高二数学下学期第一次月考试题理含解析7

卜人入州八九几市潮王学校HY 兵团二中二零二零—
二零二壹〔第二学期〕第一次月考
高二数学试卷〔理科〕
本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

第一卷〔选择题〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕
1.椭圆22
145
x y +=的焦点坐标是〔〕
A.
()1,0±
B.()3,0±
C.()0,1±
D.()0,3±
【答案】C 【解析】 【分析】
从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据222c a b =-求c 的值.
【详解】由椭圆方程得：2
25,4a b ==，所以21c =，又椭圆的焦点在y 上，
所以焦点坐标是()0,1±.
【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x 轴型还是
y 轴型，防止坐标写错.
2.将某选手的91个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数茎叶图，后来有一个数据模糊，无法识别，在图中以x 表示： 那么7个剩余分数的方差为〔〕
A.36
B.
116
9
C.
367
【答案】C
【分析】
利用平均数求x ，再把7个数据代入方差公式.
【详解】去掉1个最高分99，去掉1个最低分97，剩下7个数为：87，90，90，91，91，94，90x +， 所以979090919194(90)
917
x +++++++=
，解得：4x =，
所以22222
(8791)2(9091)2(9191)2(9491)36
77
s -+⨯-+⨯-+⨯-==
. 【点睛】此题考察平均数和方差的计算，考察从茎叶图提取信息、处理信息的才能. 3.2a b +≥，那么,a b 中至少有一个不小于1〕 A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】 .
【详解】,a b 中没有一个大于等于1，那么2a b +<， 等价于“假设1,1a
b <<，那么2a b +<
,a b 中至少有一个不小于1，那么2a b +≥〞，取5,5a b ==-那么,a b 中至少有一个不小于1，但
0a b +=.
【点睛】至少有一个的否认为“0个〞，“不小于〞等价于“大于等于〞. 4.〕 A.,20x
x R ∀∈> B.,lg 1x R x +
∀∈>
C.0
0,sin 0x R x ∃∈= D.0
0,lg 1x R x ∃∈=
【解析】 【分析】 .
【详解】lg 1lg lg1010x
x x >⇒>⇒>，所以lg 1x 不能对x R +∀∈恒成立，故B 不正确.
【点睛】的意义，本质是考察函数的值域问题.
5.设某大学的女生体重y 〔单位：kg 〕与身高x 〔单位：cm 〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔x i ，y i 〕〔i=1，2，…，n 〕，用最小二乘法建立的回归方程为ˆy
=0.85x-81，那么以下结论中不正确的选项是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心〔x ，
y 〕
C.假设该大学某女生身高增加1cm ，那么其体重约增加
D.假设该大学某女生身高为170cm ，那么可断定其体重比为 【答案】D 【解析】
根据y 与x 的线性回归方程为，那么
＞0，y 与x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心〔,x y 〕，B 正确；
该大学某女生身高增加1cm ，预测其体重约增加，C 正确； 该大学某女生身高为170cm ，预测其体重约为×170﹣81=，D 错误． 应选：D ．
【此处有视频，请去附件查看】 6.如图，在以下四个正方体中，直线
AB 与平面CDE 垂直的是〔〕
A.①②
B.②④
C.①③
D.②③
【答案】B 【解析】 【分析】
由几何体为正方体，利用线面垂直的断定逐一分析四个选项得答案． 【详解】对于①，由AB 与CE 所成角为45°，可得直线
AB 与平面CDE 不垂直；
对于②，由AB⊥C E ，AB⊥ED，且CE∩ED=E，可得AB⊥平面CDE ； 对于③，由AB 与CE 所成角为60°，可得直线
AB 与平面CDE 不垂直；
对于④，由ED⊥平面ABC ，可得ED⊥AB，同理：EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE ； 应选：B
【点睛】此题考察线面垂直的证明，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，是中档题． 7.()()1
21,0,1,0F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，且
3AB =，那么C 的方程为〔〕
A.22132x y +=
B.2
213x y += C.22143
x y +=
D.22154
x y += 【答案】C 【解析】 【分析】 在直角三角形12AF F 利用勾股定理求1||AF ，再由椭圆的定义求a 的值.
【详解】因为
3AB =，所以23
2
AF =
，又12||2F F ，
所以在直角三角形
12AF F 中，15
||2
AF ===，
因为1253
|
|||4222
AF AF a +=
+==，所以2,1,a c b === 所以椭圆的方程为：22
