2019年北京市中考数学试题 含答案

2019年北京市中考数学试题含答案
2019年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行
设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标
志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点米。

将用科学记数法表示应为 4.39×10^5.（B）
2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（C）
3.正十边形的外角和为 360°。

（B）
4.在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C。

若CO=BO，则a
的值为 1.（C）
5.已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，
以点O为圆心，OC长为半径作线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN。

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（B）若OM=MN，则∠AOB=20°。

6.如果m+n=1，那么代数式（2m+n）/(2-mn)的值为（C）1.
7.用三个不等式a>b，ab>1，ab<0中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（B）1.
8.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动
的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分。

人数
时间t<≤10
10≤t<20
20≤t<30 30≤t<40 t≥40
男
7
31
25
4
8
女
8
29
26
8
11
初中10
25
36
30
学生类别
高中
30
20
32
44
人均参加公益劳动时间/小时
24.5
25.5
27.0
21.8
下面有四个推断：
1.男生参加公益劳动的人数比女生多。

（正确）
2.初中生参加公益劳动时间的平均值高于高中生。

（错误）
3.学生参加公益劳动的总人数超过100人。

（正确）
4.女生参加公益劳动的总时间多于男生。

（错误）
1.这200名学生参加公益劳动时间的平均数应该在24.5-25.5之间。

2.这200名学生参加公益劳动时间的中位数大约在20-30之间。

3.这200名学生中，初中生参加公益劳动时间的中位数应该在20-30之间。

答案：C（①②③）
9.分式的值为1/2，则x的值为2/(1+x)。

10.ABC的面积约为11.5 cm²。

11.答案：①长方体。

12.∠PAB + ∠PBA = 90°。

13.点B在双曲线y = -2/x上。

14.菱形的面积为32 cm²。

15.新数据的方差为16，原数据的方差为64，填“<”。

16.所有结论都成立，答案：①②③④。

17.解：
设这200名学生的公益劳动时间从小到大排列为
a1.a2.a200.
根据中位数的定义，有a100 ≤ 25 ≤ a101，即有50%的学生公益劳动时间小于等于25，50%的学生公益劳动时间大于等于25.
根据平均数的定义，有(a1+a2+。

+a200)/200 ≈ 25，即公益劳动时间的平均数大约为25.
因此，选项A和B都不正确，选项C和D都正确，答案为C。

18.解：
设正方形的边长为a，则菱形的对角线长为a√2.
菱形的面积为(a√2)²/2 = 2a²，正方形的面积为a²。

因此，菱形的面积是正方形面积的2倍，答案为2.
19.解：
设矩形ABCD的长为a，宽为b。

则有AM = CN = x，BN = DP = y。

根据勾股定理，有a² = x² + y²，b² = (a-x)² + y²。

将第一个式子代入第二个式子，得到b² = (a-x)² + (a²-x²)。

化简得到x² = (a-b)·x，因此x = 0或x = a-b。

当x = 0时，M和N重合，P和Q重合，此时四边形MNPQ是矩形。

当x = a-b时，四边形MNPQ是平行四边形。

因此，选项①和②都正确，选项③和④都不正确，答案为A。

20.解：
设正方形的边长为a，则菱形的对角线长为a√2.
菱形的面积为(a√2)²/2 = 2a²，正方形的面积为a²。

因此，菱形的面积是正方形面积的2倍，答案为2.
21.解：
假设这200名学生的公益劳动时间分别为a1.a2.a200.
根据中位数的定义，有a100 ≤ 25 ≤ a101，即有50%的学生公益劳动时间小于等于25，50%的学生公益劳动时间大于等于25.
根据平均数的定义，有(a1+a2+。

+a200)/200 ≈ 25，即公益劳动时间的平均数大约为25.
因此，选项A和B都不正确，选项C和D都正确，答案为C。

22.解：
设甲、乙、丙三人的年龄分别为x、y、z。

由题意可得：
x + y + z = 99
y - x = 6
z - y = 3
将第二个式子变形得到y = x + 6，将第三个式子变形得到z = y + 3 = x + 9.
代入第一个式子得到3x + 18 = 99，解得x = 27.
因此，甲的年龄为27岁，乙的年龄为33岁，丙的年龄为36岁。

