湖南省长沙市一中高一数学下学期期末考试

长沙市第一中学2008～2009学年度第二学期
命题人：李读华校对人：龚日辉总分：100分
一、选择题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）.
1. 已知等差数列
8,5,2,,则它的第20项的值为（）A．49
-B．47
-C．48 D．49
2. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A．至多有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
3．已知某单位共有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为（）
A．30 B．36 C．40 D．63
4．已知
,,
a b c表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题中正确的是
（）A．若//
aα，//
bα，则//
a b
B．若
//
αβ
，
,
a b
αβ
⊂⊂，则//
a b
C．若
,
a c
b c
⊥⊥，则//
a b
D．若
//,//
a c
b c，则//
a b
5．某几何体的一条棱长为5，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a b
+的最大值为
（）21世纪教育网
A．B．C．D
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 把答案填在答卷中相应的横线上）6．现有红桃2，3，4和黑桃5，6共五张扑克牌，洗牌后将牌点向下置于桌上，若从中任取一张，那么抽到的牌为红桃的概率是.
7．7+7-.
8．已直线l的倾斜角为135
α=︒，且在y轴正半轴上截距为1，则直线l的方程是.
（直线方程写成一般式）
9．如图是某几何体的三视图，则原几何体的体积（长方形的长 为3，宽为2）是 . 10．已知如下程序： j=1
WHILE j*j <100 21世纪教育网 j=j+1 WEND j=j-1
PRINT
“j=”；j
END
其运行结果是 .
11．已知圆锥的表面积是2
3m π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是
r = .
12．已知(1,2),(,2)A B m -，若线段AB 的垂直平分线方程为220x y +-=，则实数m 的值是 .
13．设有关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=，若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从
区间[0,2]任取一个数，则此方程有实根的概率 .
14．设有一个边长为2的正方形，将正方形各边中点相连接得到第二个正方形，再将第二个正方形各边中点连接得到第三个正方形，…，依此类推，这样一共得到了10个正方形.则这10个正方形面积和 .
15.
555555
的计算可采用如图5所示的算法，则图中①处应
填的条件是 .
三、解答题（本大题共6小题，前5个小题每题9分，21题10分，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16.将一枚骰子先后抛掷两次，则 （1）共有多少种不同的结果，其中向上的点数之和为7的结果有多少种？21世纪教育网 （2）向上的点数之和为7的概率为多少？
17．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比活动，规定作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如右图所示）.已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第3组的频数为12，试解答下列问题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？
（2）经过评比，第4组和第6组分别有10件，2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？
18．在长方体1111
ABCD A B C D -中，2AB BC ==，
14
AA =，M 、N 分别为
1
AA 和
1
DD 的中点，
（1）求证：四边形11B C NM
是平行四边形；
（2）求异面直线1B N
与直线
1D M
所成的角.
19．已知直线l 经过点(2,1)P -，且满足点(1,2)A --到l 的距离为1，21世纪教育网 （1）求l 的方程；（2）求l 关于A 点对称的直线方程.
20．在正方体
1111
ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱BC 、11
C D 的中点.
（1）求证：//EF 平面
11BB D D
；
（2）若正方体的边长为2，求三棱锥11
B EFD -体积V .
21．已知：数列{}
n a 的前n 项和为n S ，且满足22
1n n S S --23n n a =，12a =，0n a ≠，
2,3,4,n =.
（1）设1
n n n b a a +=+，求数列
{}
n b 的通项公式；
（2）设11
(1)n n n n c a a ++=-，数列
{}
n c 的前n 项和为
n
T ，求数列
{}
n c 的前21k +项的和
21
k T +.
附加题：（本题满分为5分，计入总分，但总分不超过100分） 数列
{}
n a 是以
14
a =为首项的等比数列，且
3
S 、
2
S 、
4
S 成等差数列. 设21世纪教育网
2log ||n n b a =，n T 为数列11{
}
n n b b +的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切n ∈N*恒成立，求实数λ
的最小值.
长沙市第一中学2008～2009学年度第二学期 期终考试·答案 命题人：李读华 校对人：龚日辉 总分：100分
2009年6月
年级
高一
科目
数学
时 量 120分钟
一、选择题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）. 1. 已知等差数列8,5,2,,则它的第20项的值为（ A ）
A ．49-
B ．47-
C ．48
D ．49
2. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ D ） A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都不中靶
3．已知某单位共有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为（ B ） A ．30 B ．36 C ．40 D ．63 4．已知,,a b c 表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题中正确的是（ D ） A ．若//a α，//b α，则//a b B ．若//αβ，,a b αβ⊂⊂，则//a b C ．若,a c b c ⊥⊥，则//a b D ．若//,//a c b c ，则//a b
5．某几何体的一条棱长为5，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为26的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（ ）.
