年人教B版高中数学必修二课时跟踪检测：第二章 平面解析几何初步 2.3 2.3.3

第二章平面解析几何初步
2.3圆的方程
2.3.3直线与圆的位置关系
课时跟踪检测
[A组基础过关]
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为() A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0 C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心C为(2,0)，半径为2，
将(1，3)代入圆的方程(1－2)2＋(3)2＝4，
∴点P在圆上，
∴k CP＝
3
－1
＝－3，
∴切线的斜率为
3 3，
切线方程为y－3＝
3
3(x－1)，
即x－3y＋2＝0，故选D．
答案：D
2．直线l：2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是() A．相交B．相切
C．相离D．不确定
解析：圆心C(0,1)，半径为5，
则圆心到直线2x－y＋3＝0的距离d＝|－1＋3|
22＋1
＝
2
5
<5，
∴直线与圆相交，故选A．
答案：A
3．过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角
的取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B ．⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，π3 C ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π6
D ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π3
解析：解法一：设直线l 的倾斜角为θ，数形结合可知：θmin ＝0，θmax ＝2×π
6＝π3.
解法二：因为直线l 与x 2＋y 2＝1有公共点，所以设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即l ：kx －y ＋3k －1＝0，则圆心(0,0)到直线l 的距离
|3k －1|
1＋k
2
≤1，得k 2－3k ≤0，即0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π3. 答案：D
4．直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，则|AB |为( ) A ．23 B ． 3 C ．2
D ．2 2
解析：圆心(0,0)到直线x －2y ＋5＝0的距离 d ＝
5
12＋(－2)2
＝5，
∴|AB |＝2r 2－d 2＝28－(5)2＝2 3. 答案：A
5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2＋2
2 C ．1＋2 2
D ．2
解析：圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可化为 (x －1)2＋(y －1)2＝1.
∴圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|
2＝ 2.故所求最大值为2
＋1.
答案：A
6．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过P点的最短弦所在直线的方程是________________．
解析：圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0，即
(x－4)2＋(y－1)2＝5.
所以圆心为C(4,1)．
∵k CP＝
1
4－3
＝1，∴所求直线的斜率为－1.
∴所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到
直线2x－y＝0的距离为45
5，则圆C的方程为________________．
解析：设圆心为(a,0)，a>0，∴|2a－0|
5
＝
45
5，∴a＝2，a＝－2(舍)，又r
2＝
22＋5＝9，∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．已知直线l：y＝mx＋4，圆C：x2＋y2＝4.
(1)若直线l与圆C相切，求实数m的值和直线l的方程；
(2)若直线l与圆C相离，求实数m的取值范围．
解：解法一：直线l的方程为mx－y＋4＝0，圆心C(0,0)到直线l的距离d
＝
|4|
m2＋1
.
又圆C的半径r＝2.
(1)若直线l与圆C相切，则d＝r，即
|4|
m2＋1
＝2.
解得m2＝3，所以m＝±3.
所以直线l方程为3x－y＋4＝0或3x＋y－4＝0.
(2)若直线l与圆C相离，则d＞r，即
|4|
m2＋1
＞2.
解得m2＜3，所以－3＜m＜3，即m的取值范围是(－3，3)．
解法二：把直线l：y＝mx＋4方程代入圆C：x2＋y2＝4，得(m2＋1)x2＋8mx
＋12＝0，
其判别式Δ＝(8m )2－4×12×(m 2＋1)．
(1)若直线l 与圆C 相切，则Δ＝0，解得m 2＝3，所以m ＝±3. 所以直线l 的方程为3x －y ＋4＝0或3x ＋y －4＝0. (2)若直线l 与圆C 相离，则Δ＜0，解得m 2＜3， 所以－3＜m ＜3，即m 的取值范围是(－3，3)．
[B 组 技能提升]
1．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点p (m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m ，n 应满足的关系式为( )
A ．(m －2)2＋n 2＝4
B ．(m ＋2)2＋n 2＝4
C ．(m －2)2＋n 2＝8
D ．(m ＋2)2＋n 2＝8
解析：圆的方程可化为(x －2)2＋y 2＝4， 若过P 作圆的两条切线互相垂直， 则P 到圆心的距离为2r ＝22， 即(m －2)2＋n 2＝8，故选C ． 答案：C
2．若直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，则弦长|AB |的最小值为( )
A ．8 5
B ．4 5
C ．2 5
D ． 5
解析：l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0， 由⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩
⎨⎧
x ＝3，y ＝1， ∴l 过定点M (3,1)，圆心C (1,2)，半径为5， 当AB ⊥MC 时，|AB |最小， ∴|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5， ∴|AB |＝2 52－|MC |2＝45，故选B ．
答案：B
3．若圆(x ＋23)2＋(y －27)2＝r 2与x 轴相切，则这个圆截y 轴所得的弦长
是________．
解析：∵圆与x轴相切，
∴半径r＝27.在圆的方程中，令x＝0，
得(y－27)2＝28－12＝16.
∴y1＝27＋4，y2＝27－4.∴y1－y2＝8.
答案：8
4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．
解析：圆的方程可化为
(x－2)2＋(y－2)2＝18，
∴圆心为(2,2)，半径r＝32，
圆心到直线x＋y－14＝0的距离为d，d＝52>r，
则圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为(d＋r)－(d－r)＝2r＝6 2.
答案：6 2
5．已知点A(－1,2)，B(0,1)，动点P满足|P A|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：3x－4y＋12＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设P(x，y)，由|P A|＝2|PB|得：
[x－(－1)]2＋(y－2)2＝2·(x－0)2＋(y－1)2，
两边平方得x2＋2x＋1＋y2－4y＋4＝2(x2＋y2－2y＋1)，
整理得x2＋y2－2x－3＝0，
即(x－1)2＋y2＝4.
(2)当QC与l1垂直时，|QC|最小．
|QC|min＝d＝|3×1－4×0＋12|
32＋42
＝3，
又|QM|＝|QC|2－|MC|2＝|QC|2－r2，∴|QM|min＝32－22＝ 5.
6．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；
(2)若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程． 解：(1)证明：证法一：直线mx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 总有两个不同交点．
证法二：联立方程⎩⎨⎧
x 2＋(y －2)2＝5，
mx －y ＋1＝0，消去y 并整理，得(m 2＋1)x 2－2mx －4
＝0.
因为Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)>0，所以直线l 与圆C 总有两个不同交点． 证法三：圆心C (0,2)到直线mx －y ＋1＝0的距离d ＝|0－2＋1|m 2＋1＝1
m 2＋1
≤1<5，
所以直线l 与圆C 总有两个不同交点． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，
联立直线与圆的方程得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0， 由根与系数的关系，得x ＝
x 1＋x 22＝m
m 2＋1
， 由点M (x ，y )在直线mx －y ＋1＝0上， 当x ≠0时，得m ＝y －1
x ，
代入x ＝m m 2＋1，得x ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫y －1x 2＋1＝y －1
x ， 化简得(y －1)2＋x 2＝y －1，即x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝1
4(x ≠0)．
当x ＝0，y ＝1时，满足上式，故M 的轨迹方程为x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝1
4(y ≠2)．
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