效实中学高三上学期期始考数学理试题

宁波效实中学高三起始考（理科数学）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．
请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π- 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
3、函数()2sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别
是 A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π
4、已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于
A ．()
10
613--- B ．
()101
139
-- C ．()10313-- D ．()1031+3- 5、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6、已知2
10
cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A ．
34 B ．4
3
C ．43-
D ．34-
7、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若1
23
AD DB CD CA CB λ==+，
，则λ= A ．23 B ．13 C ．13- D ．23
-
8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是
A ．34000cm 3
B ．3
8000cm 3
C ．32000cm
D ．34000cm
9、已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是
A ．()y f x =的图像关于(),0π中心对称
B ．()y f x =的图像关于直线2
x π
=对称
C ．()f x 3
D ．()f x 既奇函数,又是周期函数 10、在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
|P A |2＋|PB |2
|PC |2
等于
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ____.
12、若13
cos(),cos()55
αβαβ+=
-=，.则tan tan αβ= . 13、已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
14、已知平面向量a ，b ，c 不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a |＝2，|b |＝2，|c |＝1，
则a ＋b ＋c 与a 的夹角是________． 15、如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,22
sin 32,33
BAC AB AD ∠=
==则BD 的长为_______________
16、下面有五个命题：
①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z πα
α⎧⎫=
∈⎨⎬⎩
⎭
20
20正视图
20侧视图
10
10
20俯视图
A
B
C
D
P E
③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.
④把函数.2sin 36
)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π
π+= ⑤函数sin()[0].2
y x π
π=-
在，上是减函数
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）
17、已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=︒。

若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的大小是__________.
三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18、已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π.
（1）求α2tan 的值； （2）求β.
19、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．
（1）求B 的大小；
（2）求cos sin A
C +的取值范围． 20、已知函数2
()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫
=++- ⎪+⎝
⎭
∈R . （1）求f (x )的最小正周期;
（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
21、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 22、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ， 60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，
E 是PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥；
（2）证明PD ⊥平面ABE ；
（3）求二面角A PD C --的正切值。

宁波效实中学高三起始考（理科数学）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．
请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π- 【答案】D
2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
【答案】B
3、函数()2sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别
是 (A)2,3
π
-
(B)2,6
π
-
(C)4,6
π
-
(D)4,
3
π
【答案】A
4、已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于
(A)()
10
613--- (B)
()101
139
-- (C)()10313-- (D)()1031+3- 答案C
5、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = Ａ．2
Ｂ．4
Ｃ．6
Ｄ．8
【答案】B
6 、已知2
10
cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.
34 B. 4
3
C.43-
D.34-
【答案】C
7、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若1
23
AD DB CD CA CB λ==+，
，则λ= A ．
23
B ．
13
C ．13
-
D ．23
-
【答案】A
8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是
Ａ．
34000cm 3 Ｂ．3
8000cm 3
Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm
【答案】B
9．已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是
(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2
x π
=对称
(C)()f x
(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 【答案】C
10、在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
|P A |2＋|PB |2
|PC |2
＝
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10 【答案】D
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=
_____
12、若13
cos(),cos()55
αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= 1
2 .
13、已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
[答案] 3 2
14、已知平面向量a ，b ，c 不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a |＝2，|b
|＝2，|c |
＝1，
则a ＋b ＋c 与a 的夹角是________．
正视图
侧视图
俯视图
答案60°
15、如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,22
sin 32,33
BAC AB AD ∠=
==则BD 的长为_______________
3
16、下面有五个命题：
①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =
Z k k ∈π
,2
|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36
)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π
π+= ⑤函数.0)2
sin(〕上是减函数，在〔ππ
-
=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））
17、已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=︒。

若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的大小是____90____。

三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18、已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
（1）求α2tan 的值. （2）求β.
分析：本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以
及计算能力。

解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得2
2
143sin 1cos 17αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
∴sin 437tan 43cos 1ααα=
==()
22tan 24383tan 21tan 143ααα⨯==--（Ⅱ）由02
π
αβ<<<
，得02
π
αβ<-<
又∵()13
cos 14αβ-=，∴()()2
21333sin 1cos 114αβαβ⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭
由()βααβ=--得：
()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11343331
7147142
=
⨯+⨯= 所以3
π
β=
19、已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛
⎫=-++- ⎪+⎝
⎭∈R .
（1）求f (x )的最小正周期;
（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
解：
20、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 解：
（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且42
12211413d q d q ⎧++=⎪
⎨++=⎪⎩，，
解得2d =，2q =．
所以1(1)21n a n d n =+-=-，
112n n n b q --==．
（Ⅱ）
1212
n n n a n b --=． 1221352321
12222
n n n n n S ----=+
++++，① 3252321
223222
n n n n n S ----=+++++，②
②－①得22122221
222222n n n n S ---=+++++-，
22111
121
22122
22
n n n ---⎛⎫=+⨯+++
+
- ⎪⎝⎭ 111
1212221212
n n n ---
-=+⨯-- 12362
n n -+=-．
21、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小；
（2）求cos sin A C +的取值范围．
解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =， 由AB
C △为锐角三角形得π6
B =
． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛
⎫+=+π-
- ⎪6⎝⎭
cos sin 6A A
π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++
3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭． 由ABC △为锐角三角形知，
22A B ππ->-，2263B
ππππ-=-=． 2336
A πππ
<+
<，
所以
1sin 23
A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭
3A π⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，．
A
B
C
D
P E
22、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ， 60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，
E 是PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥；
（2）证明PD ⊥平面ABE ；
（3）求二面角A PD C --的正切值。

分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能
力、运算能力和推理论证能力． 解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．
AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．
而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．
（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．
由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．
而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．
PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．
（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC
a =，
可得32
PA a AD PD AE ==
==，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM
PD PA AD =∴
··，
则
7a PA AD AM a PD
=
==·
·．在
AEM
Rt △中，
sin 4
AE
AME AM =
=
所以二面角A PD C --的大小是arcsin
4
． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．
过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角．
由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，
A
C
D
P
E
M
可得13326
PA a AD PD a CF a FD a ==
===，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FD
PA PD
=∴
．
于是，a
FD PA FM PD =
==··． 在CMF Rt △
中，1tan a
CF
CMF FM ===
所以二面角A PD C --
的大小是．
A
B
C
D
P
E
F
M。