5分） 而弧线»OP
的长度为
00
2=⎰
v t (2) ----------（8分）
由(1)、(2)两式消去0v t 得
(1)x y ''-=
（12分） 根据题意，初始条件为(0)0,(0)0y y '== 令y p '=，方程(3)化为
(1)x p '-=
由方程(4)解得
1
2
1(1)y C x -
'=- (5) ----------（17分）
将(0)0y '=代入(5)式得11C =，所以12
(1)
y x -'=-，又由
1
2
(1)y x '=
=-，于是
112
21(1)(1)2y x x -⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭
(6) ----------（22分）
积分得
31
2
221(1)(1)3
y x x C =---+ (7)
将(0)0y =代入(7)式得22
3
C =
，所以鱼雷的航行轨迹方程为 31
2
212(1)(1)33
y x x =---+． ----------（25分）。