高中数学数列与不等式检测题(有答案) (2)

数列与不等式检测题
一、选择题。

1. 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x|x <−1或x >1
2}，则f (10x )>0的解集为
（ ）
A.{x|x <−1或x >lg 2}
B.{x|−1<x <lg 2}
C.{x|x >−lg 2}
D.{x|x <−lg 2}
2. 不等式|x −1|−|x −5|<2的解集是（ ） A.(−∞,4) B.(−∞,1) C.(1,4) D.(1,5)
3. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3,a 4,a 8成等比数列，则（ ）
A.a 1d >0,dS 4>0
B.a 1d <0,dS 4<0
C.a 1d >0,dS 4<0
D.a 1d <0,dS 4>0
4. 设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是（ ） A.若a 1+a 2>0，则a 2+a 3>0 B.若a 1+a 3<0，则a 1+a 2<0
C.若0<a 1<a 2，则a 2>√a 1a 3
D.若a 1<0，则(a 2−a 1)(a 2−a 3)>0
5. 设x ∈(0,π
2)，则函数y =
2sin 2x+1sin 2x
的最小值为（ ）
A.√3
B.√2
C.1
D.√2
2
6. 在等差数列{a n }中，a 9=1
2a 12+6，则数列{a n }的前11项和S 11=________.
7. 若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0，
x −y ≤0，
x −2y +2≥0，
则z =2x −y 的最小值等于（ ）
A.−5
2 B.−2
C.−3
2
D.2
（ ） A.(13,2
3) B.[13,2
3
) C.(12,2
3
) D.[12,2
3
)
9. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
10. 已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0
x +y ≤2y ≥0 ，若z ＝ax +y 的最大值为4，则a ＝（ ）
A.3
B.2
C.−2
D.−3
11. 已知定义在R 上的函数f (x )在(−∞,−4)上是减函数，若g (x )=f (x −4)是奇函数，且g (4)=0，则不等式f (x )≤0的解集是（ ） A.(−∞,−8]∪(−4,0] B.[−8,−4)∪[0,+∞) C.[−8,−4]∪[0,+∞） D.[−8,0]
12. 已知函数f (x )=2x −log 12
x ，且实数a >b >c >0满足f (a )⋅f (b )⋅f (c )<0，若实
数x 0是函数y =f (x )的一个零点，那么下列不等式中不.可.能.
成立的是（ ）
A.x 0<a
B.x 0>a
C.x 0<b
D.x 0<c
二、填空题。

在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7＝25，则a 2+a 8＝________．
若f(x)=e x −e −x ，则满足不等式f(3x −1)+f(2)>0的x 的取值范围是________．
设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=−1，a n+1=S n S n+1，则S n =________．
若存在x 使不等式x−m e x
>√x 成立，则实数m 的取值范围为________．
三、解答题。

完成下列小题：
已知不等式(x+y)(1
x +a
y
)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值；
若a>0,b>0，且2a+b=1，求S=2√ab−4a2−b2的最大值．
设函数f(x)=mx2−mx−1．
若对一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
对于x∈[1, 3]，f(x)<−m+5恒成立，求m的取值范围．
S n为数列{a n}的前n项和．已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n=1
a n a n+1
，求数列{b n}的前n项和．
设数列{a n}的前n项和为S n．已知2S n=3n+3．
求{a n}的通项公式；
若数列{b n}满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．
函数y=|x+1|+|x−2|的最小值为M；
求实数M的值；
若不等式√a−x+√4+2x≤M(其中a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
数列{a n}满足a1+2a2+⋯+na n=4−n+2
2n−1
(n∈N∗)．
求a3的值；
求数列{a n}的前n项和T n；
令b1=a1,b n=T n−1
n +(1+1
2
+1
3
+⋯+1
n
)a n(n≥2)，证明：数列{b n}的前n项和S n满
足S n<2+2ln n．
参考答案与试题解析 数列与不等式检测题
一、选择题。