143
x y +=.
【点睛】此题考察焦半径、椭圆的定义、椭圆的HY 方程等知识，考察运算求解才能. 8.执行如右图所示的程序框图，输出的k 的值是() A.9 B.10
C.11
D.12
【答案】C 【解析】 【分析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s ＝1+2+…+k ＜50时的k +2的最大值．
【详解】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知，
该程序的作用是累加并输出s ＝1+2+…+k ＜50时的k +2的最大值，
又∵1+2+…+k ()12
k k +=
＜50，
解得k ≤9，那么k +2≤11， 输出的k 的值是11， 应选：C ．
【点睛】根据流程图〔或者伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图〔或者伪代码〕，从流程图〔或者伪代码〕中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔假设参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进展分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
9.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为〔〕
A.12
B.11
C.14
D.13
【答案】A 【解析】 【分析】
由抽取的样本人数，确定每组样本的容量，计算出编号落入区间
[]1,720与[]1,480各自的人数再相减.
【详解】由于抽取的样本为42人，所以840人要分成42组，每组的样本容量为20人， 所以在区间
[]1,480一共抽24人，在[]1,720一共抽36人，所以编号落入区间[]481,720的人数为
362412-=人.
【点睛】此题考察系统抽样抽取样本的根底知识，考察根本数据处理才能.
10.过抛物线2:
4C y x =的焦点F C 于点M 〔在x 轴上方〕
，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，那么点M 到直线NF 的间隔为〔〕
A. B. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由直线的斜率得到直线的倾斜角60，利用直角三角形30角对边等于斜边的一半，求得焦半径，进而求出点M 的坐标，再利用几何法求出点到直线的间隔.
【详解】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ， 设||||MN
MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==，
所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：0
14x +=，
所以0
3x =，0y =，
所以sin sin NP MNF NFP NF ∠=∠=
==
，
所以点M 到直线NF 的间隔为|
|sin 4NM MNF ⋅∠== 【点睛】解析几何问题中，假设能充分挖掘条件中的几何性质，能使运算量大大减少，节运算时间是. 11.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为,,a b c ，当且仅当,a b b c ><时称为“凹数〞〔如
213，312等〕，假设{},,1,2,3,4a b c ∈，且,,a b c 互不一样，那么这个三位数为“凹数〞的概率为〔〕
A.
1
6 B.
524
C.
13
D.
724
【答案】C 【解析】
试题分析：由于{},,1,2,3,4a b c ∈
，且,,a b c 互不一样，故可得43224⨯⨯=1b =，那么“凹数〞
有：.213,214,312,314,412,413一共6个；假设2b =，那么“凹数〞有：.324,423一共2个.所以这个三位数为“凹数〞的概率为有81243
p =
=. 考点：古典概型.
12.
A.
1129
π B.
1123
π
C.
289
π
D.
3
【答案】A 【解析】 【分析】
通过三视图复原几何体的直观图是有相邻两个侧面互相垂直的三棱锥，找出这两个面的外心，利用勾股定
理构造出关于外接球半径OA 的方程.
【详解】根据几何体的三视图，复原几何体的直观图为三棱锥
A BCD -，
设O 为三棱锥外接球的球心，1O 为ABD ∆的外心，2O 为BCD ∆的外心，E 为BD 中点，
那么四边形
12OO O E 为矩形，因为2224
cos 25
AB AD BD BAD AB AD +-∠===⋅，
所以3sin 5BAD
∠=
，所以ABD ∆的外接圆半径为15
2sin 3
BD AO BAD ==⋅∠，
因为BCD ∆是边长为2的正三角形，所以213
O E
OO ==
，
所以2
222211528
()339
OA OO AO =+=+=
， 所以三棱锥的外接球的外表积28112499
S π
π=⋅
=
. 【点睛】三棱锥与球的切接问题，找到球心是解题的关键，其步骤是，一找两相邻面的外心12,O O ，二是假设球心为O ，三是连结12,O O O O 得到这两个面的垂线，再从中寻找直角三角形，构造关于球半径的方程.
第二卷〔非选择题〕
13.在区间[]1,4-内取一个数x ，那么22x x -≥-的概率是_________________________。

