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对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
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Tuesday, September 17, 2019
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
y 1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件
在x o y面上所占 弧段为AB , A
其线密度为
o
x
现计算此构件的质量。
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被积函数
n
Lf(x ,y)d s l i0im 1f(i, i) si
积分和式
积分弧段
曲线形构件的质量 ML(x,y)d.s
2.存在条件：
当 f(x,y)在光滑 L上 曲连 线 ,对 续 弧 弧 时长的
曲线L积 f(x,y分 )d存 s .在
3.推广 函f数 (x,y,z)在空间 上 曲对 线弧 弧 曲长 线
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x ( t ) y , ( t ) , z ( t ) ( t )
则 f(x,y,z)ds f((t),(t) ,(t))2 (t) 2 (t) 2 (t)d t
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基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
L f( x ,y ) d s f[( t) ,( t)] 2 ( t) 2 ( t) d t
y
ds(d x)2(d y)22(t)2(t)dt
d s dy dx
g(x,y,z)ds(,为常数 )
( 2 ) f( x ,y ,z ) d s 1 f( x ,y ,z ) d s 2 f( x ,y ,z ) d s
(3) dsl ( l 曲线弧 的长度)
(由 1,2组)成
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高等数因学A此(下）上述计算公式相当于15 -“8 换元Tue法sday”, Sep.tembeOr 17, 2019x
x
如果曲线 L 的方程为
则有

bf (x,(x))
a
12(x)dx
如果方程为极坐标形式: L :r r ()()则,
f(r()c o,rs ()s in )r2()r2()d
(1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ;
(2) 求它的质心 .
解: 设其密度为 ρ (常数).
(1) IzL(x2y2)ds
2π a2 0
a2k2dt
a
a2k2
2π
sint
0
d
t
0
k
a2k2
2 0
π
t
d
t
2π2ka2k2
2πa2 a2k2
故重心坐标为
L
O
1x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2ds L
O
L: x y R R c sio ns()
(2)
Lf(x,y)ds
f(x ,y )d s f(x ,y )d s
L 1
L 2

(L由
组成)
( l 为曲线弧 L的长度)
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f(x,y)ds.
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二、对弧长的曲线积分的计算法
L
Rx
R 2 s2 in ( R si ) 2 n ( R co ) 2 d s
R3si2nd2R32si4n2
0
R3(sinco )s
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积分为
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i, i) si.
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4. 性质
(1 )L f(x ,y)g(x,y)d s Lf(x,y)dsLg(x,y)ds （, 为常数)
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L :yx2(0x 1 )
1
0 x
1
x
14x2dx
0
112(14x2)3210
1 (5 51) 12
y B(1,1) y x2
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
y 1.引例: 曲线形构件的质量
B L Mn1
对于匀质之质量，Ms.
(i,i) M i
M2
对于非匀质之质量，
A
分割 M 1 ,M 2 , ,M n 1 s i, o
M1
Mi1
x
取 (i,i) si, M i(i,i) s i.
例3. 计算曲线积分 线
解: (x2y2z2)ds
其中 为螺旋
的一段弧.
a2k2 2π[a2k2t2]dt 0
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2πa2k2(3 a24π2k2) 3
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P190习题5. 设均匀螺旋形弹簧L 的方程为
(2)
而
L的质量maLa2dsk22π 02πcoas2t dtk20
(0,0,kπ)
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内容小结
1. 定义 f(x,y)ds L
f(x,y,z)ds
2. 性质
( 1 )f(x ,y ,z )g (x ,y ,z )d s
Chapter 11
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线弧 曲面域
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曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
存,在 则称此极f限 (x,y为 )在函 曲数 L 线 上弧 对弧长
曲线积 第分 一或 类曲 , 记 线作 L积 f(x,分 y)d,s即
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n
Lf(x ,y)d 1s l 5 - 5i0im 1fT( uesdia,y, Sie)pte mbs eir 17, 2019
n
求和 M (i,i)si.
近似值
i1 n
精确值
取极限
Ml i0m i1(i,i)si.
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1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线,弧 函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为 si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一,
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i 1
y
B
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各长 小度 弧的 段最 的 0大 时 , 这 值和的极
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3. 计算
• 对光滑曲线弧
Lf(x,y)dsf[(t) , (t)]2(t)2(t)dt
• 对光滑曲线弧
f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d