2018-2019学年广西南宁三中高二下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年广西南宁三中高二下学期第一次月考数学
（文）试题
一、单选题
1．演绎推理“因为对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠是增函数，而函数
15
log y x =是
对数函数，所以15
log y x =是增函数”所得结论错误的原因是（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提都错误
C ．推理形式错误
D ．大前提和小前提都错误
【答案】A
【解析】根据对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的单调性与底数，1a >和01a <<有关来判断. 【详解】
因为当1a >时，函数log (0a y x a =>且1)a ≠是增函数， 当01a <<时，函数log (0a y x a =>且1)a ≠是减函数，
所以对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠是增函数，这个大前提是错误的， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了演绎推理的结构及对数函数的单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A ．至少有一个红球，至少有一个绿球
B ．恰有一个红球，恰有两个绿球
C ．至少有一个红球，都是红球
D ．至少有一个红球，都是绿球 【答案】B
【解析】由于从口袋中任取2个球有三个事件，恰有一个红球，恰有两个绿球,一红球和一绿球.所以恰有一个红球，恰有两个绿球是互斥而不对立的两个事件.因而应选B.
3．已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列结论中必然成立的是( )
A ．若a b >，c b >，则a c >
B ．若a b >，c d >，则
a b c d
> C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >-，则c a c b -<+
【答案】D
【解析】根据不等式的性质及特殊值对选项一一分析即可。

【详解】
解：A ．a 与c 的大小关系不确定；
B ．取2a =，1b =，1c =-，3d =-，满足a b >，c d >，则
a b
c d
>不成立． C ．取2a =-，1b =-，不成立；
D ．a b >-Q ，a b ∴-<，则c a c b -<+，正确．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．设i 是虚数单位，()()2
34,,i a bi a b R -+=+∈.则a bi +等于（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．50
【答案】C
【解析】先运算得到()2
34724+=-+=--a bi i i ，再根据复数的模的公式求解. 【详解】
因为()2
34724+=-+=--a bi i i
所以25+===a bi
故选：C 【点睛】
本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．不等式2112x x -++>的解集为（ ） A ．2(,0)(,)3
-∞+∞U B ．2(,)3
+∞
C ．2(,1)(,)3
-∞-+∞U D ．(,0)-∞
【解析】试题分析：不等式2112x x -++>等价于
1111,,2232032x x x or or x x x ⎧⎧
<--≤<≥
⎧⎪⎪⎨
⎨⎨->⎩⎪⎪->>⎩⎩
； 解得2
0,,3
x or x <> 故选A ．
【考点】绝对值不等式．
6．曲线2cos (1x y sin θ
θθ=+⎧⎨
=-+⎩
为参数)的对称中心( ) A ．在直线1
2
y x =
上 B ．在直线12
y x =-
上 C ．在直线1y x =-上 D ．在直线1y x =+上
【答案】B
【解析】先将参数方程化为普通方程，得到圆的方程，进而得到圆心，验证选项可得到结果. 【详解】
曲线2(1x cos y sin θθθ
=+⎧⎨
=-+⎩为参数)化为一般方程是：()()22
211x y -++=，是一个圆，圆心为（2，-1），通过验证选项得到：在直线1
2
y x =-上. 故答案为：B. 【点睛】
这个题目考查了参数方程化为普通方程，以及圆的对称性,题目比较基础.
7．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+
【答案】A
【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样
本点的中心
，故排除选项B ；故选A ．
8．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．a b a c b c -≤-+- B ．2
21
2a a
+
≥
C ．1
2a b a b
-+≥- D ≤
【答案】C
【解析】A.用a b a b a b -≤±≤+来判断.B.用基本不等式来判断.C.用特殊值当
1,2a b ==时来判断.D.将原数变形
=
=，再比较.
【详解】
A. 因为-=-+-≤-+-a b a c c b a c b c 恒成立，故正确.
B.因为 2212
+
≥=a a ，当且仅当221a a =即1a =±时取等号，故正确. C.当1,2a b ==时，1
110-+=-=-a b a b
，原不等式不成立，故错误.
D.
