管理运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
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以上计算机输出的目标函数系数和约束条件右边值的灵敏度分析
都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的基础上得出的！
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
当有多个系数变化时，需要进一步讨论。
百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条
件右边常数值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比
• 在松弛/剩余变量栏中，约束条件2的值为125，它表示对原 料A的最低需求，即对A的剩余变量值为125；同理可知约 束条件1的剩余变量值为0；约束条件3的松弛变量值为0。
• 在对偶价格栏中，约束条件3的对偶价格为1万元，也就是 说如果把加工时数从600小时增加到601小时，则总成本将 得到改进，由800万减少到799万。也可知约束条件1的对偶 条件为-4万元，也就是说如果把购进原料A和B的总量下限 从350t增加到351t，那么总成本将加大，由800万增加到804 万。当然如果减少对原料A和B的总量的下限，那么总成本 将得到改进。
增加（减少）百分比均看作零； 2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过100%并不一定变化
； 3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边常数值同时变化
的情况。这种情况下，只有重新求解。
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
• 下面用“管理运筹学”软件来分析第二章的例2，其数学模型 如下：
表示与之相对应的资源已经全部用上。
– 对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的 最优值。
– 目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量 系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。
– 常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当约束 条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价 格不变。当前值是指现在的取值。
之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍是原
来几个线性方程的解）。
* 允许增加量 = 上限 - 现在值
c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25 * 允许减少量 = 现在值 - 下限
c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50 * 允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量
§1 “管理运筹学”软件的操作方法 §2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
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第三章 线性规划问题的计算机求解
随书软件为“管理运筹学”2.5版（Windows 版），是“管理运筹学”2.0版（Windows版）的 升级版。它包括：线性规划、运输问题、整数 规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规 划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生 成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径 、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层 次分析法，共15个子模块。
当约束条件2的常数项在负无穷到250范围内变化而其他约束条件的常数项不变时约束条件2的对偶价格不变仍为0当约束条件3的常数项在475700内变化而其他约束条件的常数项不变时约束条件3的对偶价格不变仍为1当约束条件中的常数项增加一个单位时最优目标函数值增加的数量称之为影子价格
第三章 线性规划问题的计算机求解
数，但不能是分数，要把分数先化为小数再输入；输入前先要合并同类项。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
• 第四步：点击“解决”按钮，得出计算过程。计算过程界面输出如下。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第五步：关闭计算过程界面，得出输出结果。本题的运行结果界面如下。
在管理运筹学2.5版软件中,线性规划问题的结果输出部分增加了线 性规划的逐步运算过程,将使读者更容易掌握线性规划计算的全过程, 为方便软件计算,本线性规划使用了大M法以及数值分析方法。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题中选用“线性规划”方 法。点击按钮弹出如下界面：
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第三步：点击“新建”按钮，输入数据。本题中共有2个变量，3个约束条件，目标函 数取MAX。点击“确定”后，在表中输入Cj,bi和aij等值，并确定变量的正负约束。 输入数值后的界面如下。在输入中要注意以下几点：输入的系数可以是整数、小
2. “管理运筹学”软件可以解决含有100个变量50个约束方程
的线性规划问题，可以解决工商管理中大量的问题。如 果想要解决更大的线性规划问题，可以使用由芝加哥大 学的L.E.Schrage开发的LINDO计算机软件包的微型计算 机版本LINDO/PC。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
1.软件使用演示：（演示例1） 第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学 2.5”，弹出主窗口。
例1.