A ．23
B ．43
C ．213
D ．26
解析：该几何体为长方体的一部分， 如图：5AB =，26AE =，
令BD a =，AC b =，AD z =，CD x =，DE y =，
则有：222
22222
2
22
2222
26(26)5x z b x y a a b z y x y z ⎧+=⎪+=⎪⇒+=⎨+=⎪⎪++=⎩，21世纪教育网
又
22
2()213a b a b +≤+=. 答案：C
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 把答案填在答卷中相应的横线上） 6．现有红桃2，3，4和黑桃5，6共五张扑克牌，洗牌后将牌点向下置于桌上，若从中任取一张，那么抽到的牌为红桃的概率是 .
答案：35
7．735+与735-的等比中项是 .
答案：2±
8．已直线l 的倾斜角为135α=︒，且在y 轴正半轴上截距为1，则直线l 的方程是 .（直线方程写成一般式）
解析：tan1351k =︒=-，由斜截式方程可得直线方程为10x y +-=.
9．如图是某几何体的三视图，则原几何体的体积（长方形的长 为3，宽为2）是 . 解析：由图可知，原几何体为圆柱上方有一个同底的半球，故体积
为
231421131132333V πππππ
=⨯⨯+⨯⨯=+=. 10．已知如下程序：
j=1
WHILE j*j <100 21世纪教育网 j=j+1 WEND j=j-1
PRINT
“j=”；j
END
其运行结果是 .
答案：9
11．已知圆锥的表面积是2
3m π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是
r = .
答案：1.
12．已知(1,2),(,2)A B m -，若线段AB 的垂直平分线方程为220x y +-=，则实数m 的值是 . 答案：3
13．设有关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=，若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从
区间[0,2]任取一个数，则此方程有实根的概率 .
解：
方程2
2
20x ax b ++=有实数根 2
2
2
2
440a b a b ∴∆=-≥⇒≥
又
0,0a b ≥≥ a b ∴≥
故,a b 满足的条件为
0302a b a b ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≥⎩
如图
它是几何概型，设方程有实根为事件A ，
则
622
()63P A -=
=. 21世纪教育网
答案：2
3.
14．设有一个边长为2的正方形，将正方形各边中点相连接得到第二个正方形，再将第二个正方形各边中点连接得到第三个正方形，…，依此类推，这样一共得到了10个正方形.则这10个正方形面积和 . 解析：如图：第一个正方形边长为2，面积为14
S =；
第二个正方形边长为2，面积为22
S =；
第三个正方形边长为1，面积为
31
S =；
第四个正方形边长为12，面积为
41
2S =
.
故面积构成一个以1
2为公比的等比数列，所以10个正方形面
积和为
10101
4[1()]
21
12T -=
-
1018(1)2=-=7182-=782--. 15.555555
的计算可采用如图5所示的算法，则图中
①处应填的条件是 .
解：因为
1111118163264
24555555555555
=⋅⋅⋅⋅⋅，
故计算的表达式可看成是数列
11111
18
16
32
64
2
4
5,5,5,5,5,5
的前6项积，即015,(1)
n n a a a n -==≥，再构造数列
{}(0)n T n ≥：
011(1)
n n n T T T a n -=⋅=⋅≥，从而①中应
填的表达式为T T a =⋅. 答案：T T a =⋅
三、解答题（本大题共6小题，前5个小题每题9分，21题10分，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21世纪教育网 16.将一枚骰子先后抛掷两次，则 （1）共有多少种不同的结果，其中向上的点数之和为7的结果有多少种？ （2）向上的点数之和为7的概率为多少？
解：（1）抛掷一次骰子，向上点数有6种结果，抛掷第二次骰子，向上点数有6种结果，故共有可能结果为6636⨯=种.
（3分）
在上述的所有结果中，点数之和为7的结果有（1，6），（2，5），（3，4），（5，2），（4，3），（6，1）6种. （6分）
（2）记事件A ={向上点数之和为7}，由古典概型有
61
()366P A =
=
.（9分）
17．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比活动，规定作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如右图所示）.已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第3组的频数为12，试解答下列问题： （1）本次活动共有多少件作品参加评比？
（2）经过评比，第4组和第6组分别有10件，2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？
解：（1）依题意得第3小组的频率为：41
2346415=
+++++， （2分）
又第3小组的频数为12，故本次活动的参赛作品数为1
1260
5÷=（件）.
（4分）
（2）根据频率分布直方图可看出，第4组上交的作品数最多，共有：
6
6018
234641⨯
=+++++（件）.
第4组获奖率是
105
189=. （6分）
第6组上交作品数量为：
1
603
234641⨯
=+++++（件）.
第6组的获奖率为2539>
，显然第6组的获奖率较高.
（9分） 18．在长方体1111
ABCD A B C D -中，2AB BC ==，
14
AA =，M 、N
分别为
1
AA 和
1
DD 的中点，
（1）求证：四边形11B C NM
是平行四边形；
（2）求异面直线1B N
与直线
1D M
所成的角.
解：（1）证明：连结MN ，
,M N 为各边中点, 11
//MN A D ∴且
11
MN A D =.
又
1111
//B C A D 且
1111B C A D =,
11
//MN B C ∴且
11
MN B C =,
∴四边形11MNC B 是平行四边形.
