2020届高考冲刺高考仿真模拟卷(五)数学(理)(解析版)(2021年整理)

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2020高考仿真模拟卷(五）
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·山东四校联考)已知集合A＝｛x|log2x<1}，集合B＝{y｜y＝2－x}，则A∪B＝( )
A．(－∞，2）B．(－∞，2]
C．（0,2) D．[0，＋∞)
答案D
解析由题意得A＝｛x|0<x〈2｝，B＝｛y|y≥0｝，所以A∪B＝［0，＋∞）．故选D。

2．(2019·湖南桃江一中5月模拟)复平面内表示复数z＝错误!的点位于（）A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案A
解析∵z＝错误!＝错误!＝错误!＝2＋2i，
∴z在复平面对应的点(2,2)在第一象限．故选A。

3．(2019·北京师范大学附中模拟三）设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3错误!，则（)
A．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!B．错误!＝错误!错误!－错误!错误!
C．错误!＝错误!错误!－错误!错误!D．错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!
答案D
解析如图，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!＋错误!)＝错误!错误!－错误!错误!。

故选D.
4．(2019·广东梅州总复习质检）若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为错误!，则此双曲线的渐近线方程为（）
A．y＝±x B．y＝±错误!x
C．y＝±2x D．y＝±错误!x
答案D
解析由题意得e＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!，又因为双曲线焦点在y轴上,所以渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x。

故选D.
5．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述：存在无穷多个素数p,使得p＋2是素数．素数对（p，p＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为（)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
答案D
解析10以内的素数有2，3,5，7,共4个,从中任取2个构成的素数对有A24个．根据素数对(p，p＋2）称为孪生素数,知10以内的素数组成的素数对（3，5）,(5,7)为孪生素数,所以能构成孪生素数的概率P＝错误!＝错误!，故选D。

6．若正项等比数列｛a n｝满足a n a n＋1＝22n(n∈N＊），则a6－a5的值是（) A．错误!B．－16错误!
C．2 D．16错误!
答案D
解析因为a n a n＋1＝22n(n∈N*),所以a n＋1a n＋2＝22n＋2（n∈N*)，两式作比可得错误!＝4（n∈N*），
即q2＝4，又a n〉0,所以q＝2，
因为a1a2＝22＝4，所以2a错误!＝4，
所以a1＝错误!,a2＝2错误!,
所以a6－a5＝（a2－a1)q4＝16错误!。

7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm)，其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）
A．4 3 B．错误!
C．2 3 D．错误!
答案B
解析由三视图还原几何体如图所示,
该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H－EFG，三角形ABC的面积S＝错误!×2×错误!＝错误!。

∴该几何体的体积V＝错误!×4－错误!×错误!×2＝错误!.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是错误!，则判断框中可填入的条件是( ）
A．i<10？B．i<9？
C．i〉8? D．i<8？
答案B
解析由程序框图的功能可得S＝1×错误!×错误!×…×错误!＝错误!×错误!×错误!×错误!×…×错误!错误!＝错误!×错误!×错误!×错误!×…×错误!×错误!＝错误!＝错误!，所以i＝8,i＋1＝9，故判断框中可填入i〈9?.
9．已知函数f(x）＝－x3－7x＋sin x，若f(a2）＋f(a－2)〉0，则实数a的取值范围是( ）
A．（－∞，1) B．（－∞，3)
C．(－1，2) D．（－2，1）
答案D
解析因为f′(x)＝－3x2－7＋cos x<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数,又因为f（x)是奇函数,所以由f(a2)＋f(a－2）>0得f（a2）〉－f(a－2)＝f （2－a），即a2<2－a，即a2＋a－2〈0，解得－2〈a<1。

10. 如图所示，椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4,其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且｜PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M,则｜F1M|∶|F2M｜＝（）
A．2∶错误!B．1∶错误!
C．1∶3 D．1∶错误!
答案C
解析由椭圆的光学性质可知，直线l′平分∠F1PF2，因为错误!＝错误!,
又错误!＝错误!＝错误!，故错误!＝错误!。