=
=
>≤成立，故
正确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了不等式的比较及其应用，还考查了转化化归的思想，属于中档题. 9．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．
24
5
B ．
285
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】【详解】 由已知可得
31
155x y
+=，则3194123131234(
)(34)555555555
y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最
小值5，应选答案C ．
10．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）
A ．1211n n ；+-+
B ．211n n -+；
C ．21n n -；
D ．121n n +-；
【答案】A
【解析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×
1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×
1，以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1，第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1． 【详解】
解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3， 如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a ，b ，c ， 根据勾股定理得a 2+b 2＝c 2，
即正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1， 所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×
1， 第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，
如图（3），正方形E 的面积+正方形F 的面积＝正方形A 的面积， 正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形B 的面积，
正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1， 所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1， …
以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1， 第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1．
【点睛】
本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
11．若直线50mx ny +-=与圆225x y +=没有公共点，则过点()P m n ,的直线与椭
圆22175
x y +=的公共点的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定
【答案】C
【解析】根据直线50mx ny +-=与圆2
2
5x y +=没有公共点，利用圆心到直线的距离大于半径，得到221m n +<，再判断点()P m n ,与椭圆的位置关系即可. 【详解】
因为直线50mx ny +-=与圆2
2
5x y +=没有公共点
22
5
5m n
>
+
即225m n +<
所以，225,5m n <<
又因为22222
52521757535
-++<+=<m n n n n
所以点()P m n ,在椭圆内部，
所以过点()P m n ,的直线与椭圆22
175x y +=必相交
故过点()P m n ,的直线与椭圆22
175
x y +=的公共点有2个
【点睛】
本题主要考查了直线与圆，点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题. 12．下列四个命题：
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型拟合的效果越好； ③散点图中所有点都在回归直线附近；
④随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小可用来衡量预报精确度． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】根据回归分析中相关指数，残差平方和的意义，以及回归直线的原理，依次判断选项即可. 【详解】
根据回归方程的性质得到①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越靠近1，说明拟合效果越好，越靠近0，拟合效果越不好，故②不正确；③散点图中所有点都在回归直线附近，不正确，应该是大部分点都在回归直线附近，而不是所有点；故不正确；随机误差e 满足E （e ）=0，其方差D （e ）的大小用来衡量预报的精确度，④正确； 故答案为B. 【点睛】
本题考查了两个变量间的线性相关和线性回归方程，以及拟合效果好坏的几个量的大小反映拟合效果的好坏问题，是基础题．
二、填空题
13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：我没去过
城市.
丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A
【解析】试题分析：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A 【考点】进行简单的合情推理
14．函数()f x =___________. 【答案】5
【解析】利用柯西不等式，变形为
(
()2
2
2
222125⎡
⎤≤+⋅+
=⎢⎥⎣
⎦
求解.
【详解】 由柯西不等式得
(
()2
2
2
222125⎡
⎤≤+⋅+
=⎢⎥⎣
⎦
.
()
5f x ∴==
，即4x =时，等号成立. 故答案为：5 【点睛】
本题主要考查了根式函数求最值问题，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题.
15．某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算2 6.669K =，则所得到的统计学结论是：有______%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”． 附：
【答案】99
22
【详解】
因为2 6.669K =>6.635,2 6.6697.879K =<,对照表格得到有99%的把握说学生性别与是否支持该活动有关系． 故答案为99. 【点睛】
本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题． 16．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1{
3
x t y t =+=-（t 为参数），圆C 的极坐
标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为____________． 【答案】
【解析】分析：先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，再利用公式求直线被圆C 截得的弦长.
详解：由题意得直线l 的方程为x-y-4=0,圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4.
则圆心到直线的距离
=，故弦长
==故答案为
.
