高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质配套课时作业 理(含解析)新人

第5讲直线、平面垂直的判定及性质
配套课时作业
1．若α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析若α⊥β，m⊂α，则m与β平行、相交或m⊂β都有可能，所以充分性不成立；若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，必要性成立，故选B.
2．(2019·某某模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
答案 D
解析若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；对于D，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D正确．故选D.
3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析若α∥β，由题中条件可知m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；若l⊥β，则有l∥n，与题设条件l⊥n矛盾，故B错误；由于m⊥α，n⊥β，则m，n都垂直于α，β的交线，而m和n是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面γ，则α，β的交线垂直于平面γ，同理也有l⊥γ，故l平行于α，β的交线，C错误，D 正确．
4．(2019·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
答案 D
解析如图所示，连接C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A，C正确，D 错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．
5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
答案 C
解析因为在图1中，AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，所以AD⊥BC.在图2的四面体ABCD中，AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD 与BC是异面直线，所以AD与BC的位置关系是异面且垂直．
6．(2018·某某模拟)已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是( )
A．CD∥平面PAF
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD
答案 D
解析A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；
B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，
又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，
又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；
C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD 不垂直．故选D.
7．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
答案 A
解析A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB 与CD夹角的正切值为 2.故选A.
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题
正确的是( )
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC 答案 D
解析 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以AB ⊥平面ADC ，即平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.
9．(2019·某某二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值X 围是( )
A ．(0,1]
B ．(0,2]
C ．(1，3]
D ．[1,4)
答案 B
解析 连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 上两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC ⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P 在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0<AD ≤1
2
CD ＝2，故选B.
10．如图，在三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC 上的动点，则下列说法错误的是( )
A ．当AE ⊥P
B 时，△AEF 一定是直角三角形 B ．当AF ⊥P
C 时，△AEF 一定是直角三角形 C ．当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定是直角三角形
D ．当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定是直角三角形 答案 B
解析 由PA ⊥底面ABC ，得PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，BC ⊥AE .又AE ⊥
PB ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故A 正确；当EF ∥平面ABC 时，因为EF ⊂平面PBC ，
平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，所以EF ∥BC ，故EF ⊥平面PAB ，AE ⊥EF ，故C 正确；当PC ⊥平面
AEF 时，PC ⊥AE ，又BC ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故D 正确．故选B.
11．(2019·某某一诊)已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，则
①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 答案 ②④
解析 因为γ∩β＝l ，所以l ⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m ，l ⊥m ，所以l ⊥α；因为
γ∩β＝l ，所以l ⊂β，又l ⊥α，所以α⊥β.由于β可以绕l 转动，位置不定，所以m
⊥β和β⊥γ不一定成立，即②④正确，①③错误．
12．(2019·某某模拟)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面各边都相等，M 是
PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .
答案 BM ⊥PC (或DM ⊥PC )
解析 ∵△PAB ≌△PAD ，∴PB ＝PD ，∴△PDC ≌△PBC ，当BM ⊥PC 时，有DM ⊥PC ，此时
PC ⊥平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .故填BM ⊥PC (或DM ⊥PC )．
13．(2019·某某模拟)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：
①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；
④平面PDB 1⊥平面ACD 1.
其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④
解析 对于①，V A －D 1PC ＝V P －AD 1C ，点P 到平面AD 1C 的距离即为线BC 1与平面AD 1C 的距离，为定值，故①正确；对于②，因为平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，所以线A 1P ∥平面ACD 1；对于③，由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直于BC 1，故③错误；对于④，由
于B1D⊥平面ACD1，所以平面PDB1⊥平面ACD1.
14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.
∵DE⊄平面A1C1F，
A1C1⊂平面A1C1F，
∴直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
A 1A ⊥平面A 1
B 1
C 1.
∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥A 1C 1. ∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，
A 1
B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，
∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.
∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D ， 又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，
A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，
∴B 1D ⊥平面A 1C 1F . ∵直线B 1D ⊂平面B 1DE ， ∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
15．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，
AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．
(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PC ＝2，求三棱锥C －PAB 的高． 解 (1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，
AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC .
因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2， 所以AC 2
＋BC 2
＝AB 2
，故AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .
因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . (2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2
＝1.
由(1)知，AC 为三棱锥A －PBC 的高．
易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2， 于是S △PAB ＝12×22
×sin60°＝ 3.
设三棱锥C －PAB 的高为h ，则
1 3S△PAB·h＝
1
3
S△PBC·AC，
1
3
×3h＝
1
3
×1×2，解得h＝
6
3
，
故三棱锥C－PAB的高等于
6
3
.
16．(2019·某某某某中学模拟)如图，在底面为梯形的四棱锥S－ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，AD＝DC＝2，SA＝SC＝SD＝2.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)求三棱锥B－SAD的体积．
解(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD.
∵SA＝SC，∴OS⊥AC.
∵DA＝DC，∴DO⊥AC.
又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，
∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，
∴AC⊥SD.
(2)连接BD，在△ASC中，∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC的中点．
∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝ 3.
∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，
∴∠ADC＝90°，且OD＝1.
∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2，
∴∠SOD＝90°.∴SO⊥OD.
又∵OS ⊥AC ，且AC ∩DO ＝O ，∴SO ⊥平面ABCD .
∴V B －SAD ＝V S －BAD ＝13S △BAD ·SO ＝13×12AD ·CD ·SO ＝13×12×2×2×3＝3
3
.
17．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，且EC ＝2FB .
(1)证明：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1；
(2)若AB ＝EC ＝2，求三棱锥C －AEF 的体积．
解 (1)证明：取AE 的中点G ，AC 的中点M ，连接MG ，GF ，BM ，则MG ＝1
2
EC ＝BF ，MG ∥
EC ，
又MG ∥EC ∥BF ，
∴四边形MBFG 是平行四边形， ∴MB ∥FG .
∵MB ⊥AC ，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ， ∴MB ⊥平面ACC 1A 1， ∴FG ⊥平面ACC 1A 1. ∵FG ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面ACC 1A 1.
(2)由(1)得FG ⊥平面AEC ，FG ＝BM ＝3，
所以V C －AEF ＝V F －ACE ＝13×S △ACE ×FG ＝13×12×2×2×3＝23
3
.。