2022届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第4讲双曲线课件新人教版
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根据近几年的高考命题情况来看,双曲线的定义、标准方程、 几何性质一直是高考命题的热点,命题主要体现两个特色:①以定 义作为命题思路求解双曲线的标准方程、离心率、渐近线等;② 命题分 以特殊的几何图形、向量关系为命题背景,求解双曲线的标准方 析预测 程、研究直线与双曲线的位置关系等,多以选择题、填空题的形
(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形
的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标 函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的 范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的
两条与渐近线平行的直线.
(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近
线平行的直线.
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
方法技巧
双曲线定义的应用策略
1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要
求求出轨迹方程.
2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|-|PF2||=2a(其中 0<2a<|F2F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题. 3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问
的影响.
考法3 双曲线的几何性
质3.解决与双曲线的几何性质有关的问题的通法与流程
求解与双曲线的几何性质有关的问题,其通用的方法是利用方程思想解
题,其思维流程是:
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
考点2 双曲线的几何性 质
焦距
几 离心率 何 性 渐近线
质 a,b,c
的关系
|F1F2|=2c a2=c2-b2
考点2 双曲线的几何性 质2.特殊双曲线
等轴双曲线
共轭双曲线
中心在原点,以坐标轴为对称轴, 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是
定
实半轴长与虚半轴长相等的双曲 另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这
考点1 双曲线的定义和标准方程
考点1 双曲线的定义和标准方程
名师提醒
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,
则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,
焦点随着正的跑”.
考点2 双曲线的几何性 质1.双曲线的几何性质
标准方程
式出现,难度中等.
在2022年高考的复习备考中,要关注双曲线的定义、渐近线
方程、几何图形的性质在解题中的应用.此讲易设置多选题,所以 在复习备考中,要注意练习多选题,做到复习全面高效.
考点帮·必备知识通关
考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.定义 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零) 的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作 焦距. 规律总结 设点M到F1,F2两点的距离之差的绝对值为2a. (1)若点M的轨迹是双曲线,则0<2a<|F1F2|,这一条件不能忽略. ①若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; ②若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在; ③若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
考法3 双曲线的几何性
质
图 9-4-2
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
思维导引
考法3 双曲线的几何性
质
图 9-4-3
考法3 双曲线的几何性
质方法技巧
1.求解与双曲线性质有关的范围(或最值)问题的方法
单调性及三角函数的有界性等求解. (3)不等式法:借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.
考法3 双曲线的几何性
质
2.解决与双曲线性质有关的范围(或最值)问题时的注意点
(1)双曲线上本身就存在最值问题,如异支双曲线上两点间的最短距离为
2a(实轴长);
(2)由直线和双曲线的位置关系,求直线或双曲线中某个参数的范围,常把 所求参数作为函数中的因变量来求解; (3)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围
第九章 平面解析几何
第四讲 双曲线
考点帮·必备知识通关 考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质
考法帮·解题能力提升 考法1 双曲线的定义及其应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的位置关系
考情解读
考点内容
1.双曲线的定 义和标准方程
2.双曲线的几 何性质
④解:求解得到方程.
考法2 求双曲线的标准
方程
常 见 设 法
考法2 求双曲线的标准
方程
常 见 设 法
考法2 求双曲线的标准
方程
注意 (1)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考
虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以
设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).
(2)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形
式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程(组)并求出a,b,c的值.
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质思维导引
课标 要求
考题取样
情境 载体
了解
2020全国Ⅲ,T11 2020天津,T7
探索创新 课程学习
2020全国Ⅰ,T15 课程学习 了解
2019全国Ⅰ，T16 探索创新
对应 考法 考法1,3
考法2
预测 热度
核心 素养
直观想象
★★★ 逻辑推理
数学运算
考法3 考法3，4
★★★
直观想象 逻辑推理 数学运算
考情解读
的关系有:
(1)c2=a2+b2;
(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
考法2 求双曲线的标准
方程
2.待定系数法
①判断:根据已知条件,确定双曲线的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还
是两个坐标轴都有可能.
一般
②设:根据①中的判断结果,设出所需的未知数或者标准方程.
步骤
③列:根据题意,列出关于a,b,c的方程或者方程组.
图形
考点2 双曲线的几何性 质
范围
|x|≥a,y∈R
|y|≥a,x∈R
几 对称性
对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点.
何 焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
性 顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
质 轴 线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴 长为2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长.
义
线叫作等轴双曲线.
两条双曲线互为共轭双曲线.
①它们有共同的渐近线;②它们的四 性
个焦点共圆;③它们的离心率的倒数 质
的平方和等于1.
考法帮·解题能力提升
考法1 双曲线的定义及应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的位置关系
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
关系方法技巧
1.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略
(1)解题双曲线的位置
关系
谢谢观看！
考法4 直线与双曲线的位置
关系
规律总结 (1)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有
且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线.
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点的位置求出双曲线方程,常用
题.