点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的弦长的计算，意在考查学生对这些问题的掌握水平.(2)求直线被圆截得的弦长常用公
式l =
三、解答题
17．在ABC V 中， ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足3cos a b C =. (1)求
tan tan C
B
的值； (2)若3a =， tan 3A =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）
tan 2tan C
B
=；
（2）3． 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，得sin 3sin cos A B C =，再利用A B C π++=及三角恒等变换的公式，即可求得
tan tan C
B
的值；（2）由A B C π++=，得： 23tan 3B
=-，
解得tan 1B =进而求得tan ,tan C A 的值，得到sin ,sin ,sin A B C 的值，
再利用正弦定理，即可求b 的值，进而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（1）由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===，可得： 2sin 32sin cos R A R B C =⨯
∵A B C π++=，∴()sin sin 3sin cos A B C B C =+=, 即， sin cos cos sin 3sin cos B C B C B C += ∴cos sin 2sin cos B C B C =，∴
cos sin 2sin cos B C B C =，故tan 2tan C
B
=
（2）（法一）由A B C π++=，得()()tan tan 3B C A π+=-=-,
即
tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯，将tan 2tan C B =，代入得： 23tan 312tan B
B
=--
解得tan 1B =或1
tan 2
B =-，
根据tan 2tan C B =,得tan ,tan C B 同正，所以tan 1B =， tan 2C =.
则tan 3A =
，可得sin 2B =
，
sin C =
sin A =，
=
，∴b =
所以11sin 33225
ABC S ab C ∆=
=⨯=. （法二）由A B C π++=得
()()tan tan 3B C A π+=-=-，
即
tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯，将tan 2tan C B =，代入得： 23tan 312tan B
B
=--，
解得tan 1B =或1
tan 2
B =-，根据tan 2tan
C B =,得tan ,tan C B 同正，
所以tan 1B =， tan 2C =.
又因为3cos 3a b C ==，所以cos 1b C =， ∴cos 3ab C = ∴cos tan 6ab C C = ∴11
sin 6322
ABC S ab C ∆=
=⨯= 【考点】正弦定理；三角形的面积公式.
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合应用，其中解答中涉及到三角形的正弦定
把题设条件转化为三角恒等变换，求解角,,A B C 的正弦值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力和转化思想.
18．已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1)(2)
n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得
()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .
试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，
由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d
=+=+，可解得14,3b d ==，
所以31n b n =+．
（2）由（1）知()()
()1
16631233n n n n
n c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得
()2341
322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，
()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得
()()
()2341222
42132222212341232
21n
n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
所以2
32n n T n +=⋅．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一
个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.
19．2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，此事件也引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ 聊天群有300名网友，乌鲁木齐市某微信群有200名网友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名网友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友发表的信息条数分成5组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；
（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数超过80条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；
（3）规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”. ①请你根据已知条件完成下列2×2的列联表： 强烈关注 非强烈关注 合计 丹东市 乌鲁木齐市 合计
②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？ 附：临界值表及参考公式：
()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n a b c d =+++.
【答案】（1）64（2）
7
10
（3）①见解析，②没有 【解析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式求解.
（2）根据频率分布直方图得到丹东市满足条件的人数3人，乌鲁木齐市有2人，从5人中随机取出2人的所有取法共有10种，满足条件的有7种，再用古典概型的计算公式求解.
（3）根据频率分布直方图得到相应的列联表，再由公式得到卡方值，进而再判断. 【详解】 （1）
450.0110550.02510650.0410750.0210850.0051063.564
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈.
所以丹东市网友的平均留言条数是64条.
（2）留言条数超过80条的网友中，丹东市网友有300
0.005101003
300200
⨯⨯⨯=+（人），
乌鲁木齐市网友有200
0.005101002300200
⨯⨯⨯
=+（人），
丹东市网友设为A ，B ，C ，乌鲁木齐市网友为a ，b .
从5人中随机取出2次的所有取法为(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B a ，
(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b ，共计10种情况，
其中至少有一名乌鲁木齐市网友的结果为(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，
(),C b ，(),a b 共计7种，
因此，至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率为7
10
P =
.
（3）①列联表如下： 强烈关注 非强烈关注 合计 丹东市 15 45 60 乌鲁木齐市 15 25 40 合计 30
70
100
②2K
的观测值
()2
1001525154525 1.796040307014
k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.
因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关. 【点睛】
本题主要考查了概率与统计的综合应用，还考查了数形结合的思想，运算求解的能力，属于中档题.
