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青岛十五中2015-2016学年度高三月考
高三 理科数学试卷
命题人：邵爱霞 2015年10月
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． cos( -300°)等于 ( )
A ．12
B ．－12 C.2- D.2
2．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于 ( )
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．(－∞，0]
D ．以上都不对
3．若0<x <y <1，则 ( )
A ．3y <3x
B ．log x 3<log y 3
C ．log 4x <log 4y
D ．(14)x <(14
)y 4．已知sin α<0且tan α>0，则角α是 （ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
5．命题|2:|+x p ＞2，命题:q 2320x x -+<，则q ⌝是p ⌝成立的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6．若函数2()cos f x x α=-，则()f α'等于 （ ）
A.sin α
B.cos α
C.2sin αα+
D. 2sin αα- 7．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）
A. (,2]-∞
B. [0,3]
C. [1,4]
D. [2,)+∞ 8．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．
其中错误的命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，( )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
10. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成
立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）
A.[)2,1
B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34
C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34
D. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,34 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，则弧AB 的长为___________；
12.已知sin 2cos αα
=，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α=_____________； 13.若函数m x x x f +-=3)(3有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________；
14.若函数212
log ,0,()log (),0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围____________； 15．对于函数32()1f x x ax x =+-+，给出下列命题：
①该函数必有2个极值； ②该函数的极大值必大于1；
③该函数的极小值必小于1； ④方程)(x f =0一定有三个不等的实数根．
则正确的命题序号为：_______________。

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
有两个命题，:p 关于x 的不等式1>x a (0,1)a a >≠且的解集是{}|0x x <；:q 函数)lg(2a x ax y +-=的定义域为R 。

如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围。

17. （本小题满分12分）
已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 18. （本小题满分12分）
设()ln x f x a e b x =⋅++c ，且1(1),(1)f e f e
''=-=。

(1)求实数,a b 的值。

(2)将(1)得到的,a b 值代入()f x ，得到函数()g x ，若点(0,)A d 在()g x 图象上，且()g x 在A 点处的切线过点(1,4)B ，求,c d 的值。

19. （本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0.
(1)求C ；
(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．
20. （本小题满分13分）
已知函数32()3f x x ax x =--。

(1)若()f x 在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若x ＝3是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间及在[2,4]上的最值。

21. （本小题满分14分）
已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈
(1)若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；
(2)令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数()g x 的最
小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；
(3)当∈x ],0(e 时，证明： x x x x e ln )1(2522+>-
青岛十五中2015-2016学年度高三月考
高三 理科数学答案 一、选择题：ABCCB ADCDC
二、填空题.
11．4π； 12.1； 13. )2,2(-； 14. (－1,0)∪(1，＋∞) ； 15.①②③。

三、解答题
16. :01p a <<。

函数)lg(2
a x ax y +-=的定义域为R 等价于2,0x R ax x a ∀∈-+>， (1)a=0 不成立
（2）a ≠0 20140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >，即1:2q a >。

如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则p 真q 假或p 假q 真，
0112a a <<⎧⎪∴⎨≤⎪⎩或0112
a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或，解得102a <≤或1a ≥。

17. 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω
＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，
展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，
∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2
. (2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12
，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 18.解：(1)()x b f x ae x
'=+ '(1)1'(1)f ae b e a f b e e =+=⎧⎪⎨-=-=⎪⎩
得：a=1，b=0 ( 2）()x g x e c =+，切点坐标A （0，d ）
k ='(0)1g =，d=1+c
切线方程y x d =+ 过点（1,4）
3,2d c ==
19．解：(1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，
sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12
. 又C ∈(0，π)，∴C ＝π3
. (2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，
解得a ＝1，b ＝3.
故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334
.
20. (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2
－2ax －3.
由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32
(1－1)＝0.∴a ≤0. (2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，
∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.
令f ′(x )＝0，得x 1＝－13
，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： Z ∴增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3，[3，＋∞)；减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3，3． ()[2,3]f x ∴在上递减，在[3,4]上递增，所以最小值为(3)18f =-，
又(2)14,(4)12f f =-=-，所以最大值为12-。

综上，函数()f x 增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13，[3，＋∞)；减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，3． 函数()f x 在[2,4]上的最大值为-12，最小值为-18.
21.（1）2121()2([1,2])x ax f x x a x x x
+-'=+-=∈ 因为函数()f x 在[1,2]上递减，所以()0f x '≤在[1,2]上恒成立，
令 12)(2-+=ax x x h ，则()0h x ≤在[1,2]上恒成立，又函数()h x 的图象是开口向上的抛物线
则有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,271⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a a
所以 ，27-≤a （2）假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，
11()ax g x a x x
-'=-= ①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e a 4=
（舍去），
②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a
上单调递增 ∴3ln 1)1()(min =+==a a
g x g ，2e a =，满足条件. ③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e a 4=（舍去）， 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时)(x g 有最小值3.
（3）令x x e x F ln )(2-=，由（2）知，3)(min =x F .令25ln )(+=
x x x ϕ，2'ln 1)(x x x -=ϕ， 当e x ≤<0时，0)('≥x ϕ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴32
521251)()(max =+<+==e e x ϕϕ ,25ln ln 2+>-∴x x x x e 即x x e 2
522-x x ln )1(+>.。