1.
【答案】 D
【考点】
一元二次不等式的解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 2.
【答案】 A
【考点】
绝对值不等式的解法与证明 【解析】 此题暂无解析 【解答】
原不等式同解于如下三个不等式解集的并集； （1）{x <11−x +x −5<2
（2）{1≤x <5x −1+x −5<2
（3）{x ≥5x −1−x +5<2
解（1）得：x <1， 解（2）得：1≤x <4， 解（3）得：x ∈⌀，
所以，原不等式的解集为{x|x <4}．故选A ． 3. 【答案】 B
【考点】
等比数列的性质 等差数列的通项公式
【解析】 此题暂无解析 【解答】
等差数列{a n }，a 3,a 4,a 8成等比数列，
∴ (a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d )⇔a 1=−5
3d ，
∴a1d=−5
3d2<0，dS4=−2
3
d2<0，故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
先分析四个支，A举一反例a1=2，a2=−1，a3=−4，a1+a2>0而a2+a3<0，A 错误，B举同样反例a1=2，a2=−1，a3=−4，a1+a3<0，而a1+a2>0，B错误，下面针对C进行研究，{a n}是等差数列，若0<a1<a2，则a1>0，设公差为d，则
d>0．数列各项均为正，由于a22−a1a3=(a1+d)2−a1(a1+2d)=a12+2a1d−
d2−a12−2a1d=d2>0，则a22>a1a3⇒a2>√a1a3．选C．
5.
【答案】
A
【考点】
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由于x∈(0,π
2
)，
所以sin x∈(0,1),cos x∈(0,1)．
y=2sin2x+1
sin2x ⇒y=3sin2x+cos2x
2sin x cos x
=3sin x
2cos x
+cos x
2sin x
≥√3．
选A．
6.
【答案】
132
【考点】
等差数列的前n项和
等差中项
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由a9=1
2
a12+6及等差数列的通项公式，可得2(a1+8d)=a1+11d+12，
解得a6=a1+5d=12，
所以S11=11(a1+a11)
2=11×2a6
2
=132.
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
画出可行域，如图所示，目标函数变形为y=2x−z，当z最小时，直线y=2x−z的纵截距最大，故将直线y=2x经过可行域，尽可能向上移到过点B(−1,1
2
)时，z取到最
小值，最小值为z=2×(−1)−1
2=−5
2
，故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
9.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若3a>3b>3，则a>b>1，
从而有log
a 3<log
b
3，故“3a>3b>3”是“log
a
3<log
b
3”的充分条件；
若log
a 3<log
b
3不一定有a>b>1，
比如，a=1
3
，b=3，3a>3b>3不成立，
故“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件. 故选B．
【考点】
简单线性规划【解析】
此题暂无解析【解答】
不等式组{x−y≥0
x+y≤2
y≥0
在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若z=ax+y的最大值为4，则最优解可能为x=1，y=1或x=2，y=0，经检验，x=2，y=0是最优解，此时a=2；x=1，y=1不是最优解．故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
∵g(x)=f(x−4)是奇函数，
∴函数g(x)=f(x−4)图象的对称中心为(0,0)，
∴函数f(x)图象的对称中心为(−4,0)．
又函数f(x)在(−∞,−4)上是减函数，
∴函数f(x)在(−4,+∞)上为减函数，且f(−4)=g(0)=0．
∵g(4)=f(0)=0，
∴f(−8)=0.
画出函数f(x)图象的草图（如图）．
结合图象可得f(x)≤0的解集是[−8,−4]∪[0,+∞)．
选C．
12.
D
【考点】
函数零点的判定定理
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
∵f(x)是定义域上的增函数．
∴x<x0时，f(x)<0．
x>x0时，f(x)>0．
对于D选项，可得f(a)>f(b)>f(c)>0．故不成立．
二、填空题。

