最新数学初三九年级上册 压轴解答题(培优篇)(Word版 含解析)

最新数学初三九年级上册压轴解答题（培优篇）（Word版含解析）
一、压轴题
1．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)
①ABM；②AOP；③ACQ
（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积
为1
2
，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三
角形”的面积小于3
，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．
2．已知，如图1，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OC交对角线BD于点F，延长AO 交BD于点E，OE=OF.
（1）求证：BE=FD ；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；
①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长.
3．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从
A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？
4．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=
34
，CF=83． （1）求⊙O 的半径OD ；
（2）求证：AC 是⊙O 的切线；
（3）求图中两阴影部分面积的和．
5．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。

你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。

）
（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O 所经过的路程；并求顶点O 所经过的路线；
图①
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
图②
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是
41202
2π
+。

（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程。

图③
②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程。

图④
（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。

6．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF
（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）.
（2）求证：BF DF ⊥.
（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.
7．抛物线G ：2
y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ． （1）直接写出抛物线G 的解析式： ；
（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．
8．如图 1，抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且
3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________
9．如图，抛物线2
()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COF CDF S S =：:时，求点D 的坐标．
(3)如图2，点E 的坐标为(03)2
-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，一次函数122
y x =-+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．
（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
11．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.
（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对
角线；
（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，2AB =，6BD =，求CD 的长；
（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.
12．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝45
，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA 时，求t 的值；
（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；
（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）②；（2）±1；（3）23＜B x 3733
-＜B x ＜23-【解析】
【分析】
（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．
（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围．
【详解】
（1）如下图所示：
∵PM 是⊙O 的切线，
∴∠PMO=90°，
当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-，
∵1=2
PMO S PM OM ••， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．
（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：
按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ． 则由已知可得：111=1222
AEF S AE EF EF ••=⨯⨯=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE =
=
∵A(0,2)，即OA=2， ∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==，
∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，
将F 点代入y=kx 可得：1k =-．
②当k ＞0时，同理可得k=1．
故综上：1k =±．
（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D ，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：
在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC ODC OD
∠==ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形，
∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°，
在直角△BDN 中，sin BN BDN BD ∠=
， 故23=sin sin 60?BN BN BD BN BDN =∠． ∵⊙B 3， ∴3BM =．
当直线CD 与⊙B 相切时，3BN BM ==
因为直线CD 与⊙B 相离，故BN 3BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞23． 由已知得：113=3222BMN S MN BM MN MN ••=•=3MN ＜1． 在直角△BMN 中，2223BN MN BM MN =+=+1+3=2，此时可利用勾股定理算得BD ＜33，OB BD OD =- ＜333-33
， 则23＜B x ＜33
． ②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：73B x ＜23- 故综上：23＜B x 3733
-＜B x ＜23- 【点睛】 本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
2．（1）见详解；（2）5326
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=1
2•BD•AM+
1 2•BD•CM=
1
2
•BD•AC即可求解；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OH⊥EF，
∴EH=HF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；
（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．
∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
连接OB．设OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，∴a2+（3a）2=（25）2，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BD=BE+EF+DF=6a=62，
在Rt△AOC中，AC=2AO=210，
∴S四边形ABCD=1
2
•BD•AM+
1
2
•BD•CM=
1
2
•BD•AC=
1
2
×210×62=125；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OA=OC，
∴∠EOH=1
2
∠EOF=
1
2
（∠EAC+∠ACO）=
1
2
×2∠OAC=∠OAC，
∴AC∥OH，
∴AC⊥BD，
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴2BM，2DM，CM=DM，
∴AB•CD+BC222DM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，
∵∠BOC=2∠BDC=90°，
∴26，
∵AB•CD+BC2=BD2，AB•CD=AO2=12，
∴12+24=BD2，
∴BD=6（负根已经舍弃），
在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴（6）2=（6-x）2+x2，
∴3或3
∴226．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性
质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
3．（1）4；（2）t为4s，20
3
s，
28
3
s时，⊙P与⊙Q外切．
【解析】
试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；
（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t为4时，四边形APQD为矩形
（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）；
②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离；
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，
⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=20
3
（s）；
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，
解得t=28
3
（s），
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要
20s，而28
3
＜11，
∴当t为4s，20
3
s，
28
3
s时，⊙P与⊙Q外切．
考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．4．（1）OD=4,
（2）证明过程见详解
（3）50
4 3
π
-
【解析】【分析】
（1）根据AB与圆O相切,在Rt△OBD中运用tan∠BOD=3
4
,即可求出OD的长,
（2）作辅助线证明四边形ADOG是矩形,得DO∥AC,sin∠OCG=3
5
,在Rt△OCG中,求出OG
的长等于半径即可解题,
（3）利用S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1
4
S圆O,求出AC长度即可解题.
