【高中数学】秒杀秘诀MS外接球之二面角剖面分析法(高考版2)

外接球之二面角剖面分析法
例1：在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC 为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值
为3
3
-
，则四面体ABC S -的外接球表面积为
解：
作二面角剖面
⇒
如图，此题用模型5：36sin sin 33cos 1211=∠=∠⇒-
=∠OO O B SO B SO ，3
32,322==r h ,直接刷公式一波流带走()23121sin 212
222
=+=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=r r h R α，ππ642
==R S ；
例2：在边长为32的菱形ABCD 中，
60=∠BAD ，沿对角线AC 折成二面角D AC B --为
120的四面体
ABCD ，则此四面体的外接球表面积为
解：此题典型的模型4：
作二面角剖面
⇒︒==∠====120,32,32αBED r D O h ED ，可根据几何性质知道︒=∠602EO O ,360tan 22=︒=EO OO ，()
()
213
232
2
2
22
2=+=+=DO OO R ，也可以不画图直接一波流公式带走
()()()
2160tan 323322tan 2222
2
2=︒-+=-+=α
r h r R ，ππ8442==R S 。

1.（2017秋•威海期末）边长为的菱形ABCD 中，∠BAD=60°，对角线AC ，BD 相交于点O ，将
△ABD 沿对角线BD 折起，使得
，此时点A ，B ，C ，D 在同一球面上，则该球的表
面积为（）C A ．12πB ．16πC ．18πD ．24π2.三棱锥A ﹣BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A ﹣BC ﹣D 的大小为150°，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为（）D A ．7πB ．12πC ．16πD ．28π
3.在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=AC=BC=2，AB=2，PC=1，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（）D A ．
B ．4π
C ．12π
D ．
4.（2018•江西二模）已知菱形ABCD 满足，|AB |=2，∠ABC=
，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成一
个直二面角B ﹣AC ﹣D ，则三棱锥B ﹣ACD 外接球的表面积为（）A
A ．
π
B ．8π
C ．7π
D ．
5.（2018•乌鲁木齐模拟）四面体ABCD 中，AB=AC=BC=2，
，点E 是BC 的中点，点A 在
平面BCD 的射影恰好为DE 的中点，则该四面体外接球的表面积为（）A ．
B ．
C ．
D ．
1.C
2.D
3.D
4.A
5.A
秒杀秘籍：有二面角的四面体外接球
模型四：两个全等等腰三角形拼在一起，或菱形折叠：如图1，设折叠的二面角α='∠EC A ,h
E A CE ='=作二面角剖面
⇒图1图2
作图1的二面角剖面图2：1H 和2H 分别为BD A BCD '∆∆,外心，BCD
BD
r CH ∠=
=sin 21，r h EH -=1，
()2tan
1αr h OH -=，故()2
tan 222212122αr h r CH OH OC R -+=+==凡有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面，对剖面进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用A
a
R sin 2=
处理。

模型五：等腰三角形底边与一RT 三角形斜边构成的二面角的四面体
凡遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径对的圆周角为直角，故可将直角顶点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如图3：ABC 以斜边BC 为交线与其它平面形成的二面角可以转换为DBC 与其它平面构成的二面角。

作二面角剖面
⇒图3图4图5
如图4，ABC ∆为等腰三角形，且AC AB =，DBC ∆是以BC 为斜边的∆RT ，D BC A --二面角为α，令ABC
∆的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC ∆的外心，则根据剖面图可知，外接球半径
R 满足以下恒等式()
2
12
222212
12sin r r h R E O OO OE +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==+=α
例3:
正三角形，△ABD 是以BD 为斜边的直角三角形，且AD=2，二面角C ﹣AB ﹣D 为120°，则球O 的表面积为（）A ．
B ．28π
C ．
D ．36π
解：如图，
作二面角剖面
⇒3,11203
1
=⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=︒=∠=EG E O CEG CE 故此题符合模型四，⎪⎩
⎪
⎨⎧=︒=∠===,
21203
r CEG CE h α()ππα284,72tan 22222===-+=R S r h r R ，选B
例4：（2018•全国一模）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π
作二面角剖面
⇒229022,
22221111
11==⇒︒=∠⇒=⇒⎪⎩⎪
⎨⎧='===='C O R FCG C O D O E O F O G O D C ,故ππ3242==R S ，选D 。

例5：（2018长郡校级期末）四面体A ﹣BCD 中，∠ABC=∠ABD=∠CBD=60°，AB=3，CB=DB=2．则此四面体外接球的表面积为（）A A ．
π
B ．
C ．17π
D ．
π
解：⎪⎩⎪
⎨⎧=∠︒=∠⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧===⇒⎪⎩
⎪⎨⎧==︒=∠=∠=36sin 903672,2603ABE AEB BE AE AD AC CD DB CB ABD ABC AB ,作图如下：作二面角剖面
⇒根据相交弦定理EF BE EG AE ⋅=⋅，由于BDC ∆为等边三角形，根据其外接圆知识可知EF
BE 3=，
故可得ππ2194238sin 2357
3
3
2==⇒=∠=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==R S ABE AF R AF EF .6.（2018•遂宁模拟）已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 为球心的球面上，且AB=AC=AD=2，BC=BD=4，
CD=8．则球O 的半径为（）C A ．2B ．3C ．5D ．6
7.三棱锥ABC S
-中，ABC △是边长为3的等边三角形，3=SA ,32=SB .二面角C AB S --的大小
为3
2π，则此三棱锥的外接球的表面积为（
）B
A ．24π
B ．28π
C ．14π
D ．21π
秒杀秘籍：剖面图转化
模型六：两个等腰三角形（不全等）共底边的二面角，或等腰三角形底边与直角三角形直角边为公共边构成的二面角模型：
⇒⇒
图6图7图8图9
如图6，设二面角α=∠AED ,21,h DE h AE ==，ABC 外接圆半径1r ，DBC 外接圆半径2r ，延长AE 交球于
F ,DE 交球于
G ，作图6的二面角剖面图7：根据相交弦定理ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若DE AE =或者GE AE =，则和模型四完全一样，利用公式()2
tan 22
22αr h r R -+=秒杀；
备注：若,60︒=∠BAC 则EF AE 3=,若,120︒=∠BAC 则EF AE 3
1
=
如图8，CD 为BCD RT ∆的斜边，设二面角α=∠1AED ,211,h E D h AE ==，ABC 外接圆半径1r ，DBC 外接圆半径2212,2
r h E O CD
r -==
，延长AE 交球于F ,E D 1交球于G ，作图8的二面角剖面图9：根据相交弦定理1ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若E D AE 1=或者GE AE =，利用公式()2
tan 2222αr h r R -+=秒杀；
8.四面体ABCD 的四个顶点在同一个球面上，3====DA CD BC AB ,32=AC ,6=BD ,则该球
表面积为（
）A
π
14.A π
15.B π
16.C π18.D 9.（2018•黄州区校级三模）如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt △，
AB=，∠
BAD=∠CBD=
，且二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球
O 的表面积为（）B A ．12π
B ．20π
C ．24π
D ．36π
10.已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为（D ）
A ．48π
B ．52π
C ．πD
．π
11.在四面体
BCD A -当中，2=====BD BC AD AC AB ,若四面体BCD A -的外接球体积
π3
28=
V ,则=
CD 12.3,120==︒=∠BC AC C。

PAB △是等边三角形，且面PAB ⊥面ABC ,求外接球表面积为
6.C;
7.B;
8.A;
9.B;10.D;11.
2
30;12.π
15
引入群内的发现：正棱锥的外接球半径为侧棱长的平方与二倍高的比值！。