【答案】
10
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为{a n}是等差数列，所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5，a3+a4+a5+a6+ a7=5a5−25，即a5=5，所以a2+a8=2a5=10，故应填入10．
【答案】
x>−1 3
【考点】
奇偶性与单调性的综合
利用导数研究函数的单调性
【解析】
先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数性质，可得3x−1>−2，由此求得x的取值范围．
【解答】
解：∵f(−x)=e−x−e x=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，f(3x−1)>−f(2)=f(−2)，
∵f′(x)=e x+e−x，
∴f′(x)>0恒成立，f(x)=e x−e−x在R上单调递增，
∴3x−1>−2，
解得x>−1
3
.
故答案为：x>−1
3
.
【答案】
−1 n
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析【解答】
由已知得a n+1=S n+1−S n=S n+1⋅S n，两边同时除以S n+1⋅S n，得1
S n+1−1
S n
=−1，故
数列{1
S n }是以−1为首项，−1为公差的等差数列，则1
S n
=−1−(n−1)=−n，所以S n=
−1
n
．
【答案】
(−∞,0)
【考点】
不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为x≥0,e x≥1，所以由x−m
e x
>√x，得m<x−√xe x
令f(x)=x−√xe x,(x∈[0,+∞))，则原问题转化为m<f(x)max
由f′(x)=1−(
2√x
√x)e x，且当x>0时，
2√x +√x≥2√1
2
=√2(x=1
2
时等号成立），e x>1
所以f′(x)=1−(
2√x
√x)e x<0，即f(x)=x−√xe x，(x∈[0,+∞))为减函数，最大值为f(x)=0
所以，m<0．
三、解答题。

