2023—2024学年黑龙江省牡丹江市高二上学期10月月考数学试题(含答案)

【详解】因为直线 PQ 平行于 x 轴，且 PQ 1 a ， 2
设点 P
位于第一象限，将 x
1 a 代入
4
x2 a2
y2 b2
1可得
y
15 b ， 4
所以点
P
坐标为
1 4
a,
15 4
b
，
因为 PQO π ，根据对称性可得△POQ 为等边三角形， 3
所以 OP PQ 即 1 a2 15 b2 1 a ，整理可得： a2 5b2 ， 16 16 2
可得 a2 6a 5 0 ，解得 a 1 或 a 5 ，
所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ，
圆心 到直线
的距离均为 d1
211 3 5
2 5； 5
圆心
到直线
的距离均为 d2
2553 5
2 5 5
圆心到直线 2x y 3 0 的距离均为 d 2 2 5 ； 55
所以，圆心到直线 2x y 3 0 的距离为 2 5 .
线 l 上任意一点 Q 的距离要大于等于d ，从而求得结果.
【详解】由题设条件可知， AP (3, 1,1) ，
所以 n AP 1 (3) 0 (1) (1) 1 4 ，
（1）求椭圆 C1 的标准方程；
（2）过点 C 1, 0 的直线 l 与椭圆 C1 交于 A ， B 两个不同的点，求 OAB 面积的最大值．
22．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
1 2
，左､右焦点分别为 F1, F2
，过 F1 且垂直于 x 轴
的直线被椭圆 C 所截得的弦长为 6.
所以 e
c2 a2
a2 b2 a2
5b2 b2 2 5 ，
5 b2
5
故选：D. 5．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 MF1 MF2 2a 6 ，借助基本不等式
MF1
MF2
MF1
2
MF2
2 即可得到答案．
【详解】由题， a2 9,b2 4 ，则 MF1 MF2 2a 6 ，
D．
PF2
7 2
12．设圆： x2 y2 2x 2 y 2 0 的圆心为 C ， P 5,1 为圆外一点，过 P 作圆 C 的两条切线，切
点分别为 A, B ，则（ ）
A． PA PB 2 3
B． P, A,C, B 四点共圆
C． APB 30
D．直线 AB 的方程为： x 2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
代入椭圆得
x12 8 x22 8
y12 2 y22 2
1 ，
1
两式相减得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，
8
2
即 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ，
8
2
即
x1 x2
4 y1 y2
y1 x1
y2 x2
1．直线 x y 5 0 的倾斜角为（ ）
A． 6
B． 4
C． 3
3 D． 4
2．若两条直线 l1 : x 2 y 6 0 与 l2 : x ay 7 0 平行，则 l1 与 l2 间的距离是（ ）
A． 5
B． 2 5
C． 5
5
D． 5
3．设椭圆 C : x2 y2 1的左焦点为 F ，直线 l : y kx k 0 与椭圆 C 交于 A, B 两点，则 AF BF
5
D．线段 AB 的长为 4 5 5
11．已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1 、F2 在 x 轴上，短轴长等于 2 ，焦距为 2 3 ，过焦点 F1
作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P 、 Q 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 4
C． PQ 1 2
B．椭圆 C 的离心率为 3 4
5
故选：B.
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9．AB
首先求得
AP
(3,
1,1)
，再求得Βιβλιοθήκη nAP的值，设出
n
与
AP
的夹角为
,
[0,
]
，利用向量数量积
求得 cos 的值，进而求得 sin 的值，利用 d AP sin 求得点 P 到直线 l 的距离d ，利用 P 到直
则有
baa21222b2112
4
0
整理得
a a
b b
10 6
解得
a b
8 2
，
因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为 2，
所以所求圆方程为 x 82 y 22 4 ，
故选:C. 7．C
【分析】利用点差法计算即可求得结果.
【详解】设弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2)，
D． x 62 y 42 4
7．椭圆
x2 8
y2 2
1 中，以点 M
1,
1 2
为中点的弦所在直线的斜率为（
）
A． 1 4
B． 4
C． 1 2
D． 2
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x y 3 0 的距离为（ ）
A． 5
5
B． 2 5
5
C． 3 5 5
13．若异面直线 l1, l2 的方向向量的夹角为120 ，则异面直线 l1 与 l2 所成的角等于
．
14．过点 C 1, 2 ，且与直线 x y 2 0 垂直的直线方程为
.
15．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的离心率为
e， F1 ， F2 分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在
点 P 使得 F1PF2 是钝角，则满足条件 e 的范围
4 故选：B. 2．C 【分析】通过平行的条件求出 a , 然后利用平行线直接的距离公式求解即可.