答案：27、33、36.
23.解：
设小球的半径为r，大球的半径为R。

由题意可得：
4πr³/3 = 4/3πR³ - 4πR²h/3
化简得到R³ - 3Rh² + 3r²h - r³ = 0
根据勾股定理，有r² + h² = R²
将r²代入上式得到R³ - 3Rh² + 3R²h - h³ = 0
这是一个关于h的三次方程，可以使用三次公式求解。

解得h = 2R/3，代入r² + h² = R²得到r = R/3.
因此，小球的半径是大球半径的1/3，答案为1/3.
24.解：
设正方形的边长为a，圆的半径为r。

则有a + 2r = 10，πr² = a²/2.
将第一个式子代入第二个式子得到πr² = (5-r)²，化简得到r = 5/3.
代入第一个式子得到a = 10 - 2r = 20/3.
因此，正方形的面积为(20/3)²，答案为400/9.
25.解：
根据题意，有：
f(x) = x + 1/x
g(x) = x - 1/x
求f(g(2))和g(f(2))的值。

首先计算g(2) = 2 - 1/2 = 3/2.
然后计算f(3/2) = 3/2 + 2/3 = 13/6，因此f(g(2)) = 13/6.
接着计算f(2) = 2 + 1/2 = 5/2.
然后计算g(5/2) = 5/2 - 2/5 = 21/10，因此g(f(2)) = 21/10.
答案：f(g(2)) = 13/6，g(f(2)) = 21/10.
26.解：
设正方形的边长为a，三角形的高为h。

则有a² = h(2a-h)，化简得到h² - 2ah + a² = 0.
解得h = a/2或h = 3a/2.
当h = a/2时，三角形的面积为a²/4，正方形的面积为a²，比值为1/4.
当h = 3a/2时，三角形的面积为3a²/4，正方形的面积为
a²，比值为3/4.
因此，选项①和③都不正确，选项②和④都正确，答案为B。

27.解：
设甲、乙、丙三人的年龄分别为x、y、z。

由题意可得：
x + y + z = 100
y - x = z - y
将第二个式子变形得到2y = x + z，代入第一个式子得到x + (x+z)/2 + z = 100，化简得到x + z = 66.
因此，y = (x+z)/2 = 33.
根据题意，甲、乙、丙三人的年龄是三个连续的奇数，因此可以列出以下方程组：
x = 2n - 2
y = 2n - 1
z = 2n
代入x + z = 66得到4n - 2 = 66，解得n = 17.
因此，甲、乙、丙三人的年龄分别为33、35、37岁。

答案：33、35、37.
28.解：
设正方形的边长为a，圆的半径为r。

则有a + 2r = 10，πr² = a²/2.
将第一个式子代入第二个式子得到πr² = (5-r)²，化简得到r = 5/3.
代入第一个式子得到a = 10 - 2r = 20/3.
设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH。

则有AE = AF = 2r，OG = OH = a/2，OE = OF = (a/2 - r)√2.
因此，正方形面积与圆面积的比值为：
a²/(πr²) = (20/3)²/(π(5/3)²) ≈ 2.654
答案：2.654.
1.题目中缺少了要计算的数值，无法解答。

18.解不等式组：
begin{cases}4(x-1)x\end{cases}$$
化XXX：
begin{cases}3xx\end{cases}$$
解得 $x<2$ 且 $x<7$，即 $x<2$。

19.由题可得：
2x-2x+2m-1=0$$
化XXX：
m=\frac{1}{2}$$
此时方程的根为 $x=\frac{1}{2}$。

20.
1) 连接 $AC$，则 $\triangle AEF$ 与 $\triangle ADC$ 共面，且 $\angle AEC=90^\circ$，$\angle AED=90^\circ$，所以
$\angle EAC+\angle EDC=90^\circ$，即 $AC\perp EF$。

2) 连接 $OG$，则 $\triangle OGD\sim\triangle AGB$，所
以 $\frac{OG}{AG}=\frac{DG}{BG}=\frac{1}{3}$，又因为
$\angle OAG=60^\circ$，所以 $\triangle OAG$ 为 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$三角形，即 $AO=\sqrt{3}OG$。

又因为$\tan G=\frac{1}{2}$，所以 $\sin G=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos
G=\frac{2}{\sqrt{5}}$，所以 $OG=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
$AO=\sqrt{3}OG=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$。

