数字通信技术第10章

d0
为了能纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距
d0 e t 1
A
(e t )
B
t
e
t
汉明距离
1
码距等于(e+t+1)的两个码组
纠检结合工作方式： 当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以节 省重发时间，提高传输效率； 当错码数量多时，系统按反馈重发的纠错方式工作， 以降低系统的总误码率。
冗余度：监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。
理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提 高传输可靠性。
3
编码序列的参数
n k r
－ 编码序列中总码元数量 － 编码序列中信息码元数量
－ 编码序列中差错控制码元数量 （差错控制码元，以后称为监督码元或监督位 ）
k/n
an1 an2 a0 0
式中，a0为监督位，其他位为信息位。

奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数：
an1 an2 a0 1
20

检错能力 － 能够检测奇数个错码。 设：码组长度为n， 码组中各个错码的发生是独立的和等概率的， 则在一个码组中出现 j 个错码的概率为
12
码距的几何意义：以n = 3的编码为例
a1
(0,1,1)
(0,1,0)
(1,1,0)
(1,1,1)
(0,0,0) (1,0,0)
a2
a0
(0,0,1)
(1,0,1)
每个码组的3个码元值(a1,
a2, a3)就是此立方体各顶点的坐 标。码距是对应于图中各顶点之间沿立方体各边行走的几 何距离。 例：“000”＝晴，“011”＝云，“101”＝阴，“110”＝ 雨， 4个码组之间，任意两个的距离均为2 一般而言，码距是 n 维空间中单位正多面体顶点之间的汉 13
的确认(ACK)答复，然后再发送下一组数据。 图中的第3组接收数据有误，接收端发回一个否认(NAK) 答复。这时，发送端将重发第3组数据。 特点：工作在半双工状态，时间没有得到充分利用，传 输效率较低。
5
拉后ARQ系统
重发码组 重发码组
发送数据
1
2
3
4
5
6 10 11 12
分组码概念 将信息码分组，为每组信息码附加若干监督码的编码 称为分组码。即 分组码 ＝ 信息位 ＋ 监督位 在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。 分组码符号：(n, k) 其中，n － 码组总长度， k － 信息码元数目。 r = n – k － 监督码元数目。 下表中的码组为(3, 2)码。
10-2
10-3
Pe
10-4
A