【详解】
解：（1）∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,
在R t△OBD中,BD=3,tan∠BOD=BD
OD
=
3
4
,
∴OD=4,
（2）过点O作OG垂直AC于点G,∵∠A=90°，AB与圆O相切,
∴四边形ADOG是矩形,
∴DO∥AC,
∴∠BOD=∠OCG,
∵tan∠BOD=BD
OD
=
3
4
,
∴sin∠OCG=3 5 ,
∵CF=8
3
,OF=4,
∴OG=OGsin∠OCG=4=r,
∴AC是⊙O的切线
（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,
在R t△ABC中,tan∠C=3
4
,AB=4+3=7,
∴AC=
AB
tan C
∠
=
7
3
4
=
28
3
,
∴S
阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1
4
S圆O=2
1281
7444
234
π
⨯⨯-⨯-=
50
4
3
π
-
【点睛】
本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.
5．(1)4
3
π；（2）
22
2
+
，81；（3）
28
3
π，
1892
2
+
；（4）最小公倍数.
【解析】
试题分析：（1）根据正三角形的性质及弧长公式求出点A 绕点B 、点C 旋转的两段弧长相加即可．
(2)①根据正方形旋转一周的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可， ②再利用正方形纸片OABC 经过4次旋转得出旋转路径，进而得
出
2π
=+ ，即可得出旋转次数． (3)方法同（2）；
（4）边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的最小公倍数.
试题解析：（1）∵点A 所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为120度 ∴点A 所经过的路线长为12014
21803
ππ⨯⨯
=. （2）①顶点O
经过的总路线长为：901902218018022⋅+⨯+=+=πππππ
②由①：每翻转一周顶点O 经过的总路线长为：π22
2+ 4122022++÷=πππ
即翻转20周后再翻一次，共翻81次.
（3）①每翻三次翻一周，顶点O 所经过的总路线长为：21017
2180
3⋅⨯=ππ
共翻四周回到初始位置，所以顶点O 所经过的总路线长为:728
43
3⨯=ππ
. ②每翻四次翻一周，顶点O 所经过的总路线长为
:1621162812180
1804510⋅⨯+=+
πππ 共翻5
周回到初始位置，所以顶点
O 所经过的总路线长为
：
81545⨯=π（
（4）最小公倍数 考点: 1.旋转的性质；2.等边三角形的性质；3.正方形的性质；4.弧长的计算； 6．（1）45°+α；（2）证明见解析；（3）
BF+CF. 【解析】 【分析】
（1）过点A 作AG ⊥DF 于G ，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD ，∠BAP=∠EAF ，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG ，即可得∠FAG=
1
2
∠BAD=45°，
∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；
（2）由（1）可得∠FAG=1
2
∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可
得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；
（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，BE=2BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】
（1）过点A作AG⊥DF于G，
∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，
∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，
∴AE=AD，
∵AG⊥FD，
∴∠EAG=∠DAG，
∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，
∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，
∴∠DAG=45°-α，
∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.
（2）由（1）得∠GAF=45°，
∵AG⊥FD，
∴∠AFG=45°，
∵点E、B关于直线AF对称，
∴∠AFB=∠AFE=45°，
∴∠BFG=90°，
∴BF⊥DF.
（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，
∵∠BFD=∠BCD=90°，
∴B、F、C、D四点共圆，
∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，
∵CH//FD，
∴∠DCH=∠FDC，
∴∠FBC=∠DCH，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，
∵点E、B关于直线AF对称，
∴BF=EF，
∵∠BFE=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°，BE=2BF，
∴∠BEF=∠DFC，
∴FC//BH，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=FC，CH=BF，
在△ABF和△BCH中，
AB BC
ABF BCH
BF CH
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴AF=BH=BE+EH=2BF+CF.
【点睛】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B、F、C、D四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.