由｜PF1｜＝1，|PF1|＋|PF2｜＝4，得｜PF2|＝3，故｜F1M｜∶｜F2M|＝1∶3.
11．设x1,x2分别是函数f（x）＝x－a－x和g（x）＝x log a x－1的零点（其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围是( )
A．［4，＋∞)B．(4，＋∞)
C．[5,＋∞）D．（5,＋∞)
答案D
解析令f（x)＝x－a－x＝0，则错误!＝a x，所以x1是指数函数y＝a x(a〉1)的图象与y＝错误!的图象的交点A的横坐标,且0<x1〈1，同理可知x2是对数函数y＝log a x （a>1）的图象与y＝错误!的图象的交点B的横坐标．由于y＝a x与y＝log a x互为反函数，从而有x1＝错误!，所以x1＋4x2＝x1＋错误!。

由y＝x＋错误!在（0，1)上单调递减，可知x1＋4x2〉1＋错误!＝5.故选D。

12．在△ABC中,已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(c＋a）∶（b＋c）＝6∶5∶4，给出下列结论：
①△ABC被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3；④若b＋c＝8,则△ABC的面积是错误!.
其中正确结论的序号是( )
A．①②B．②③
C．①②③D．②③④
答案B
解析由已知可设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0）,则a＝错误!k，b＝错误! k，c＝错误!k，所以a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3，所以③正确．又a，b，c的值不确定,所以①错误．在△ABC中，cos A＝错误!＝－错误!，A ＝错误!，所以②正确．因为b＋c＝8,所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!，所以④错误．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分．
13．设某总体是由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体编号为________．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 (1)
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)
答案19
解析由题意,从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17，16,09，19，…,
故选出来的第6个个体编号为19。

14．在（x2＋2x＋y）6的展开式中，x3y2的系数为________（用数字作答）．答案60
解析（x2＋2x＋y）6＝［(x2＋2x)＋y错误!]6，它展开式中的第r＋1项为T r C错误!（x2＋2x)6－r y错误!,令错误!＝2，
＋1＝
则r＝4,T5＝C错误!(x2＋2x)2y2＝C错误!(x4＋4x3＋4x2)y2，
∴x3y2的系数为C错误!×4＝60。

15．已知抛物线y2＝2px(p>0）的准线方程为x＝－2，点P为抛物线上的一点，则点P到直线y＝x＋3的距离的最小值为________．
答案错误!
解析由题设得抛物线方程为y2＝8x，
设P点坐标为P（x，y）,
则点P到直线y＝x＋3的距离为
d＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!≥错误!,
当且仅当y＝4时取最小值错误!.
16．(2019·广东深圳外国语学校第一次热身)已知函数f（x）＝x2cos错误!,数列｛a n｝中，a n＝f(n）＋f(n＋1）（n∈N*）,则数列｛a n}的前40项和S40＝________.
答案1680
解析由题意得a1＝f(1)＋f（2）＝0－4＝－4，a2＝f（2)＋f（3）＝－4＋0＝－4，
a3＝f(3）＋f（4)＝0＋16＝16，a4＝f(4）＋f（5）＝16，
a 5＝f (5)＋f (6）＝0－36＝－36,a 6＝f (6）＋f (7)＝－36，…
可得数列｛a n }为－4，－4,16,16,－36，－36,64,64，－100，－100，… 即有数列{a n ｝的前40项和
S 40＝（－4－4＋16＋16）＋（－36－36＋64＋64）＋（－100－100＋144＋144）
＋…＋（－1444－1444＋1600＋1600)＝24＋56＋88＋…＋312＝1
2×10×（24＋312）
＝1680。

三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c 。

已知
A ≠错误!，且3sin A cos
B ＋错误!b sin2A ＝3sin
C .
(1)求a 的值；
(2)若A ＝2π
3
，求△ABC 周长的最大值．
解 (1)由3sin A cos B ＋错误!b sin2A ＝3sin C ,得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理,得3a ·错误!＋ab ·错误!＝3c ，整理得（b 2＋c 2－a 2）（a －3）＝0，因为A ≠错误!,所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3。