考法1 双曲线的定义及应用
注意 利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:①距离之差的绝对值,若
将定义中的绝对值去掉,则点的轨迹是双曲线的一支;②0<2a<|F1F2|;③ 焦点所在坐标轴的位置.
思维拓展
双曲线中的特殊量
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则 |PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形
的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标 函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的 范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的
两条与渐近线平行的直线.
(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近
线平行的直线.
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
方法技巧
双曲线定义的应用策略
1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要
求求出轨迹方程.
2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|-|PF2||=2a(其中 0<2a<|F2F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题. 3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问
的影响.
考法3 双曲线的几何性
质3.解决与双曲线的几何性质有关的问题的通法与流程
求解与双曲线的几何性质有关的问题,其通用的方法是利用方程思想解
题,其思维流程是:
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
考点2 双曲线的几何性 质
焦距
几 离心率 何 性 渐近线
质 a,b,c
的关系
|F1F2|=2c a2=c2-b2
考点2 双曲线的几何性 质2.特殊双曲线
等轴双曲线
共轭双曲线
中心在原点,以坐标轴为对称轴, 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是
定
实半轴长与虚半轴长相等的双曲 另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这
考点1 双曲线的定义和标准方程
考点1 双曲线的定义和标准方程
名师提醒
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,
则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,
焦点随着正的跑”.
考点2 双曲线的几何性 质1.双曲线的几何性质
标准方程
式出现,难度中等.
在2022年高考的复习备考中,要关注双曲线的定义、渐近线
方程、几何图形的性质在解题中的应用.此讲易设置多选题,所以 在复习备考中,要注意练习多选题,做到复习全面高效.
考点帮·必备知识通关
考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.定义 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零) 的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作 焦距. 规律总结 设点M到F1,F2两点的距离之差的绝对值为2a. (1)若点M的轨迹是双曲线,则0<2a<|F1F2|,这一条件不能忽略. ①若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; ②若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在; ③若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
考法3 双曲线的几何性
质
图 9-4-2
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
思维导引
考法3 双曲线的几何性
质
图 9-4-3
考法3 双曲线的几何性
质方法技巧
1.求解与双曲线性质有关的范围(或最值)问题的方法
单调性及三角函数的有界性等求解. (3)不等式法:借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.
考法3 双曲线的几何性
质
2.解决与双曲线性质有关的范围(或最值)问题时的注意点
(1)双曲线上本身就存在最值问题,如异支双曲线上两点间的最短距离为
2a(实轴长);
(2)由直线和双曲线的位置关系,求直线或双曲线中某个参数的范围,常把 所求参数作为函数中的因变量来求解; (3)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围
第九章 平面解析几何
第四讲 双曲线
考点帮·必备知识通关 考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质
考法帮·解题能力提升 考法1 双曲线的定义及其应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的位置关系
考情解读
考点内容
1.双曲线的定 义和标准方程
2.双曲线的几 何性质
④解:求解得到方程.
考法2 求双曲线的标准
方程
常 见 设 法
考法2 求双曲线的标准
方程
常 见 设 法
考法2 求双曲线的标准
方程
注意 (1)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考
虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以
设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).
(2)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形
式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程(组)并求出a,b,c的值.
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质
考法3 双曲线的几何性
质思维导引
课标 要求
考题取样
情境 载体
了解
2020全国Ⅲ,T11 2020天津,T7
探索创新 课程学习
2020全国Ⅰ,T15 课程学习 了解
2019全国Ⅰ，T16 探索创新
对应 考法 考法1,3
考法2
预测 热度
核心 素养
直观想象
★★★ 逻辑推理
数学运算
考法3 考法3，4
★★★
直观想象 逻辑推理 数学运算
考情解读
的关系有:
(1)c2=a2+b2;
(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
考法2 求双曲线的标准
方程
2.待定系数法
①判断:根据已知条件,确定双曲线的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还
是两个坐标轴都有可能.
一般
②设:根据①中的判断结果,设出所需的未知数或者标准方程.
步骤
③列:根据题意,列出关于a,b,c的方程或者方程组.
图形
考点2 双曲线的几何性 质
范围
|x|≥a,y∈R
|y|≥a,x∈R
几 对称性
对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点.
何 焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
性 顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
质 轴 线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴 长为2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长.
义
线叫作等轴双曲线.
两条双曲线互为共轭双曲线.
①它们有共同的渐近线;②它们的四 性
个焦点共圆;③它们的离心率的倒数 质
的平方和等于1.
考法帮·解题能力提升
考法1 双曲线的定义及应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的位置关系
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
关系方法技巧
1.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略
(1)解题双曲线的位置
关系
谢谢观看！
考法4 直线与双曲线的位置
关系
规律总结 (1)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有
且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线.
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
考法2 求双曲线的标准
方程
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点的位置求出双曲线方程,常用
题.
考法1 双曲线的定义及应用
注意 利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:①距离之差的绝对值,若
将定义中的绝对值去掉,则点的轨迹是双曲线的一支;②0<2a<|F1F2|;③ 焦点所在坐标轴的位置.
思维拓展
双曲线中的特殊量
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则 |PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.