广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 三角函数

三角函数21
解答题 28.已知
310,tan cot 43παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
2ααααπα++-⎛
⎫
- ⎪
⎝
⎭的值。

29.已知4
0,sin 25π
αα<<
=
（Ⅰ）求22
sin sin 2cos cos 2αα
αα
++的值； （Ⅱ）求5tan()4
π
α-的值。

解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=，得3
cos 5
α=，所以22
sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1
ααα
α+=-。

（Ⅱ）∵sin 4tan cos 3
ααα==，∴5tan 11
tan()41tan 7πααα--=
=+。

30.
已知函数1)
4()cos x f x x
π
-=
， （Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4
tan 3
α=-
，求()f α的值. 解：（1）依题意，有cosx ≠0，解得x ≠k π＋2
π
， 即()f x 的定义域为｛x|x ∈R ，且x ≠k π＋
2
π
，k ∈Z ｝
（2
）1)
4()cos x f x x
π
-=
＝－2sinx ＋2cosx ∴()f α＝－2sin α＋2cos α 由α是第四象限的角，且4tan 3
α=-可得sin α＝－45，cos α＝3
5
∴()f α＝－2sin α＋2cos α＝14
5
31.已知函数f (x )=x
x
cos 2sin 1-
(Ⅰ)求f (x )的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=3
4
-
，求f (α)的值
. 32.已知函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2
x ,x ∈R.
（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？
本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

解：（I
）1cos 2()sin 2(1cos 2)22
x f x x x -=
+++
13sin 2cos 22223
sin(2).
62
x x x π=
++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
=
由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈ 即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
33.已知函数R x x x x x f ∈+=,cos sin 3sin )(2。

（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

解：（I ）2
1
)62sin(2cos 212sin 23cos sin 3sin )(2
+-=-=
+=πx x x x x x x f ()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
= 由题意得Z k k x k ∈+≤-
≤-,2
26
22
2π
ππ
π
π
即 Z k k x k ∈+
≤≤-
,3
26
π
ππ
π
()f x ∴的单调增区间为Z k k k ∈+
-
],3
2,6
[π
ππ
π
（II ）方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到)6
2sin(π-=x y 的图象，再把所得图象上所有的点向上平移21个单位长度，就得到2
1
)62sin()(+-=πx x f 的
图象。

方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量)2
1
,12(
π=a 平移，就得到
2
1
)62sin()(+-
=π
x x f 的图象。

34.已知函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++∈.
(I)求()f x 的最小正周期；
(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3
()4
f α=
，求sin2α的值.
35.已知),,0(,1cos )
cos()22sin(
sin 3πθθθπθπ
θ∈=⋅+--
求θ的值. 解析： 由已知条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--
θθ
θ
θ. 即0sin 2sin 32=-θθ. 解得0sin 2
3
sin ==
θθ或. 由0＜θ＜π知23sin =
θ，从而3
23πθπθ==或. 36.已知函数2
2
()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；
(II) 函数()f x 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:
1cos 23(1cos 2)
()sin 21sin 2cos 22)224
x x f x x x x x π
-+=
++=++=++
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+
∈.
37.已知函数f (x )=A 2
sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;
（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).
解：（I ）2sin ()cos(22).22
A A
y A x x ωϕωϕ=+=
-+ ()y f x =Q 的最大值为2，0A >.2, 2.22
A A
A ∴+==
又Q 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224
ππ
ωω∴==
22()cos(2)1cos(2)2222
f x x x ππ
ϕϕ∴=-+=-+.
()y f x =Q 过(1,2)点，cos(2) 1.2
π
ϕ∴+=-
22,,2
k k Z π
ϕππ∴
+=+∈22,,2
k k Z π
ϕπ∴=+
∈,,4
k k Z π
ϕπ∴=+
∈
又Q 0,2
π
ϕ<<
4
π
ϕ∴=
.
（II ）解法一：4
π
ϕ=
Q ，1cos(
)1sin .222
y x x π
ππ
∴=-+=+ (1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.
又()y f x =Q 的周期为4，20084502=⨯，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
解法二：2()2sin (
)4f x x π
ϕ=+Q 223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44
f f ππ
ϕϕ∴+=+++= 22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2
f f π
ϕπϕ+=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++= 又()y f x =的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯= 38.已知函数f(x)=3sin(2x －
π6)+2sin 2
(x －π12
) (x ∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合
.
39.求函数y ＝2)4
cos()4cos(π
π
-
+
x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．
解]
2cos()cos()4
4
y x x x ππ=+-
22112(cos sin )22
cos22sin(2)
6
x x x
x x x π=-==+
∴
函数2cos()cos()44
y x x x ππ=+-的值域是[2,2]-,最小正周期是π；
40.已知α是第一象限的角，且5cos 13α=，求()
sin 4cos 24πααπ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭+的值。

41.已知5tan cot 2αα+=
，ππ42α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，．求cos2α和πsin(2)4α+的值． 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。

解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2
αααα+=则
254
,sin 2.sin 25αα==
因为(,),42ππα∈所以2(,),2παπ∈ 23
cos 21sin 2,5
αα=--=
sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444
πππ
ααα+=+ 42322525210=⨯
-⨯= 解法二：由5
tan cot ,2
αα+=得
15
tan ,tan 2
αα+
=
解得tan 2α=或1tan .2α=
由已知(,),42ππα∈故舍去1tan ,2
α=得 tan 2.α=
因此，255sin αα=
=那么 223
cos 2cos sin ,5
ααα=-=-
且4sin 22sin cos ,5
ααα==
故sin(2)sin 2.cos
cos 2.sin
4
4
4π
π
π
ααα+
=+4232255=-=
42.如图，函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2
π
) 的图象与y 轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角与PN PM 本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。

43.设函数f (x )=3cos 2
cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的
第一个高点的横坐标为6
x . （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.
1
()cos 2sin 22
sin 23 2,
6
3
2
1
.2
f x x x x ωωαπωαπ
π
π
ωω=
+++⎛⎫=+++ ⎪
⎝⎭
⋅+
=
=
解：（I ）依题意得解之得
)57 ,0,,36361 sin()1,
23
51 (),3621
2
x x x f x π
α
πππππ
ππαα+
+⎡⎤⎡
⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
-≤+≤⎡⎤
--++⎢⎥⎣
⎦-
++=（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+
3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知
故α=。