【答案】
4
√2−1
2
【考点】
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
略
【答案】
(−4, 0]
(−∞,6 7 )
函数最值的应用
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：①m =0时，符合题意
②m ≠0时，须{m <0Δ<0⇒{m <0
m 2+4m <0⇒(−4,0)
综上可知m ∈(−4,0]
x ∈[1,3],mx 2−mx +m −6<0恒成立， 令g (x )=mx 2−mx +m −6 ①m =0时，符合题意
②m ≠0时，对称轴x =1
2，当m <0时，满足：
g(1)<0⇒m <6⇒m <0，当m >0时，满足：g(3)<0⇒0<m <6
7
综上可知：m ∈(−∞,6
7
)
【答案】
解：当n =1时，a 12
+2a 1=4S 1+3=4a 1+3， 因为a n >0， 所以a 1=3，
当n ≥2时，a n 2
+2a n −a n−12−2a n−1 =4S n +3−4S n−1−3=4a n ， 因为a n >0，
所以a n −a n−1=2，
所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a n =2n +1.
(2)由(1)可知，a n =2n +1， 故b n =1
(2n+1)(2n+3)=1
2(1
2n+1−1
2n+3)， 所以数列{b n }前n 项和为b 1+b 2+⋯+b n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n +1−12n +3)] =12(1
3−1
3n+3)=1
6−1
4n+6． 【考点】
等差数列的通项公式 数列的求和
【解析】
先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{a n }的递推公式，可以判断数列{a n }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{a n }的通项公式； 根据（1）数列{b n }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和． 【解答】
解：当n =1时，a 12
+2a 1=4S 1+3=4a 1+3，
所以a 1=3，
当n ≥2时，a n 2
+2a n −a n−12−2a n−1 =4S n +3−4S n−1−3=4a n ， 因为a n >0，
所以a n −a n−1=2，
所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a n =2n +1.
(2)由(1)可知，a n =2n +1， 故b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−1
2n+3)， 所以数列{b n }前n 项和为b 1+b 2+⋯+b n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n +1−12n +3)] =12(13−13n+3)=16−1
4n+6． 【答案】
a n ={3,n =1,3n−1,n >1.；
T n =1312−6n+3
4×3n ．
【考点】 数列的求和 【解析】 此题暂无解析 【解答】
因为2S n =3n +3
所以，2a 1=3+3，故a 1=3， 当n >1时，2S n−1=3n−1+3，
此时，2a n =2S n −2S n−1=3n −3n−1，即a n =3n−1， 所以a n ={3,n =1,
3n−1,n >1.
因为a n b n =log 3a n ，所以b 1=1
3， 当n >1时，b n =31−n log 33n−1=n−1
3n−1 所以T 1=b 1=1
3 当n >1时，
∴ T n =b 1+b 2+⋯+b n =1
3
+1
3
+
23
2+⋯+
n−13n−1
①
1
3T n =132+132+233+334+⋯+n−13n
②
①−②
23T n =23−19+132+⋯+13n−1−n −13
n
=59+132(1−1
3n−2)1−13
−n −13n =59+16(1−13n−2)−n −13n =1318−(12×3n−1+n −13n ) =
1318−2n +12×3n
所以T n =
1312
−
6n+34×3n
经检验，n =1时也适合， 综上可得：T n =13
12−6n+3
4×3n 【答案】 3
0<a ≤1
【考点】
绝对值三角不等式
绝对值不等式的解法与证明
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：因为|x +1|+|x −2|≥|(x +1)−(x −2)|=3，等号成立当且仅当(x +1)(x −2)≤0，−1≤x ≤2，M =3．
分析：利用绝对值三角不等式即可求得y =|x +1|+|x −2|的最小值M ． 因为(√a −x +√2⋅√2+x)2≤[12+(√2)2](a −x +2+x)=3(a +2) 当且仅当
√a−x
=√2
√2+x
时，取“=”号，即当x =
2a−23
∈[−2,a]时，√a −x +√2(2+x)取
得最大值为√3(a +2)．
∴ 只需√3(a +2)≤3，解得0<a ≤1．
分析：由条件利用柯西不等式，求得√a −x +√4+2x 的最大值，再根据此最大值小于或等于M 求得实数a 的取值范围． 【答案】 14
T n =2−(12)n−1
依题由b n =
a 1+a 2+⋯+a n−1
n
+(1+12+⋯+1
n )a n
∴ b 1=a 1， b 2=a 12
+(1+1
2)a 2，
b 3=
a 1+a 2
3
+(1+12+1
3)a 3，
∴ S n =b 1+b 2+⋯+b n ，
=(1+12+⋯+1
n )(a 1+a 2+⋯+a n )
=(1+12+⋯+1n )(2−1
2n−1)
<2×(1+12+⋯+1
n )
记f (x )=ln x +1
x −1(x >1)， 则f ′(x )=1
x −
1x 2=
x−1x 2
>0，
∴ f (x )在(1,+∞)上是增函数，又f (1)=0即f (x )>0， 又k ≥2且k ∈N ∗时，k k−1>1， ∴ f (
k
k−1
)=ln k
k−1+1
k
k−1
−1>0，即ln
k k−1
>1
k
，
∴ 12
<ln 21
，13
<ln 32
，…，1
n
<ln
n
n−1
，
即有1
2+1
3⋯+1
n <ln 2
1+ln 3
2+⋯+ln n
n−1=ln n ， ∴ 2×(1+1
2+1
3+⋯+1
n )<2+2ln n ， 即S n <2+2ln n ． 【考点】
数列的求和 【解析】 此题暂无解析 【解答】
依题3a 3=(a 1+2a 2+3a 3)−(a 1+2a 2)=4−3+2
23−1−(4−2+2
22−1)=3
4， ∴ a 3=1
4；
依题当n >1时，
na n =(a 1+2a 2+⋯+na n )−[a 1+2a 2+⋯+(n −1)a n−1]=4−n+2
2n−1−(4−n+1
2n−2)=
n 2n−1
，
∴ a n =(12)
n−1
，又a 1=4−1+220
=1也适合此式，
∴ a n =(12)
n−1
，
∴ 数列{a n }是首项为1，公比为1
2的等比数列， 故T n =1−(12)
n 1−12
=2−(12)
n−1
；
略。