7．（1）2
1
1
4
y x
=-；（2）点P
37
(,)
216
-；（3）(222,222
M--+
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A、B坐标，代入函数解析式即可求解；
（2）首先求得直线OD解析式，然后设P（2
1
,1
4
t t-），得到PQ关于t的解析式，然后
求出顶点式即可求解； （3）设点21,
14M m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMN
CNE
MNE
S
S
S
=+即可求解．
【详解】
（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1） ∴AB=4
∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =- 解得14
a =
∴G 的解析式为2
114
y x =- 故答案为2
114
y x =
-
（2）当1x =-时，34
y =-,即：点D 为（31,4--）
∴直线OD 为：34
y x = 设P （21,
14t t -），则Q 为（22141
,1334
t t --），则： 22214141325
()()33333212
PQ t t t t t =--=-++=--+
∴当3
2t =
时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216
- （3）设点21,
14M m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭
∵C 点坐标为(0,1)-
∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：1
4
k m =
∴直线CM 为1
14
y mx =
- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14,
414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝
⎭
∴4EN m =-- ∵()()1
2
CMN
CNE MNE
C N N M S S
S
x x x x EN ⎡⎤=+=
-+-•⎣⎦ ∴
()()1
04=22
m m --- ∴2440m m +-=
解得：1222m =--，2222m =-+（舍去） ∴M (222,222--+ 【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析． 8．（1）()2
21y x =--；（2）10
23n <<；（3）552
M x << 【解析】 【分析】
(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A 点坐标可求B 点坐标，代入解析式可得；
(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P ，由题意可得
ACB BCP ∠>∠，过点C 作//l x 轴.作PD l ⊥，可得ACO PCD ∠=∠，设
()2,43P t t t -+，由1
3
tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程，解得t, 再将P 代入
2C 解析式中得n 的值，根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围；
(3) 当MCB ∠为直角时，可求直线CB 的解析式为：y=-x+3,直线CM 的解析式为：y=x+3，运用直线与曲线联立，可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为：x=5；当MCB ∠为锐角且
3tan MCB ∠=时，过点M 作MN CB ⊥于N,则
3MN
CN
=，设M 点坐标为
()2
,43t t
t -+，直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将
直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 221515,32222t t t t ⎛⎫
-
+-+ ⎪⎝⎭
， 由两点间距离公式
可得2
MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2
CN =2
21522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由
3MN CN =可得：52t =，进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围. 【详解】
解：()1对称轴为422a
x a
-=-
= ()3,0B ∴ ()0,1C ∴
代入
()2
24321y x x x ∴=-+=--
()()
22
2:21C x n ---
()2423x n x =-++
CAP ∆的内心I 在CAB △内部
,ACB BCP ∴∠>∠ ∴当ACB BCP ∠=∠时
过C 作//l x 轴.作PD l ⊥
,ACB BCP ∠=∠
90,OCD ∠= 45,DCB ∠= ,ACO PCD ∴∠=∠
1
3
tan ACD tan PCD ∠=∠=
设(
)
2
,43P t t t -+
1
3
PD CD ∴
= 3p y DP OC +==
21
4333t t t ∴-++=
113
t = 将P 代入2C 解析式中
103
n ∴=
又
P 在第一象限内 h AB ∴>
2n ∴>
1023
n ∴<<
(3)
5
52
M x <<; 当MCB ∠为直角时，如下图所示：
由(1)(2)可得：直线CB 的解析式为：y=-x+3,
MCB ∠为直角，C(0,3)，
∴直线CM 的解析式为：y=x+3，
则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为：
2343x x x +=-+，
解得：x=5或0(舍去)，
所以，当MCB ∠为直角时，5M x =；
当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，如下图所示：
过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN
=，
设M 点坐标为()
2,43t t t -+， MN CB ⊥，直线CB 解析式为y=-x+3,
∴MN 解析式可设：y=x+b,
将P ()2,43t t t -+代入解析式可得：
b=253t t -+,
则直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，
将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：
N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
， ∴2MN =2222215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
= 2
21322
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 2CN = 222215152
222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =221522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；
由3MN CN
=可得： 2213221522
t t t t --=3； 解得：52
t =或0(舍去) ； ∴MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞时，点M 的横坐标M x 的取值范围为：
