考研数学三(线性代数)模拟试卷19(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷19(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，则P-1AP等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以P-1AP=，选
C．知识模块：线性代数
2．设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．
A．A，B相似于同一个对角矩阵
B．存在正交阵Q，使得QTAQ=B
C．r(A)=r(B)
D．以上都不对
正确答案：D
解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C 都不对，选
D．知识模块：线性代数
3．设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．
A．若A2=E，则一1一定是矩阵A的特征值
B．若r(E+A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值
C．若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值
D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值
正确答案：A
解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则，根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A 是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λE(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=
λ2XTX，即(λ2一1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选A．知识模块：线性代数
4．与矩阵A=相似的矩阵为( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选
D．知识模块：线性代数
5．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．
A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等
B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵
C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为
D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等
正确答案：D
解析：知识模块：线性代数
6．设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
A．存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B
B．存在正交矩阵Q，使得QTAQ=B
C．A，B与同一个对角矩阵相似
D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B
正确答案：D
解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选
D．知识模块：线性代数
填空题
7．设A=，｜A｜＞0且A*的特征值为一1，一2，2，则a11+a22+a33=________．
正确答案：-2
解析：因为｜A*｜=｜A｜2=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A-1=，一1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为一2，一1，1，于是a11+a22+a33=一2—1+1=一2．知识模块：线性代数
8．设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=一，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，则P-1(A-1+2E)P= ．
正确答案：
解析：P-1(A-1+2E)P-1A-1P+2E，而-1A-1P= 知识模块：线性代数
9．设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1，α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足________．
正确答案：λ2λ3≠0
解析：令x1α1+x2A(α1+α2)+x3A2(α1+α2+α3)一0，即(x1+λ1x2+λ12x3)α1+(λ2x2+λ22x3)α2+λ32x3α3=0，则有x1+λ1x2+λ12x3=0，λ22x2+λ22x3=0，λ32x3=0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以≠0→λ2λ3≠0．知识模块：线性代数
10．若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜= ．
正确答案：2
解析：令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，知识模块：线性代数
11．设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，一a，1)T是方程组AX=0的解，α=(a，1，1一a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=________．
正确答案：1
解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1=0，λ2=一1为矩阵A的特征值，α1=(a，一a，1)T，α2=(a，1，1一a)T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2=a2一a+1一a=0，解得a=1．知识模块：线性代数
12．设A=有三个线性无关的特征向量，则a=________．
正确答案：4
解析：由｜λE一A｜==(λ+1)(λ一1)2=0得λ1=一1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E—A)=1，解得a=4．知识模块：线性代数
13．设A=有三个线性无关的特征向量，则a=________．
正确答案：0
解析：由｜λE一A｜=0得A的特征值为λ1=一2，λ1=λ3=6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E—A)=1，解得a=0．知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14．设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．
正确答案：因为A2=A→A(E—A)=O→r(A)+r(E—A)=n→A可以对角化．由A2=A，得｜A｜．｜E—A｜=0，所以矩阵A的特征值为λ=0，1．因为r(A)=r，所以λ=1为r重特征值，λ=0为n一r重特征值，所以5E+A的特征值为λ一6(r重)，λ=5(n一r重)，故｜5E+A｜=5n-r×6r．涉及知识点：线性代数
15．设A=相似于对角阵．求：(1)a及可逆阵P，使得P-1AP=A，其中A 为对角阵；(2)A100．
正确答案：(1)｜λE一A｜=0→λ1=λ2=1，λ3=一1．因为A相似于对角阵，所以r(E—A)=1→a=一2→A=(E—A)X=0基础解系为ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(一E—A)X=0基础解系为ξ3=(1，2，一1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP=diag(1，1，一1)．(2)P-1A100P=E→A100=PP-1=E．涉及知识点：线性代数
16．设A=有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
正确答案：因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E—A)=1，涉及知识点：线性代数
17．设A=有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．
正确答案：因为A为上三角矩阵，所以A的特征值为λ=λ=1，λ=λ=一1．因为A有四个线性无关的特征向量，即A可以对角化，所以有所以P-1A2010P=E，从而A2010=E．涉及知识点：线性代数
18．设A=，方程组AX=β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．
正确答案：(1)因为方程组AX=β有解但不唯一，所以｜A｜=0，从而a=一2或a=1．涉及知识点：线性代数
19．设矩阵A=，(1)若A有一个特征值为3，求a；(2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．
正确答案：(1)｜λE一A｜=(λ2一1)[λ2-(a+2)λ+2a一1]，将λ=3代入上式得a=2，于是A=(2)由｜λE一A2｜=0得A2的特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．当λ=1时，由(E—A2)X=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，一1，1)T；当λ=9时，由(9E—A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．将α1，α2，α3正交规范化得β1=(1，涉及知识点：线性代数
20．设矩阵A=为A*对应的特征向量．(1)求a，b及a对应的A*的特征值；
(2)判断A可否对角化．
正确答案：(1)显然α也是矩阵A的特征向量，令Aα=λ1α，则有涉及知识点：线性代数
21．设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且的列向量，且Aξ1=一ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1一ξ2一2ξ3，Aξ3=2ξ1一2ξ2一ξ3．(1)求矩阵A的全部特征值；(2)求｜A*+2E｜．
正确答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～=
B．由｜λE一A｜=｜λE-B｜=(λ+5)(λ一1)2=0，得A的特征值为一5，1，1．(2)因为｜A｜=一5，所以A*的特征值为1，一5，一5，故A*+2E的特征值为3，一3，一3．从而｜A2+2E｜=27．涉及知识点：线性代数
22．设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2一4E 的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．
正确答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2一4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A*｜=36=｜A｜3-1，所以｜A｜=6．由，得λ1=3，λ2=2，λ3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为1，．因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化．涉及知识点：线性代数
23．设A=(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．正确答案：涉及知识点：线性代数
24．设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明α，Aα线性无关；(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；
正确答案：(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，显然k2≠0，所以Aα=一，矛盾，所以α，Aα线性无关．(2)由A2α+Aα一6α=0，得(A2+A一6E)α=0，因为α≠0，所以r(A2+A一6E)＜2，从而｜A2+A一6E｜=0，即｜3E+A｜．｜2E—A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E—A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E一A)α=0，得(2E一A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E—A｜≠0，则2E—A可逆，由(2E一A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=一3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E一A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值一3，2，故A可对角化．涉及知识点：线性代数
25．设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A可否对角化．
正确答案：(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一个特征值为λ1=2；又由A(α1-α2)=一(α1-α2)，A(α2-α3)=一(α2-α3)，得A的另一个特征值为λ2=一1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1-α2与α2-α3也线性无关，所以λ2=一1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，一1，一1．(2)因为α1-α2，α2-α3为属于二重特征值一1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．涉及知识点：线性代数。