(4分)
（2）连AN ，1
AB ，则1//AN D M
，则1
ANB ∠是异面直线1B N 与
1D M
的所成之角.
（6分）
在Rt AND ∆中，22AN =， 在11Rt B D N ∆中，
123B N =，21世纪教育网
在
1
Rt ABB ∆中
125AB =，
在1AB M ∆中余弦定理有222
1(22)(23)(25)cos 0
22225AMB +-∠==⨯⨯. （9分）
19．已知直线l 经过点(2,1)P -，且满足点(1,2)A --到l 的距离为1， （1）求l 的方程；（2）求l 关于A 点对称的直线方程.
解：（1）若l 的斜率不存在，则l 的方程为2x =-，此时点A 到l 的距离为1，符合题意.
（1分）
若l 的斜率存在，设l 的方程为(2)1y k x =++，即210kx y k -++=，则点A 到直线l 的距
离
22|221|
4
1|3|131
k k d k k k k -+++=
=⇒+=+⇒=-
+.
故l 的方程为
4
(2)1
3y x =-++，即为4350x y ++=.
综上所述：直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=. （5分） （2）2x =-关于点(1,2)A --对称的直线为0x =.
（6分）
令4350x y ++=关于(1,2)A --的对称直线：430x y c ++=，
则|5|
251055c c c -=⇒=±⇒=-或15c =，画图可知15C =.
此时所求的直线方程为：43150x y ++=.
（9分）
20．在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱BC 、
11
C D 的
中点.
（1）求证：//EF 平面
11BB D D
；
（2）若正方体的边长为2，求三棱锥
11
B EFD -体积V .
解：（1）证法1：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则
1
//,2OE DC OE DC =
．
11
//DC D C ，
11
DC D C =，F 为
11
D C 的中点，
1//OE D F
∴，
1OE D F =，四边形
1D FEO
为平行四边形．1//EF D O
∴．21世纪教育网
又
EF ⊄平面11BB D D ，1D O ⊂平面11BB D D ，//EF ∴平面11BB D D ．（5分）
证法2：令G 为
11
B C 中点，连EG 与FG ，则
1
//EG BB ，
11
//FG B D 且EG GF G =
∴面//EGF 面11BB D D 又EF ⊂面EGF //EF ∴面11BB D D
（2）正方体边长为2，∴11221
B D F S ∆=⨯⨯=1
4， 1111112
12333B EFD E B FD V V Sh --∴===⨯⨯=
.
（9分）
21．已知：数列
{}
n a 的前n 项和为n S ，且满足22
1n n S S --23n n a =，12a =，0n a ≠，
2,3,4,
n =.
（1）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （2）设
11(1)n n n n c a a ++=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求数列{}n c 的前21k +项的和21
k T +. 解：（1）当2n ≥时，10
n n n a S S -=-≠代入已知条件得： 2111()()3()n n n n n n S S S S n S S ---+-=-，
213n n S S n -∴+=. ① 由①得
2112112,12S S a a a +=∴++=，121122,8,10a a b a a =∴=∴=+=， 由321231227,27
S S a a a a a +=∴++++=， 32237,15
a b a a ∴=∴=+=. 由①得2
13(1)n n S S n ++=+. ②
由②-①得163(2)n n a a n n ++=+≥，63(2)n b n n ∴=+≥，
101,63
2.n n b n n =⎧∴=⎨+≥⎩ 21世纪教育网
（6分） （2）由（1）知，163(2)n n a a n n ++=+≥，2169n n a a n ++∴+=+，26n n a a +∴-=， ∴数列2{}n a 是首项为28a =，公差为6的等差数列，
数列21{}n a +是首项为37a =，公差为6的等差数列. （8分）
21122112233445562212122
k k k k k k T c c c a a a a a a a a a a a a a a +++++∴=+++=-+-+--+ 12423645222213521
()()()166661166[7(1)6]2k k k k a a a a a a a a a a a a a a k k k +++=+-+-+
+-=++++=++-⨯
22166(34)182416.k k k k =++=++
（10分） 附加题：（本题满分为5分，计入总分，但总分不超过100分）
数列{}n a 是以14a =为首项的等比数列，且3S 、2S 、4S 成等差数列. 设2log ||n n b a =，
n T 为数列11{
}n n b b +的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切n ∈N*恒成立，求实数λ的最小值.
解：当1q =时，312S =，28S =，416S =，不成等差数列.
当1q ≠时，2341112(1)(1)(1)111a q a q a q q q q ---=+---，得2342q q q =+，所以220q q +-=，
解得2q =-.
所以11
4(2)(2)n n n a -+=⨯-=-. （2分）
122log ||log |(2)|1n n n b a n +==-=+，21世纪教育网
1111(1)(2)12n n b b n n n n +1==-++++. 所以11111111()()()233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++.
因为1n n T b λ+≤，所以(2)2(2)n n n λ≤++，所以
22(2)n n λ≥+. 又211142(2)2(44)16
2(4)n n n n =≤=++++.
当且仅当2n =时取等号，所以λ的最小值为1
16.
（5分） 21世纪教育网。