2016年高考数学总复习第七章第2讲两直线的位置关系课件理
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第 2 讲 两直线的位置关系
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线互相平行或垂 直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两 条平行直线之间的距离．
1．两条直线的位置关系
直线 方程
一般式 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
图7-2-1
【规律方法】在直线上求一点，使它到两定点的距离之和 最小的问题：
①当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点 即为所求；
②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称， 将问题转化为情形①来解决.
【互动探究】
3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( A )
A．3x＋4y＋5＝0
当直线l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)， ∴直线l的方程为x＝－1. 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 【失误与防范】方法一是常规解法，本题可以利用代数方 法求解，即设点斜式方程，然后利用点到直线的距离公式建立 等式求斜率k，但要注意斜率不存在的情况，很容易漏解且计 算量较大；方法二利用数形结合的思想使运算量大为减少，即 A，B两点到直线l的距离相等，有两种情况：①直线l与AB 平行；②直线l过AB的中点.
考点2 直线系中的过定点问题 例2：求证：不论m取什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5都通过一定点．
【规律方法】本题考查了方程思想在解题中的应用，构建 方程组求解是解决本题的关键.很多学生不理解直线过定点的 含义，找不到解决问题的切入点，从而无法下手.
【互动探究】 B
考点3 对称问题 例3：已知在直线l：3x－y－1＝0上存在一点P，使得P 到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小．求此时的距离之和． 解：设点B关于直线3x－y－1＝0的对称点为B′(a，b)， 如图7．－6
C．－32
2 D.
3
2．已知两条直线 y＝ax－2 和 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则
a＝( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
3．圆 C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0 的圆心到直线 3x＋4y＋4 ＝0 的距离 d＝___3_____.
4．若点 A(3，m)与点 B(0,4)的距离为 5，则 m＝_0__或__8__.
相交
斜截式 l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2
k1≠k2
(续表）
一般式
平行 ____________________
重合 垂直
A1A2＋B1B2＝0
斜截式 k1＝k2，且 b1≠b2
k1＝k2，且 b1＝b2 k1·k2＝___－__1___
1．如果直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，那
B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0
D．－3x＋4y＋5＝0
解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x
－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
●易错、易混、易漏●● ⊙忽略直线方程斜率不存在的特殊情形致误 例题：过点P(－1,2)引一条直线l，使它到点A(2,3)与到点 B(－4,5)的距离相等，求该直线l的方程． 错因分析：设直线方程，只要涉及直线的斜率，易忽略斜 率不存在的情形，要注意分类讨论． 正解：方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1 显然与点A(2,3)，B(－4,5)的距离相等； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k， 则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥ l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
【互动探究】
1．已知直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)，且 与y轴交于点P，则点P的坐标为( D )
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(0，－3)D．(0,3)
解析：由题意知，直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，令x＝0， 得y＝3，即点P的坐
考点 1 两直线的平行与垂直关系
例 1：(1)已知两直线 l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my ＋2m＝0.若 l1∥l2，求实数 m 的值．
(2)已知两直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和 l2：x＋(a－1)y＋(a2－1) ＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【规律方法】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决 本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l2，l1 ∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在， 那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线互相平行或垂 直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两 条平行直线之间的距离．
1．两条直线的位置关系
直线 方程
一般式 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
图7-2-1
【规律方法】在直线上求一点，使它到两定点的距离之和 最小的问题：
①当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点 即为所求；
②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称， 将问题转化为情形①来解决.
【互动探究】
3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( A )
A．3x＋4y＋5＝0
当直线l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)， ∴直线l的方程为x＝－1. 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 【失误与防范】方法一是常规解法，本题可以利用代数方 法求解，即设点斜式方程，然后利用点到直线的距离公式建立 等式求斜率k，但要注意斜率不存在的情况，很容易漏解且计 算量较大；方法二利用数形结合的思想使运算量大为减少，即 A，B两点到直线l的距离相等，有两种情况：①直线l与AB 平行；②直线l过AB的中点.
考点2 直线系中的过定点问题 例2：求证：不论m取什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5都通过一定点．
【规律方法】本题考查了方程思想在解题中的应用，构建 方程组求解是解决本题的关键.很多学生不理解直线过定点的 含义，找不到解决问题的切入点，从而无法下手.
【互动探究】 B
考点3 对称问题 例3：已知在直线l：3x－y－1＝0上存在一点P，使得P 到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小．求此时的距离之和． 解：设点B关于直线3x－y－1＝0的对称点为B′(a，b)， 如图7．－6
C．－32
2 D.
3
2．已知两条直线 y＝ax－2 和 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则
a＝( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
3．圆 C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0 的圆心到直线 3x＋4y＋4 ＝0 的距离 d＝___3_____.
4．若点 A(3，m)与点 B(0,4)的距离为 5，则 m＝_0__或__8__.
相交
斜截式 l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2
k1≠k2
(续表）
一般式
平行 ____________________
重合 垂直
A1A2＋B1B2＝0
斜截式 k1＝k2，且 b1≠b2
k1＝k2，且 b1＝b2 k1·k2＝___－__1___
1．如果直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，那
B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0
D．－3x＋4y＋5＝0
解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x
－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
●易错、易混、易漏●● ⊙忽略直线方程斜率不存在的特殊情形致误 例题：过点P(－1,2)引一条直线l，使它到点A(2,3)与到点 B(－4,5)的距离相等，求该直线l的方程． 错因分析：设直线方程，只要涉及直线的斜率，易忽略斜 率不存在的情形，要注意分类讨论． 正解：方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1 显然与点A(2,3)，B(－4,5)的距离相等； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k， 则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥ l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
【互动探究】
1．已知直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)，且 与y轴交于点P，则点P的坐标为( D )
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(0，－3)D．(0,3)
解析：由题意知，直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，令x＝0， 得y＝3，即点P的坐
考点 1 两直线的平行与垂直关系
例 1：(1)已知两直线 l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my ＋2m＝0.若 l1∥l2，求实数 m 的值．
(2)已知两直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和 l2：x＋(a－1)y＋(a2－1) ＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【规律方法】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决 本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l2，l1 ∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在， 那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.