(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可）6分 （2)在△ABC 中，A ＝错误!，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ,因为b 2＋c 2
＋bc ＝（b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－错误!2＝错误!(b ＋c ）2，所以错误!(b ＋c )2≤9，即（b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤2错误!,当且仅当b ＝c ＝错误!时，等号成立．
故当b ＝c ＝3时,△ABC 周长的最大值为3＋2错误!.12分
18．(2019·广东潮州二模）（本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

如果n ＝3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品,则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其
他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为错误!，且各件产品是否为优质品相互独立．（1)求这批产品通过检验的概率；
（2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．解（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，
这批产品通过检验为事件A,依题意有A＝(A1B1）∪（A2B2)，且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)＝P(A1B1）＋P（A2B2)＝P（A1)P（B1｜A1）＋P（A2）P（B2｜A2)＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

5分
（2)X可能的取值为400，500，800，6分
并且P(X＝800)＝错误!，P(X＝500)＝错误!，P(X＝400)＝1－错误!－错误!＝错误!,故X的分布列如下：
X400500800
P错误!错误!1 4
故E（X)＝400×错误!错误!错误!。

12分
19．(2019·湖南长沙长郡中学一模）(本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中,PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形,AD＝λBC，AD∥BC，∠BCD＝90°，M为线段PB上一点．
(1）若λ＝错误!,则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由;
(2）已知PA＝2,AD＝1，若异面直线PA与CD成90°角，二面角B－PC－D的余
弦值为－错误!，求CD 的长．
解 （1)延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ,则PE ⊂平面PCD ，若AM ∥平面PCD ,由平面PBE ∩平面PCD ＝PE ,AM ⊂平面PBE ,则AM ∥PE ，2分
由AD ＝1
3BC ,AD ∥BC ，则错误!＝错误!＝错误!，故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个
三等分点.4分
(2）∵PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 则PA ⊥平面ABCD ，5分
以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设CD ＝t ，
则P (0，0，2），D （0，1,0)，C (t ，1,0)，B 错误!，则错误!＝错误!,错误!＝（t ，1，－2）,错误!＝（－t,0，0），7分
设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为n 1＝（x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2,z 2)． 由n 1⊥错误!，n 1⊥错误!，得错误! 即错误!令x 1＝1，则z 1＝错误!， 故n 1＝错误!.
同理可求得n 2＝（0,2，1),9分 则cos θ＝错误!，则错误!＝错误!， 解得t ＝±2（负值舍去）， 故t ＝2。

∴CD ＝2.12分
20．(2018·北京高考）（本小题满分12分）已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点（2，－1)．
（1)求抛物线C 的方程及其准线方程；
（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点
M,N,直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B。

求证：以AB为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
解（1）由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.3分
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1（k≠0）．
由错误!得x2＋4kx－4＝0.4分
设M（x1，y1)，N(x2,y2），则x1x2＝－4。

直线OM的方程为y＝错误!x.
令y＝－1，得点A的横坐标x A＝－错误!。

同理得点B的横坐标x B＝－错误!.7分
设点D（0，n），则错误!＝错误!,
错误!＝错误!，
错误!·错误!＝错误!＋(n＋1)2
＝错误!＋(n＋1)2
＝错误!＋(n＋1）2
＝－4＋(n＋1）2。

9分
令错误!·错误!＝0，即－4＋（n＋1)2＝0,得n＝1或n＝－3。

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1）和（0,－3）.12分
21．(2019·山东潍坊一模）（本小题满分12分)已知函数f（x）＝x ln x－ax －x(a∈R）．
（1）求函数f（x)的极值；
（2）设函数g(x）＝e mx＋x2－mx（x〉0，m∈R），若存在x1≠x2，使f（x1）＝f(x2),证明：g（x1·x2）<g（e2a)．
解(1）f(x)的定义域为（0，＋∞），f′(x）＝ln x－a，令f′（x）＝0,所以x＝e a，当0〈x〈e a时,f′(x）〈0；
当x>e a时,f′（x）〉0.
所以f （x ）在(0，e a ）上单调递减，在(e a ,＋∞)上单调递增,
所以f (x )极小值＝f （e a ）＝－e a ,
所以函数f （x ）的极小值为－e a ,无极大值。

