2000年高考.江西、天津卷.理科数学试题及答案

2000年高考江西、天津卷
数 学(新课程卷/理工农医类)
一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把
集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是
（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭
⎫
⎝⎛-21 ,2
3 （D ）()3 ,1
（2） 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转
3
π
，所得向量对应的复数是
（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+
（3） 一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体 对角线的长是
（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-
③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()2
2
492323b a b a b a ==-⋅+
中，是真命题的有
（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ （5）函数x x y cos -=的部分图象是
（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税 款按下表分段累进计算：
（A ） 800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元 （7）若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=
()b a lg lg 21
+，R=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 （A ）R <P <Q （B ）P <Q <R
（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q （8）右图中阴影部分的面积是 （A ）32 （B ）329- （C ）
332 （D ）3
35 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比
是
（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ
241+
（10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是
（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）
x 33 （D ）x 3
3
- （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
q
p 1
1+等于 （A ）a 2 （B ）
a 21 （C ）a 4 （D ）a
4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA
绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为
（A
）32
1
arccos
（B ）21
arccos
（C ）21
arccos （D ）42
1arccos
二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横 线上。

（13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续
取出2件，其中次品ξ的概率分布是
（14）椭圆14
92
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的
动点，当21PF F ∠为钝角
时，点P 横坐标的取值范围是________。

（15）设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112
21=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2，
3，…），则它的通项公式是n a =________。

（16）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，
则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______。

（要求：把可能的图的 序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。

（17）（本小题满分10分）
甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。

甲、乙二人依次各抽一题。

（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（II
）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （18甲）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC -111C B A ，底面ΔABC 中，CA=CB=1，BCA= 90，棱
1AA =2，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点。

（I ）求BN 的长；
（II ）求1cos BA <，1CB >的值； （III ）求证M C B A 11⊥。

（18乙）（本小题满分12分）
如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=BCD ∠= 60。

（I ）证明：C C 1⊥BD ；
（II ）假定CD=2，C C 1=2
3
，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； （III ）当
1
CC CD
的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明。

（19）（本小题满分12分）
设函数()ax x x f -+=12，其中0>a 。

（I ）解不等式()1≤x f ；
（II ）求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数。

（20）（本小题满分12分）
用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

（21）（本小题满分12分）
（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常 数p 。

（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列
{}n c 不是等比数列。

（22）（本小题满分14分）
如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，
双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当4
3
32≤
≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

2000年高考江西、天津卷
数学试题（理工农医类）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

（1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分16分。

（13
（14）5
5<
<-
x （15）
n
（16）②③
三、解答题 （5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。

满分10分。

解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有1
6C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有1
4C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19C 个，所以甲抽到选择
题、乙依次抽到判断题的概率为15
4191101
416=C C C C ，所求概率为154
；
——5分
（II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C C
C ，故甲、乙二人中至少
有一人抽到选择题的概率为15
131191101314=-C C C C ，所求概率为1513。

或 +191101516C C C C +191101416C C C C 19
1101
614C C C C 151315415431=++=，所求概率为1513。

——10分
（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。

满分12分。

如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -。

（I ）解：依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1， ∴
()()()30110012
22=-+-+-=
——2分
（II ）解：依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B ()2 ,1 ,0。

∴ ()2 ,1 ,11-=BA ，()2 ,1 ,01=CB 。

⋅1BA 31=CB
6=5= ——5分
∴ <cos ⋅1
BA 3010
1
1=
=
>CB ——9分 （III ）证明：依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ⎪⎭
⎫
⎝⎛2 ,2
1 ,21
=A 1()2 ,1 ,1--，=C 1⎪⎭
⎫
⎝⎛0 ,2
1 ,21 ，
∴ ⋅A 1=C 1002
121=++-，∴⊥ 1
A C 1 ——12分
（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。

满分
12分。

（I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结O C 1。

∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥BD ，BC=CD 。

又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠， ∴ DC C BC C 11∆≅∆， ∴ D C B C 11=， ∵ DO=OB ，
∴ ⊥O C 1BD ， ——2分 但 AC ⊥BD ，AC ∩O C 1=O ， ∴ BD ⊥平面1AC 。

又 ⊂C C 1平面1AC ，
∴ ⊥C C 1BD 。

——4分 （II ）解：由（I ）知AC ⊥BD ，⊥O C 1BD ， ∴ OC C 1∠是平面角βα--BD 的平面角。

在BC C 1∆中，BC=2，2
3
1=
C C ， 601=∠BCC ， ∴ 41360cos 23222322
2
2
1=⨯⨯⨯-⎪⎭
⎫
⎝⎛+= B C 。