【答案】
3
5
【解析】 【分析】
求出一元二次不等式的解集，把求概率问题转化成求线段的比值. 【详解】由2
2x x -≥-得：12x -≤≤，由几何概型得：35
P =
. 【点睛】此题考察利用线段的比，求几何概型的概率计算.
14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>过点()1,1P ，其中一条渐近线
方程为
y =，那么该双曲线方程为______________________。

【答案】2
221x y -=
【解析】 【分析】
利用双曲线渐近线方程和点P 在双曲线上，得到两个关于,a b 的方程.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为
y =，所以
b
a
= 又点()1,1P
在双曲线上，所以
22111a b -=，解得：2
21,12
a b ==，
所以双曲线方程为2
221x
y -=.
【点睛】此题考察利用渐近线方程和点在曲线上，反过来求双曲线方程，考察根本的运算求解才能. 15.围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出2粒都是黑子的概率为1
7
，都是白子的概率是
12
35
.那么从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
【答案】
1735
【解析】 【分析】
利用互斥事件概率加法公式求解． 【详解】解:因为取出2粒都是黑子的概率为
17
，都是白子的概率是
1235
, 所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为：11217p 73535
=
+= 【点睛】此题考察概率的求法，是根底题，解题时要注意互斥事件概率加法公式的合理运用．
16.设12,F F 是双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一
条渐近线的垂线，垂足为P 。

假设1PF ，那么C 的离心率为_______________________。

【解析】 【分析】
由1POF ∠与2POF ∠互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于,a c 的方程. 【详解】如下列图：
因为焦点2F 到渐近线的间隔为b ，所以2|
|PF b =，那么OP a =，所以1PF =，
因为12cos cos POF POF ∠=-∠，所以
2222a c b
ac
+-=-，
解得：223c a e =⇒=
【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，此题主要通过两次利用余弦定理进展代数运算，找到,a c 关系求得离心率.
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分。

解容许写出文字说明，证明过程或者验算步骤〕 17.设:p 实数x 满足22540x ax a -+<〔其中0a >〕
，:q 实数x 满足25x <≤。

〔1〕假设1a =，且
p q ∧为真，务实数x 的取值范围；
〔2〕假设q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，务实数a 的取值范围。