4分
（2)证明:g ′(x ）＝m e mx ＋2x －m ＝m （e mx －1）＋2x ，
当m 〉0时，由于x >0，所以e mx >1，e mx －1〉0,
即g ′（x )>0,
当m <0时，由于x 〉0，所以e mx 〈1,e mx －1<0，
即g ′(x )>0,
当m ＝0时,g ′（x )＝2x 〉0，综上，g ′（x ）>0，故g （x ）在（0，＋∞）上单调递增，6分
故只须证明x 1x 2〈e 2a ，即证ln x 1＋ln x 2〈2a ,由f （x 1)＝f （x 2)，可知x 1ln x 1－ax 1－x 1＝x 2ln x 2－ax 2－x 2,
故a ＝错误!－1，
即证ln x 1＋ln x 2<2×错误!－2，
即ln x 1＋ln x 2－2×错误!〈－2，即
错误!〈－2，
即错误!〈－2，
即错误!〈－2,
即ln x 1x 2
·错误!〈－2，
即ln 错误!·错误!〈－2.9分
不妨设x 1>x 2，t ＝错误!〉1，即证ln t ·错误!〈－2，
ln t >－2×错误!，即证ln t ＋2×错误!>0，
设h （t )＝ln t ＋2×错误!(t 〉1），
则h ′（t ）＝错误!＋2×错误!
＝错误!－错误!＝错误!〉0，
故h (t )在（1，＋∞）上单调递增．
因而h （t ）〉h (1)＝0，即ln t ＋2×错误!〉0,因此结论成立。

12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的方程为错误!＋y2＝1，曲线C2的参数方程为错误!（φ为参数),曲线C3的方程为y＝x tanα错误!，曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．（1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2）求｜OP｜2·｜OQ|2的取值范围．
解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以曲线C1的极坐标方程为错误!＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝错误!，2分
由错误!(φ为参数),消去φ，
即得曲线C2的直角坐标方程为x2＋（y－1)2＝1，
将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ，代入化简,
可得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.5分
(2）曲线C3的极坐标方程为θ＝α错误!。

6分
由(1)得｜OP｜2＝错误!,|OQ|2＝4sin2α,
即｜OP|2·|OQ|2＝8sin2α
1＋sin2α
＝错误!，8分
因为0〈α<错误!，所以0〈sinα<1，
所以｜OP｜2·｜OQ｜2∈(0，4).10分
23．（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲
已知函数f（x)＝|x－5|－|x＋3|。

（1)解关于x的不等式f(x）≥x＋1;
（2）记函数f（x)的最大值为m，若a〉0，b〉0,e a·e4b＝e2ab－m，求ab的最小值．
解（1)当x≤－3时，由5－x＋x＋3≥x＋1，得x≤7，所以x≤－3；当－3<x<5时，由5－x－x－3≥x＋1，得x≤错误!，所以－3〈x≤错误!；当x≥5时，由x－5－x－3≥x＋1，得x≤－9，无解。

4分
综上可知，x≤错误!，即不等式f(x)≥x＋1的解集为错误!.5分
（2）因为|x－5|－｜x＋3｜≤｜x－5－x－3｜＝8，所以函数f(x）的最大值m ＝8.6分
因为e a·e4b＝e2ab－8，所以a＋4b＝2ab－8。

又a>0，b〉0，所以a＋4b≥2错误!＝4错误!，当且仅当a＝4b时，等号成立,7分
所以2ab－8－4ab≥0，即ab－4－2错误!≥0.
所以有(错误!－1）2≥5.8分
又ab>0，所以错误!≥1＋错误!或错误!≤1－错误!（舍去），
ab≥6＋2错误!，即ab的最小值为6＋2错误!.10分。