21.
1) 中国的国家创新指数得分为 $69.5$，排名前 $40$，所
以中国的国家创新指数得分排名世界第 $40$。

2) 如图所示，在虚线 $1$ 上方的国家有中国、美国、日
本等，将它们圈出即可。

3) 根据图中数据，国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 $2.1$ 万元美元。

4) 推断①合理。

2.相比于点B和C代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距。

为了实现“决胜全面建成小康社会”的目标，中国需要进一步提高人均国内生产总值。

23.XXX计划用七天的时间背诵若干首诗词。

她将诗词分成四组，每组分别有$x_i$首。

对于每一组，小云在第$i$天背诵第一遍，在第$(i+1)$天背诵第二遍，在第$(i+3)$天背诵第三遍。

问：（1）如果$x_1=4$，$x_2=3$，$x_3=4$，请补全上表；（2）$x_4$的所有可能取值是多少？（3）七天后，小云最多能背诵多少首诗词？
24.如图，$P$是弦$AB$所围成的图形的外部的一点，$C$是上一动点，$PD$与弦$AB$垂直，交于点$D$。

小腾探究了线段$PC$，$PD$，$AD$的长度之间的关系。

他在不同位置测量了这三条线段的长度，得到了如下表格。

请根据这些数据回答以下问题：（1）对于点$C$在不同位置，确定$PC$的长度是自变量，$PD$的长度和$AD$的长度都是这个自变量的函数；（2）在$PC$，$PD$，$AD$的长度这三个量中，确定$PD$的长度是自变量，$PC$的长度和$AD$的长度都是这个自变量的函数。

2.在同一平面直角坐标系$xOy$中，画出题目中所确定的函数的图象。

当$PC=2PD$时，求$AD$的长度，约为多少厘米。

3.在平面直角坐标系$xOy$中，已知直线$l:y=kx+1(k\neq 0)$与直线$x=k$，$y=-k$分别交于点$A,B$，直线$x=k$与直线$l$交于点$C$。

求直线$l$与$y$轴的交点坐标，以及线段$AB,BC,CA$围成的区域$W$内的整点个数。

若区域$W$内没
有整点，直接写出$k$的取值范围。

4.在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线
$y=ax^2+bx$与$y$轴交于点$A$。

将点$A$向右平移$2$个单位长度，得到点$B$，点$B$在抛物线上。

求点$B$的坐标，以
及抛物线的对称轴。

已知点$P(8,11)$，$Q(2,2)$，若抛物线与
线段$PQ$恰有一个公共点，求$a$的取值范围。

5.已知$\angle AOB=30^\circ$，$H$为射线$OA$上一定点，$OH=3+\sqrt{3}$，$P$为射线$OB$上一点，$M$为线段
$OH$上一动点，连接$PM$，满足$\angle OMP$为钝角。

以点$P$为中心，将线段$PM$顺时针旋转$150^\circ$，得到线段$PN$，连接$ON$。

求证：$\angle OMP=\angle OPN$。

点
$M$关于点$H$的对称点为$Q$，连接$QP$。

写出一个$OP$的值，使得对于任意的点$M$总有$ON=QP$，并证明。

6.在$\triangle ABC$中，$D,E$分别是$AB,AC$两边的中点。

如图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{2}$，$D,E$分别是$AB,AC$的中点。

画出$\triangle ABC$的图形，
并直接写出此时$\triangle ABC$的最长的中内弧的长。

在平面
直角坐标系中，已知点$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(4t,0)(t>0)$，$D,E$分别是$AB,AC$的中点。

若$t=\frac{1}{2}$，求
$\triangle ABC$的中内弧所在圆的圆心$P$的纵坐标的取值范围。

本文介绍了2019年北京市中考数学答案，其中包括选择题、填空题和解答题。

其中，解答题包括了多道数学题目的解答过程和答案。

在解答题中，有一道题目要求我们确定一个圆的圆心位置，并给出了t的取值范围。

我们需要将题目中的信息整理清楚，
确定圆心位置并列出t的取值范围。

另外，在解答题中还有一道要求我们证明一个三角形是等腰三角形的题目。

我们需要根据已知条件进行推理，最终得出结论。

除此之外，本文还包括了其他多道数学题目的解答过程和答案。

通过认真研究这些题目，我们可以更好地掌握数学知识，提高自己的数学水平。