552
M x <<. 【点睛】
本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键. 9．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(1
4)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，
或． 【解析】
【分析】
（1）由3OB OC ==及图像可得B 、C 两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；
（2）由题意易得35COF COD S S =，进而得到点D 、F 横坐标之间的关系为53D F x x =，设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，则有直线BC 的解析式为3y x =-+，然后可直接求解；
（3）分∠PBE 或∠PEB 等于2∠OBE 两种情况分别进行求解即可．
【详解】
解：(1)3OB OC ==，则：()()3003B C ，，
，， 把B C 、坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：2y x 2x 3=-++①；
(2)∵32COF CDF S S =△△：
：， ∴35
COF COD S S =，即：53
D F x x =， 设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ， 点F 在直线BC 上，
而BC 所在的直线表达式为：3y x =-+，则33(3)F t t -，
， 则直线OF 所在的直线表达式为：3313t t y x x t t
--==， 则点55(5)D t t -，
，
把D 点坐标代入抛物线解析式，解得：15t =或2 5
， 则点D 的坐标为(1
4)，或(2)3，； (3)①当2PBE OBE ∠=∠时，
当BP 在x 轴上方时，
如图2，设1BP 交
y 轴于点E '， ∴1
2PBE OBE ∠=∠ ， ∴E BO EBO ∠'=∠ ，
又60E OB EBO BO BO ∠'=∠=︒=， ，
∴()E BO EBO AAS '≌ ，
∴32
EO EO ==， ∴点3(20)E '，，
直线1BP 过点B
E '、，则其直线方程为：1322
y x =-+②， 联立①②并解得：12x =- ， 故点P 1的坐标为17
()24
-，；
当BP 在x 轴下方时， 如图2，过点E 作//EF BE '交2BP 于点F ，则FEB EBE ∠=∠'，
∴222E BE OBE EBP OBE ∠'=∠∠=∠， ，
∴FEB EBF ∠=∠ ，
∴FE BF = ，
直线EF 可以看成直线BE '平移而得，其k 值为12-， 则其直线表达式为：1322y x =-- ， 设点13()22
F m m --，
，过点F 作FH y ⊥轴交于点H ，作BK HF ⊥于点K ， 则点13()202H m --，，13()232
K m --，， ∵EF BF =，则22FE BF =， 即：()22
22331313()()22222
m m m m +-++=-++， 解得：52
m =， 则点511()24F -，， 则直线BF 表达式为：113322y x =
-…③， 联立①③并解得：132x =-
或3(舍去3)， 则点213209()24
P --，； ②当2PEB OBE ∠=∠时，
当EP 在BE 上方时，如图3，点E '为图2所求，
设BE '交3EP 于点F ，
∵2EBE OBE ∠'=∠，
∴3EBE P EB ∠'=∠ ，
∴FE BF = ，
由①知，直线BE '的表达式为：1322
y x =-+， 设点13()22F n n -+，，13()232
K n -+，，
由FE BF =，同理可得：12n =
， 故点15()24F ，，
则直线EF 的表达式为：11322
y x =-④， 联立①④并解得：1n =或92
- (舍去负值)， ∴34(1
)P ， ； 当EP 在BE 下方时，
同理可得：x =
舍去负值)，
故点458
(417P +-+，．
故点P 的坐标为：(1
4)，或17()24-，或13209()24--，或． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．
10．(1) A （0，2），B(4，0)，2
722
y x x =-++；(2)当t=2时，MN 有最大值4；(3) D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．
【解析】
【分析】 (1)首先求得A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值；
(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标即可．
【详解】
解：(1)∵122
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B(4，0)， 将x=0，y=2代入2y x bx c =-++得c=2，
将x=4，y=0,代入2y x bx c =-++得b=72
，
∴抛物线解析式为：2722
y x x =-++； (2)如答图1所示，设MN 交x 轴于点E ，则E(t ，0)，则M(t ，122t -
)，
又N 点在抛物线上，且x N =t ，
∴2722
N y t t =-++， ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝
⎭， ∴当t=2时，MN 有最大值4．
(3)由(2)可知A （0，2）、M(2，1)、N(2，5)，
以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，
当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），
由AD=MN ，得|a-2|=4，解得a 1=6，a 2=-2，
从而D 点坐标为（0，6）或D （0，-2），
当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点，
分别求出D 1N 的解析式为：162y x =-
+， D 2M 的解析式为：322
y x =-， 联立两个方程得：D 3（4，4），
故所求的D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．（1）详见解析；（2）333CD =+或3；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题；
（2）如图3中，作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，分两种情形构建方程求解即可；
（3）①当△AFE ∽△EFC 时，连接BC ，AC ，BD ．②当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．③当△AFE ∽△CEF 时，分别求解即可，注意答案不唯一．
【详解】
解：（1）如图1，∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===，90A D ∠=∠=，E 为AD 中点
∴2AE ED ==，∵1AF DH ==，∴
12AF DE AE CD == ∴AEF DCE ∆∆∽
∴AEF DCE ∠=∠，AFE DEC ∠=∠
∵//AF DH ，∴四边形AFHD 为平行四边形
∴AD FH ，∴AEF EFG ∠=∠，DEC EGF AFE ∠=∠=∠
∴AEF EFG ∆∆∽
∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.