2PSK
E
B 10-5
编码后 C
D
10-6
Eb/n0 (dB)
编码和误码率关系
18
10.3.4 编码增益
定义：在保持误码率恒定条件下，采用纠错编码所节省的信 噪比Eb/n0称为编码增益：
GdB Eb / n0 u Eb / n0 c (dB)
(n r
－ 码率（编码效率）
- k) / k = r / k － 冗余度
/ n － 多余度
4
自动要求重发(ARQ)系统 停止等待ARQ系统
发送数据
1
接收数据
2
ACK
3
ACK
3
NAK
4
ACK
5
ACK
5
NAK
6
ACK
t
1
2
有错码组
3
3
4
有错码组
5
5 t
停止等待ARQ系统
数据按分组发送。每发送一组数据后发送端等待接收端
D
10-6
Eb/n0 (dB)
编码和误码率关系
17
10.3.3 传输速率和带宽的关系 对于给定的传输系统，其传输速率和Eb/n0的关系：
Eb PT Ps Ps s n0 n0 n0 ( 1 / T ) n0 RB
10-1
式中，RB － 码元速率。
提高传输速率，采用编 码以保持误码率不变；付出 的代价仍是带宽增大。 提高码元速率后由C点升到 E点（信噪比下降，误码率 增大），用纠错编码后，将 误码率降到D点。这时付出 的代价仍是带宽增大
码距和检纠错能力的关系
一种编码的纠检错能力：决定于最小码距d0的值。 为了能检测e个错码，要求 最小码距为
d0 e 1
0 A
e
1
2
3 B
汉明距离
d0
为了能纠正 t 个错 码，要求最小码距
d 0 2t 1
0 A
码距等于3的两个码组
t
1
2
3
4
B
5
t
汉明距离
码距等于5的两个码组
14
信息位
监督位
晴 云 阴
000 010 100
0 1 1
雨
110
0
计算得出
Pu
4 2j 42 j 4 2 2 4 4 0 C p ( 1 p ) C p ( 1 p ) C p ( 1 p ) 2j 2 4 j 1 2
6 p 2 ( 1 p )2 p 4 6 p 2 12 p 3 6 p 4 p 4 6 p 2 6 10 8
监督码元较少，即码率较高 检错的计算复杂度较低 能适应不同特性的信道
缺点
需要双向信道 不适用于一点到多点的通信系统或广播系统 传输效率降低，可能因反复重发而造成事实上的通
信中断
在要求实时通信的场合，例如电话通信，往往不允
许使用ARQ法
8
ARQ系统的原理方框图
在发送端，输入的信息码元在编码器中被分组编码（加入 监督码元）后，除了立即发送外，还暂存于缓冲存储器中。 若接收端解码器检出错码，则由解码器控制产生一个重发 指令。此指令经过反向信道送到发送端。由发送端重发控 制器控制缓冲存储器重发一次。 接收端仅当解码器认为接收信息码元正确时，才将信息码 元送给收信者，否则在输出缓冲存储器中删除接收码元。 当解码器未发现错码时，经过反向信道发出不需重发指令。 发送端收到此指令后，即继续发送后一码组，发送端的缓 冲存储器中的内容也随之更新。
15
10.3 纠错编码系统的性能
10.3.1 误码率性能和带宽的关系
10-1
10-2
采用编码降低误码率 所付出的代价是带宽的增大。 Pe
A与B点：相同的接收信噪比下 误码率降低约一个半数量级。
10-3
A

2PSK
E
10-4
10-5
编码后 B C
D
10-6
Eb/n0 (dB)
编码和误码率关系
－ 当n为偶数时
－ 当n为奇数时
21
Pu
( n 1) / 2 j 1
n 2j n2 j C p ( 1 p ) 2j
例：右表中的编码是偶数监督码。 设信道的误码率为10-4，错码 的出现是独立的。试计算其不 能检测的误码率。 将给定条件代入式
n 2j n2 j Pu C2 p ( 1 p ) j j 1 n/2
16
10.3.2 功率和带宽的关系
10-1
10-2
采用编码以节省功率，并保持 Pe 误码率不变，付出的代价也是 10-4 带宽增大。
10-5
10-3
A

2PSK
E
编码后 B C
C与D点：相同的误码率下， 编码后输入信噪比可降低约 2dB，即可以节省功率2dB。 通常称这2 dB为编码增益。
第十章 信道编码和差错控制
10.1概述
信道编码： 目的：提高信号传输的可靠性。 方法：增加多余比特，以发现或纠正错误。 差错控制：包括信道编码在内的一切纠正错误手段。 产生错码的原因： 乘性干扰引起的码间串扰 加性干扰引起的信噪比降低 信道分类：按照加性干扰造成错码的统计特性不同划分 随机信道：错码随机出现，例如由白噪声引起的错码 突发信道：错码相对集中出现，例如由脉冲干扰引起的错 码。 混合信道：既存在随机错码又存在突发错码
式中，(Eb/n0)u － 未编码时的信噪比(dB)； (Eb/n0)c － 编码后所需的信噪比(dB)。
19
10.4 奇偶监督码
10.4.1 一维奇偶监督码

奇偶监督码 － 分为奇数监督码和偶数监督码两类。 在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率等于k/(k+1)。

偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数：
j n j P( j ,n ) C n p ( 1 p ) j
式中，
Cn j

n! — 为在n个码元中有j个错码的组合数。 j!(n j )!
奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码，所以在一
个码组中有错码而不能检测的概率等于:
n 2j n2 j Pu C2 p ( 1 p ) j j 1 n/2
1
差错控制技术的种类：
检错重发： 能发现错码，但是不能确定错码的位置。 通信系统需要有双向信道。 前向纠错(FEC)：利用加入的差错控制码元，不但能够发 现错码，还能纠正错码。 反馈校验： 将收到的码元转发回发送端，将它和原发送码元比较。 缺点：需要双向信道，传输效率也较低。 检错删除： 在接收端发现错码后，立即将其删除。 适用在发送码元中有大量多余度，删除部分接收码元不 影响应用之处。
信息位
晴 云 阴 雨 00 01 10 11
监督位
0 1 1 0
11
分组码的一般结构： an-1 an-2 ... ar ar-1 an-2 ... a0
t
k个信息位
码长 n = k + r
r个监督位
分组码的结构 分组码的参数： 码重：码组内“1”的个数。例： “101”的码重是2 码距：两码组中对应位取值不同的位数，又称汉明距离。 例： “000”＝晴，“011”＝云，“101”＝阴，“110”＝ 雨， 4个码组之间，任意两个的距离均为2 最小码距(d0) ：各码组间的最小距离。
NAK9
ACK1
接收数据
NAK5
ACK5
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
有错码组
有错码组
拉后ARQ系统
发送端连续发送数据组，接收端对于每个接收到的数据
组都发回确认(ACK)或否认(NAK)答复。 例如，图中第5组接收数据有误，则在发送端收到第5组接 收的否认答复后，从第5组开始重发数据组。 在这种系统中需要对发送的数据组和答复进行编号，以 便识别。显然，这种系统需要双工信道。
2
差错控制编码：常称为纠错编码
监督码元：上述4种技术中除第3种外，都是在接收端 识别有无错码。所以在发送端需要在信息码元序列中 增加一些差错控制码元，它们称为监督码元。 不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力。
多余度：就是指增加的监督码元多少。例如，若编码 序列中平均每两个信息码元就添加一个监督码元，则 这种编码的多余度为1/3。 编码效率(简称码率) ：设编码序列中信息码元数量为k， 总码元数量为n，则比值k/n 就是编码效率。
由计算结果可见，此编码可以将误码率从10-4降低到10-8量 级。效果非常明显。
22
10.4.2 二维奇偶监督码 码率等于 k m(n 1)
n

(m 1)n
a1 n 1
2 an 1
a1 n 2
2 an 2
… … … …
1 a1 2 a1
a1 0
2 a0
有可能检测偶数个错码 适合检测突发错码 能够纠正部分错码。 例如： 一行中有奇数个错码
6
选择重发ARQ系统
重发码组 发送数据 重发码组
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11 9 12 13 14
ACK5 NAK9 ACK9
ACK1
接收数据
NAK5
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
有错码组
9 12 13 14
有错码组
选择重发ARQ系统
它只重发出错的数据组，因此进一步提高了传输效率
7
ARQ的主要特点：与前向纠错比较 优点
9
10.2 纠错编码的基本原理
分组码举例 设：有一种由3位二进制码元构成的编码，它共有23 = 8种 不同的可能码组，可以表示8种不同天气： 000 – 晴 011 – 云 101 – 阴 110 – 雨 100 – 雪 001 – 霜 010 – 雾 111 – 雹 其中，若一个码组中发生错码，则将变成另一个信息码组。 这时，接收端将无法发现错误。 若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气，例如： 000 – 晴 011 – 云 101 – 阴 110 – 雨 为许用码组，其他4种不允许使用，称为禁用码组。 这时，接收端有可能发现（检测到）码组中的一个错码。 例: “000”（晴）中错了一位，变成“100”或“010”或“001” 这种编码只能检测错码，不能纠正错码。 若规定只允许用两个码组：例如 000 – 晴 111 – 雨 就能检测两个以下错码，或纠正一个错码。 10