【详解】两条直线 l1 : x 2 y 6 0 与 l2 : x ay 7 0 平行, 可得 a 2 , 则 l1 与 l2 间的
距离是: | 7 6 | 5 . 12 22 5
故选: C. 3．C 【详解】分析：设椭圆的右焦点为 F2 , 连接 AF2 , BF2 , 则四边形 AFBF2 是平行四边形，根据椭圆的 定义得到 AF BF =2a 得解.
x2 9
y2 4
1的两个焦点，点 M
在 C 上，则
MF1
MF2
的最大值为（
）
A．13
B．12
C．9
D．6
6．圆 x 22 y 122 4 关于直线 x y 4 0 对称的圆的方程为（ ）
A． x 62 y 42 4
B． x 82 y 22 4
C． x 82 y 22 4
20．已知圆 C 的圆心为原点，且与直线 3x 4 y 10 0 相切，直线 l 过点 M 1，2 ．
(1)求圆 C 的标准方程； (2)若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程． (3)若直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2 3 ，求直线 l 的方程．
21．已知椭圆 C1 以直线 x my 5 0 所过的定点为一个焦点，且短轴长为 4．
2023-2024 学年黑龙江省牡丹江市高二上册 10 月月考数学试题
考生注意： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色．墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：选择性必修第一册（第二章～第三章 3.1 椭圆）. 一、选择题：本大题共 8 小题；每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的．
D． 4 5 5
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知直线
l
的方向向量
n
1，0，
1
，
A
2,1,
3
为直线
l
上一点，若点
P(
-
1，0，
-
2)为直线
外一点，则 P 到直线 l 上任意一点 Q 的距离可能为（ ）
详解：设椭圆的右焦点为 F2 , 连接 AF2 , BF2 ,
因为 OA=OB,OF=O F2 ,所以四边形 AFBF2 是平行四边形.
所以 BF AF2 ,
所以 AF BF =|AF|+ | AF2 | =2a=4,
故答案为:C 点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本
所以
MF1
MF2
MF1
2
MF2
2
9 （当且仅当
MF1
MF2
3时，等号成立）．
故选：C．
6．C 【分析】求圆心关于直线对称得到的圆心，列方程组可求解，从而可确定对称圆的方程.
【详解】设圆 x 22 y 122 4 的圆心 (2,12)
关于直线 x y 4 0 对称的点为 (a , b ) ，
，又 x1
x2
2，y1
y2
1
即
2 4
y1 x1
y2 x2
，
即
y1 x1
y2 x2
1 2
，
∴弦所在的直线的斜率为 1 ， 2
故选：C.
8．B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 a,a,a 0 ，可得圆的半径为 a ，写出圆
的标准方程，利用点 2,1 在圆上，求得实数 a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线
题的关键是能观察到对称性，得到四边形 AFBF2 是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而
解了.
4．D
【分析】设点 P 位于第一象限，根据 PQ 1 a 求出点 P 坐标，进而可得 OP ，再根据 PQO π 可
2
3
得△POQ 为等边三角形，可得
OP
PQ
1 2
a ，再由离心率公式 e
a2 b2 即可求解. a2
2x y 3 0 的距离.
【详解】由于圆上的点 2,1 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 a,a ，则圆的半径为 a ，
圆的标准方程为 x a2 y a2 a2 .
由题意可得 2 a2 1 a2 a2 ，
4
的值是
A．2
B． 2 3
C．4
D． 4 3
4．已知平行于 x 轴的一条直线与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 相交于 P ， Q 两点，
PQ
1 2
a，
PQO π ，（ O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ） 3
A． 10 5
B． 5
5
C． 5 3
D． 2 5
5
5．已知 F1 ， F2 是椭圆 C ：
(2)设直线 l 与坐标轴交于 A, B 两点，且 P 为 AB 的中点，求直线 l 的方程.
18．圆 C 经过坐标原点和点 (4, 0) ，且圆心在 x 轴上.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)已知直线 l： 3x 4y 1 0 与圆 C 相交于 A, B 两点，求弦长 AB 的值；
(3)过点 P(4, 4) 引圆 C 的切线，求切线的方程. 19．已知直线 m : 2x y 3 0 与直线 n : x y 3 0 的交点为 P. （1）若直线 l 过点 P，且点 A(1,3)和点 B(3,2)到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程； （2）若直线 l1 过点 P 且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，△ABO 的面积为 4 ，求直线 l1 的方程．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2) P 为第一象限内椭圆 C 上一点，直线 PF1, PF2 与直线 x 8 分别交于 A, B 两点，记 PAB 和
△PF1F2 的面积分别为 S1, S2 ，若
S1 S2
5 ，求 P 的坐标.
1．B 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求出倾斜角. 【详解】由 x y 5 0 得斜率 k 1 tan ，
16．已知 O 为坐标原点，点 P 在圆 C : x2 y2 8x 10 y 21 0 上运动，则线段 OP 的中点 M 的轨
迹方程为
.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．已知直线 l 经过点 P(1, 2) .
(1)当原点 O 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程；
A．2
B． 3
C． 2
D．1
10．已知圆 O ： x2 y2 4 和圆 M ： x2 y2 2x 4 y 4 0 相交于 A，B 两点，下列说法正确的
是（ ）
A．圆 M 的圆心为 (1, -2)，半径为 1
B．直线 AB 的方程为 x 2 y 4 0
C．线段 AB 的长为 2 5