目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
s.t. x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
目标函数：
Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
s.t. x1 + x2 ≥ 350
x1
≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0
从上图可知，当购进原材料A 250t，原料B 100t时，购进成本最低 ，为800万元。
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
• 在常数项范围一栏中，知道当约束条件1的常数项在300到 475范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对 偶价格不变，仍为-4；当约束条件2的常数项在负无穷到 250范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条 件2的对偶价格不变，仍为0；当约束条件3的常数项在475 到700范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束 条件3的对偶价格不变，仍为1。
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
第六步：分析运行结果。
– 本题中目标函数的最优值是27500，x1=50, x2=250。 – 相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策
变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。 – 松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。如果为零，则
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
• 注意：
1. 当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数 值增加的数量称之为影子价格。在求目标函数最大时， 当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增 加的数量就为改进的数量，所以影子价格等于对偶价格 ；在求目标函数值最小时，改进的数量就是减少的数量 ，所以影子价格即为负的对偶价格。
* 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
例： c1 变为 74 , c2 变为 78, 则 (74 - 50) / 50 +解不 变。
b1 变为 315 , b3 变为 240, 则 (315 - 300) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对偶价 格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意： 1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量（减少量），其允许
都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的基础上得出的！
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
当有多个系数变化时，需要进一步讨论。
百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条
件右边常数值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比
• 在松弛/剩余变量栏中，约束条件2的值为125，它表示对原 料A的最低需求，即对A的剩余变量值为125；同理可知约 束条件1的剩余变量值为0；约束条件3的松弛变量值为0。
• 在对偶价格栏中，约束条件3的对偶价格为1万元，也就是 说如果把加工时数从600小时增加到601小时，则总成本将 得到改进，由800万减少到799万。也可知约束条件1的对偶 条件为-4万元，也就是说如果把购进原料A和B的总量下限 从350t增加到351t，那么总成本将加大，由800万增加到804 万。当然如果减少对原料A和B的总量的下限，那么总成本 将得到改进。
增加（减少）百分比均看作零； 2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过100%并不一定变化
； 3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边常数值同时变化
的情况。这种情况下，只有重新求解。
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
• 下面用“管理运筹学”软件来分析第二章的例2，其数学模型 如下：
表示与之相对应的资源已经全部用上。
– 对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的 最优值。
– 目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量 系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。
– 常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当约束 条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价 格不变。当前值是指现在的取值。
之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍是原
来几个线性方程的解）。
* 允许增加量 = 上限 - 现在值
c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25 * 允许减少量 = 现在值 - 下限
c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50 * 允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量
§1 “管理运筹学”软件的操作方法 §2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
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第三章 线性规划问题的计算机求解
随书软件为“管理运筹学”2.5版（Windows 版），是“管理运筹学”2.0版（Windows版）的 升级版。它包括：线性规划、运输问题、整数 规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规 划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生 成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径 、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层 次分析法，共15个子模块。
当约束条件2的常数项在负无穷到250范围内变化而其他约束条件的常数项不变时约束条件2的对偶价格不变仍为0当约束条件3的常数项在475700内变化而其他约束条件的常数项不变时约束条件3的对偶价格不变仍为1当约束条件中的常数项增加一个单位时最优目标函数值增加的数量称之为影子价格
第三章 线性规划问题的计算机求解
数，但不能是分数，要把分数先化为小数再输入；输入前先要合并同类项。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
• 第四步：点击“解决”按钮，得出计算过程。计算过程界面输出如下。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第五步：关闭计算过程界面，得出输出结果。本题的运行结果界面如下。
在管理运筹学2.5版软件中,线性规划问题的结果输出部分增加了线 性规划的逐步运算过程,将使读者更容易掌握线性规划计算的全过程, 为方便软件计算,本线性规划使用了大M法以及数值分析方法。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题中选用“线性规划”方 法。点击按钮弹出如下界面：
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第三步：点击“新建”按钮，输入数据。本题中共有2个变量，3个约束条件，目标函 数取MAX。点击“确定”后，在表中输入Cj,bi和aij等值，并确定变量的正负约束。 输入数值后的界面如下。在输入中要注意以下几点：输入的系数可以是整数、小
2. “管理运筹学”软件可以解决含有100个变量50个约束方程
的线性规划问题，可以解决工商管理中大量的问题。如 果想要解决更大的线性规划问题，可以使用由芝加哥大 学的L.E.Schrage开发的LINDO计算机软件包的微型计算 机版本LINDO/PC。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
1.软件使用演示：（演示例1） 第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学 2.5”，弹出主窗口。
例1.
目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
s.t. x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
目标函数：
Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
s.t. x1 + x2 ≥ 350
x1
≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0
从上图可知，当购进原材料A 250t，原料B 100t时，购进成本最低 ，为800万元。
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
• 在常数项范围一栏中，知道当约束条件1的常数项在300到 475范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对 偶价格不变，仍为-4；当约束条件2的常数项在负无穷到 250范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条 件2的对偶价格不变，仍为0；当约束条件3的常数项在475 到700范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束 条件3的对偶价格不变，仍为1。
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
第六步：分析运行结果。
– 本题中目标函数的最优值是27500，x1=50, x2=250。 – 相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策
变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。 – 松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。如果为零，则
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
• 注意：
1. 当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数 值增加的数量称之为影子价格。在求目标函数最大时， 当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增 加的数量就为改进的数量，所以影子价格等于对偶价格 ；在求目标函数值最小时，改进的数量就是减少的数量 ，所以影子价格即为负的对偶价格。
* 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
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§2“管理运筹学”软件的输出信息分析
例： c1 变为 74 , c2 变为 78, 则 (74 - 50) / 50 +解不 变。
b1 变为 315 , b3 变为 240, 则 (315 - 300) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对偶价 格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意： 1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量（减少量），其允许