【答案】〔1〕
()2,4〔2〕5,24⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】 【分析】 〔1〕
p q ∧为真，得p 真，q 真同时成立，对条件p ，q 中的变量取交集；
〔2〕“q ⌝是p ⌝的必要不充分条件〞等价于“p 是q 的必要不充分条件〞.
【详解】〔1〕假设1a =，那么:p 14x <
<，又:q 25x <≤，
因为p q ∧为真，所以p 真，q 真同时成立，所以14,
25,x x <<⎧⎨
<≤⎩
解得：24x <<，
所以实数x 的取值范围24x <<.
〔2〕:p 4a x a <<，:q 25x <≤，
因为q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，
所以q 中变量x 的取值集合是
p 中变量x 的取值集合的真子集，
所以2,5
245,4
a a a ≤⎧⇒<≤⎨
>⎩. 【点睛】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件⇔
q 是p 的充分不必要条件.
18.2018年8月18日，举世瞩目的第18届亚运会在印尼首都雅加达举行，为了丰富亚运会志愿者的业余生活，同时鼓励更多的有志青年参加志愿者行列，大会主办方决定对150名志愿者组织一次有关体育运动的知识竞赛并方案对成绩前15名的志愿者进展奖励，现将所有志愿者的竞赛成绩制成频率分布直方图，如下列图，假设第三组与第五组的频数之和是第二组的频数的3倍，试答复以下问题： 〔1〕求图中,a b 的值；
〔2〕求志愿者知识竞赛的平均成绩；
〔3〕从受奖励的15人中按成绩利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中，随机抽取2人在主会场效劳，求抽取的这2人中其中一人成绩在100110~分的概率.
【答案】〔1〕0.0160.04
a b =⎧⎨
=⎩〔2〕9〔3〕2
5P =
【解析】 【分析】
(1)由频率分布直方图的性质结合条件即可求解；
(2)每个小长方形底边中点所对应的横坐标乘以该组的频率，再求和即可求出平均数；
(3)用列举法先求出从抽取的5人中，随机抽取2人所包含的根本领件总数，以及抽取的这2人中其中一人成绩在100110~分所包含的根本领件个数，结合古典概型的概率公式即可求出概率.
【详解】〔1〕由条件及频率分别直方图的性质可知：10100.56
0.0083a b b a
+=⎧⎨
+=⎩
解得0.016
0.04a b =⎧⎨
=⎩
〔2〕由〔1〕可知，成绩在7080~分的有9人，在8090~分的有24人， 在90100~分的有60人，在100110~分的有45人， 在110120~分的有12人，故志愿者知识竞赛平均成绩为
0.06750.16850.4950.31050.0811596.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
〔3〕由〔2〕可知，受奖励的15人中有三人的成绩是100110~分，其余12人的成绩是110120~分，利用分层抽样抽取5人，有1人成绩在100110~分中，4人成绩在110120~分中.
记成绩是100110~分的1人为A ，成绩是110120~分的4人为1234,,,B B B B ，从这5人中抽取2人去主会场效劳一共有以下10种可能：
()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()4,A B ，()12,B B ，()13,B B ，
()14,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()34,B B ，
满足条件的有()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()4,A B ，一共4种，
故所求概率42
105
P
==. 【点睛】此题主要考察根据频率分布直方图求平均数，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的计算公式，即可求解，属于根底题型.
19.某2021年至2021年新开楼盘的平均销售价格(单位：千元/平方米)的统计数据如下表：
〔1〕求
y 关于x 的线性回归方程；
〔2〕利用〔1〕中的回归方程，分析2021年至2021年该新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该2021年新开楼盘的平均销售价格。

附：参考公式：12
2
1
n
i i i n i i x y nxy b
x nx
∧
==-=
-∑∑
，a
y b x ∧
∧
=-，其中,x y 为样本平均值。

参考数据：
7
1
137.2,
i i
i x y
==∑7
2
1
140i
i x
==∑．
【答案】〔1〕0.5 2.4y x ∧
=+〔2〕见解析
【解析】 【分析】
〔1〕利用公式求出
b ，a ，即可得出结论；
〔2〕利用〔1〕的线性回归方程，代入x ＝9即可． 【详解】〔1〕由题意知：1234567
47
x
++++++=
=，
3 3.
4 3.7 4.
5 4.9 5.3
6 4.47
y ++++++==，
所以12
2
2
1
137.274 4.4
0.514074
n
i i i n i i x y nxy b x nx ∧
==--⨯⨯=
=
=-⨯-∑∑
所以线性回归方程为：0.5 2.4y x ∧
=+
〔2〕由〔1〕得到
0.50b ∧
=>，所以2021年至2021年该新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的，
平均每年每平方增加0.5千元。

将9x
=代入线性回归方程0.5 2.4y x ∧=+得到：0.59 2.4 6.9y ∧
=⨯+=
【点睛】此题主要考察线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211
,,,n
n
i
i i i i x y x
x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a b
；④写出回归直线方程为
ˆˆˆy
bx a =+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20.如图，四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，90
BAD ADC ∠=∠=，SD ⊥平
面
ABCD ，M 是SA 的中点，22AD SD CD AB ====。