——6分
∵ ∠OCB= 30， ∴ OB=2
1
BC=1。

∴ 4
9141322121=-=-=OB B C O C ， ∴ 2
3
1=
O C 即C C O C 11=。

作H C 1⊥OC ，垂足为H 。

∴ 点H 是OC 的中点，且OH 2
3=， 所以 3
3
cos 11==
∠O C OH OC C 。

——8分 （III ）当
11
=CC CD
时，能使C A 1⊥平面BD C 1。

证明一： ∵
11
=CC CD
， ∴ BC=CD=C C 1，
又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠， 由此可推得BD=D C B C 11=。

∴ 三棱锥C- BD C 1是正三棱锥。

——10分 设C A 1与O C 1相交于G 。

∵ 11C A ∥AC ，且11C A ∶OC=2∶1， ∴ G A 1∶GO=2∶1。

又 O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形BD C 1的中心， ∴ CG ⊥平面BD C 1。

即 C A 1⊥平面BD C 1。

——12分 证明二：
由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，
∵ C A 1⊂平面1AC ，∴ BD ⊥C A 1。

——10分 当
11
=CC CD
时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1。

又 BD ∩1BC =B ，
∴C A 1⊥平面BD C 1。

——12分
（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的 数学思想方法和运算、推理能力。

满分12分。

解：（I ）不等式()1≤x f 即
ax x +≤+112，
由此可得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0>a 。

所以，原不等式等价于
()⎩⎨⎧≥+≤+0
,
1122x ax x
即 (
)
⎩⎨
⎧≥+-≥0
210
2
a x a x ——3分
所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-≤
≤2120|a a x x ； 当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x 。

——6分
（II ）在区间[)+∞,0上任取1x ，2x ，使得1x <2x 。

()()()212
2212111x x a x x x f x f --+-+=-
()2122
21
2
2211
1x x a x x x x --++
+-=
()⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++++-=a x x x x x x 1122212121。

——8分 （i ）当1≥a 时， ∵
11
122
2
1
2
1<++++x x x x ，
∴
01
122
21
2
1<-++
++a x x x x ，
又 021<-x x ， ∴ ()()021>-x f x f ，
即 ()()21x f x f >。

所以，当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调递减函数。

——10分 （ii ）当10<<a 时，在区间[)+∞,0上存在两点01=x ，2
212a a
x -=
，满足 ()11=x f ，()12=x f ，即()=1x f ()2x f ，所以函数()x f 在区间[)+∞,0上不是单调
函数。

综上，当且仅当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数。

——12分 （20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识。

满分12分。

解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()5.0+x m ，高为
()x x x 22.34
5.0448.14-=+--
由022.3>-x 和0>x ，得6.10<<x ，
设容器的容积为3ym ，则有
()()x x x y 22.35.0-+= ()6.10<<x 整理，得
x x x y 6.12.2223++-=， ——4分 ∴ 6.14.462++-='x x y ——6分 令0='y ，有
06.14.462=++-x x ， 即 0411152=--x x ， 解得 11=x ，15
4
2-
=x （不合题意，舍去）。

——8分 从而，在定义域（0，1，6）内只有在1=x 处使0='y 。

由题意，若x 过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y 值很小（接近0），因此，当1=x 时y 取得最大值
8.16.12.22=++-=最大值y ， 这时，高为2.1122.3=⨯-。

答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为38.1m 。

——12分
（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。

满分12 分。

解：（I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有
()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，
将n n n c 32+=代入上式，得
()[]
2113232n n n n p +-+++ =()[]()[]
112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ， ——3分 即 ()()[]2
3322n n p p -+-
=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ，
整理得 ()()0323261=⋅⋅--n n p p ， 解得 p =2或p =3。

——6分 （II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=
为证{}n c 不是等比数列只需证3122
c c c ⋅≠。

事实上， ()pq b a q b p a q b p a c 1122122121122
2++=+=， =⋅31c c ()()()2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++。

由于 q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，
因此，3122
c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列。

——12分 （22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。

满分14分。

解：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴。

因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称。

——2分
依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||2
1AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。

由定比分点坐标公式得
()()
122120+-=++-=λλλλc c c x ， λ
λ+=10h y 设双曲线的方程为12222=-b
y a x ，则离心率a c e =。

由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a
c e =代入双曲线方程得 14222=-b
h e ， ① 1112422
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b
h e λλλλ ② ——7分 由①式得 14222-=e b
h ， ③ 将③式代入②式，整理得 ()λλ21444
2+=-e ， 故 1
312+-=e λ。

——10分 由题设4332≤≤λ得，4
3231322≤+-≤e 。

解得 107≤≤e 所以双曲线的离心率的取值范围为[]10 , 7。

——14分。