20．设12,F F 分别是椭圆2214
x
y +=的左、右焦点．
(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求12
PF PF ⋅u u u v u u u u v
的最大值和最小值； (2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．
【答案】（1）2-,1；（2）332,,222k ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝∈⎪⎝⎭
.
【解析】(1)设出点P 的坐标，向量坐标化得到12
PF PF ⋅u u u v u u u u v
的表达式，进而得到最值；（2）AOB ∠为锐角即0OA OB ⋅>u u u r u u u r
，设出点AB 的坐标，向量坐标化得到点积的表达式为：
x 1x 2＋y 1y 2,联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到结果. 【详解】
(1)由已知得，F 1(－
，0)，F 2(
，0)，设点P (x ，y )，
则＋y 2＝1，且－2≤x ≤2．
所以·＝(－－x ，－y )·(－x ，－y )＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－＝x 2－2，
当x ＝0，即P (0，±1)时，(·)min ＝－2； 当x ＝±
2，即P (±2，0)时，(·
)max ＝1．
(2)由题意可知，过点M (0，2)的直线l 的斜率存在． 设l 的方程为y ＝kx ＋2，
由消去y ，化简整理得
(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，Δ＝(16k )2－48(1＋4k 2)＞0，解得k 2>． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝
，
又∠AOB 为锐角，所以
·
＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，
有x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·
＋2k ·
＋4＞0，解得k 2＜4，
所以＜k 2＜4，即k ∈332,222⎛⎛⎫
--
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21．设函数()1,x
f x e ax a R =--∈．
(1)若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；
(2)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()0g a ≤； (3)求证：对任意的正整数n ，都有11111123(1)n n n n n n n +++++++++<+L ． 【答案】（1）(],0-∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】(1) 题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 恒成立,e x ＞0进而得到结果；（2）由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a ，得到函数的单调性，故得到函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，再对这个函数求导得到函数的单调性和最值，进而得到结果；（3）
由前一问得到(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x 令111x n +=+，得到1
11n n e n +-⎛⎫< ⎪+⎝⎭，
再赋值：23
1,1....11x x n n
+=
+=++依次代入上述不等式，做和,放缩,利用等比数列求和公式可得到结果. 【详解】
(1)由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 恒成立，且e x ＞0， 故a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明：由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a ，
可得函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，
故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0， 当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，
从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0， 故g (a )≤0．
(3)证明：由(2)可知，当a ＝1时，
总有f (x )＝e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立．即当x ＋1＞0且x ≠0时，总有e x ＞x ＋1．于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x ． 令x ＋1＝
，即x ＝－
，可得1
11n n e n +-⎛⎫< ⎪
+⎝⎭；
令x ＋1＝，即x ＝－
，可得()1
121n n e n +--⎛⎫< ⎪+⎝⎭；
令x ＋1＝，即x ＝－
，可得()1
231n n e n +--⎛⎫< ⎪+⎝⎭
；
…… 令x ＋1＝，即x ＝－
，可得1
11n n e n +-⎛⎫< ⎪+⎝⎭
．
累加可得
()()1
1
1
1
1211231111n n n n n n n n e e e e n n n n ++++------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
L L
(
)111111111
n n
n
n e e e
e e
e e e ------=
==<<----．
故对任意的正整数n ，都有()1
11111231n n n n n n n +++++++++<+L ．
【点睛】
利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为5cos (5x y sin θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数)，直线l 经过点
()3,2P ，且倾斜角为3
π
．
(1)写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；
(2)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．
【答案】（1）132322x t y t
⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)，2225x y +=；（2）12. 【解析】(1)根据参数方程与普通方程的互化可得到圆的直角坐标方程，由直线的参数方程的写法得到直线的参数方程；（2）；联立直线的参数方程和圆的普通方程，得到|P A |·|PB |＝|t 1t 2|可得到结果. 【详解】
(1)把圆C 的参数方程
(θ为参数)化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝25．
由条件可得直线l 的参数方程为即 (t 为参数)．
(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的方程化简可得t 2＋(3＋2)t －12＝0，
所以t 1t 2＝－12，故|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12． 【点睛】
这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.。