〔1〕证明：DM
⊥平面SAB ；
〔2〕求二面角
A S
B
C --的大小；
【答案】〔1〕见解析〔2〕135° 【解析】 【分析】
〔1〕利用线面垂直的断定定理证明线面垂直；
〔2〕找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出所需点的坐标，求两个面的法向量.
【详解】
SD ⊥平面ABCD ，AB
平面
ABCD ，∴AB SD ⊥，
又AB AD ⊥，SD
AD D =，∴AB ⊥平面SAD
∴DM AB ⊥
，2AD SD ==，M 是SA 的中点，
∴DM SA ⊥，又SA AB A ⋂=，∴DM ⊥平面SAB .
〔2
〕
,,DA DC DS 两两互相垂直，以,,DA DC DS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如下列图的空
间直角坐标系D xyz -，那么(0,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,0,1)S B C M ， 取1(1,0,1)n DM ==为平面SAB 的一个法向量， 设2
(,,)n x y z =为平面SBC 的一个法向量，
(2,1,2),(0,2,2)SB SC =-=-，那么
22220,0,1,1,1220,20,x y z n SB x y z y z n SC ⎧+-=⋅=⎧⎪
⇒⇒===⎨⎨-=⋅=⎪⎩
⎩，∴2
1(,1,1)2n =，
∴1212121
1
2cos ,2||||2n n n n n n +⋅<>=
==，
由图形得：求二面角
A S
B
C --的大小为135°.
【点睛】利用断定定理和性质定理证明平行或者垂直问题时，注意条件的完好性；利用空间向量求角，注意运算的准确性.
21.设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，
||8AB =．
〔1〕求l 的方程； 〔2〕求过点
A ，
B 且与
C 的准线相切的圆的方程．
【答案】(1)y =x –1(2)()()
22
3216x y -+-=或者()()22
116144x y -++=．
【解析】
【详解】分析：(1)根据抛物线定义得
12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定
理代入求出斜率，即得直线l 的方程；〔2〕先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线间隔等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的HY 方程. 详解：〔1〕由题意得F 〔1，0〕，l 的方程为y =k 〔x –1〕〔k >0〕． 设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕．
由()
2
14y k x y x
⎧=-⎨
=⎩得()
22
22240k
x k x k -++=．
2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k
++=． 所以
()()2122
44
11k AB AF BF x x k
+=+=+++=． 由题设知22
44
8k k
+=，解得k =–1〔舍去〕，k =1． 因此l 的方程为y =x –1．
〔2〕由〔1〕得AB 的中点坐标为〔3，2〕，所以AB 的垂直平分线方程为
()23y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为〔x 0，y 0〕，那么
()()002
2
00051116.2y x y x x =-+⎧
⎪⎨-++=
+⎪⎩
，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或者00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
()()
22
3216x y -+-=或者()()22
116144x y -++=．
点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①假设条件与圆心(),a b 和半径r 有关，那么设圆的HY 方程根据条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求
出,,a b r 的值；
②假设条件没有明确给出圆心或者半径，那么选择圆的一般方程，根据条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．
22.椭圆2222:1(0)
x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，左、右焦点分别是12,F F .以1F
为圆心以
1为半径的圆与以2F
+1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.
(1)求椭圆的HY 方程； (2)不过点2F 的直线:l y kx m =+与该椭圆交于,A B 两点，且2BF O ∠与2AF O ∠互补，求AOB ∆面
积的最大值.
【答案】〔1〕2212x y +=；〔2
〕2
【解析】 【分析】
(1)
由条件可得2c a a ==
a b 、，得到椭圆方程 (2)联立直线方程与椭圆方程，由2BF O ∠与2AF O ∠互补那么斜率相加得零得到m k 、的数量关系，然
后再求解三角形面积问题
【详解】(1)
由题2c a a ==
∴2
2
2,1a b ==，方程为2
212
x y +=
(2)2
212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消y 得()222214220k x mkx m +++-= 设
()()1122,,,A x y B x y
∴()
2
28
210k
m ∆=-+>①
由22BF O AF O
π∠+∠=得22AF BF k k +=
1212011
y y
x x +=-- ∴
()()()()122111kx m x kx m x +-++-，
=()()12
1222kx x m k x x m +-+-
=()22
22242202121m mk k m k m k k -⎛⎫⋅+-⋅--= ⎪++⎝⎭
∴2m k =-② ,由①②得21
02
k <
<
∴
12
1122s m x x m
=-==
令()2211,2t
k =+∈
，那么s =，当43t
=时，max 2
s = 【点睛】此题考察了求椭圆方程以及三角形面积问题，在求解过程中关键是将题目中的角互补转化为斜率问题，然后再求解，注意计算不要出错，属于中档题。