（2）如图2，过点D 作DE BA ⊥，垂足为E ，设AE a =
∵120A CBD ∠=∠=，∴60EAD ∠=，∴3DE a =
∵2AB =，6BD =
∴()22236a a ++=
31a -=（负根已经舍弃）， ∴31AD =-
分为两种情况：
①如图3，当ABD BCD ∆∆∽时，AD BD BD CD
=
∴()316CD -=，∴333CD =+
②如图4，当ABD BDC ∆∆∽时，
AB BD BD CD
= ∴26CD =，∴3CD =
综上，333CD =+或3
（3）①如图5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ，
∴AFE BEC ∠=∠，AF EF AF AE EC BE
==，∴AFE BEC ∆∆∽，∴90B ∠= 由“一线三等角”得83AF =
.
②如图，当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．
∵△AFE ∽△FEC ，
∴∠AFE=∠FEC ，
∴AD ∥EC ，
∴∠CEB=∠DAB=90°，
∵∠OMA=∠AHC=90°，
∴四边形AEOM ，四边形AECH 都是矩形，
∵OM⊥AD，
∴AM=MD=3，
∴AM=OE=3，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=4，
∴OA=22
34
+=5，
∴CE=AH=8，设AF=x，则FH=8-x，CH=AE=4，
由△AEF∽△HFC，可得AF
CH
=
AE
FH
，
∴
4
48
x
x =
-
，
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴AF=4．
③如图当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形，AF=EC=8．
综上所述，满足条件的AF的长为8
3
或4或8．（答案不唯一）
【点睛】
本题属于圆综合题，考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1）t＝3；（2）P（3
5
t+2，
4
5
t﹣4）；（3）t的值为
20
9
秒或4秒或16秒或
160
9
秒
【解析】
【分析】
（1）如图1，过点C作CP⊥OA，交x轴于点P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，进而求出结论；
（2）t＜10时，P在OA或AB上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P在OA上，OP=t，可得P的坐标；②当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P的坐标；
（3）设切点为G，连接PG，分⊙P与四边相切，其中P在AB和BC时，与各边都不相切，所以分两种情况：
①当P在OA上时，根据三角函数列式可得t的值；
②当P在OC上时，同理可得结论．
【详解】 （1）如图1，
当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 4
5CP C OC ＝＝， 4455
CP CP 即＝，＝， 在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3， ∴331
t ＝＝
（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上， ∴P （t ，0）；
当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上， 过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，
则∠AOC ＝∠PAH ，
∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 4
5
C ＝， 44 4555
PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴3
33255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，
∴34P t+2t 455
（，﹣）；
（3）设切点为G ，连接PG ，
分两种情况：
①当P 在OA 上时，如图3，
⊙P与直线AB相切，∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAG，
∴sin∠AOC＝sin∠OA
4
5
PG
G
AP
＝＝，
t4
5-t5 ＝，
∴
20
9
t＝；
⊙P与BC相切时，如图4，
则PG＝t＝OP＝4；
②当点P在OC上时，
⊙P与AB相切时，如图5，
∴OP＝PG＝4，
∴4×5﹣t＝4，
t＝16，
⊙P与直线BC相切时，如图6，
∴PG⊥BC，
∵BC∥AO，
∴∠AOC＝∠GCP，
∴sin∠AOC＝sin∠GC
4
5
PG
P
PC
＝＝，
∵OP＝PG＝20﹣t，
∴420
51
t
t
-
=
-
，
∴
160
9
t＝，
综上所述，t的值
20160
416
99
为秒或秒或秒或秒
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．。