如何用一元二次方程解决实际问题

解：设共有 x 人参加这次聚会．
1 根据题意得：2x（x－1）=45． 2 化简得，x －x－90＝0．
解得 x1＝10， x2＝－9 （不合题意， 舍去） ．
答：共有 10 人参加这次聚会．
小结 1．与此相类似的问题还有：多边形的对 角线、两人互通电话、下棋比赛等等．
2． 要注意与寄信等问题相区别， 前者需要 1 乘以2，而后者不需要．
总利润 （元）
800 1200
解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题 意，得
（40－x） （20＋2x）＝1200．
整理得：x －30x＋200＝0．
2
解得，x1＝10，x2＝20．
答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元．
例7 （2010南京）某批发商以每件50元的价格 购进800件T恤．第一个月以单价80元销售， 售出了200件；第二个月如果单价不变，预计 仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定 降价销售，根据市场调查，单价每降低1元， 可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格； 第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性 清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降 低x元．
例 3 在宽为 20 m、 长为 32 m 的矩形地 面上， 修筑同样宽的两条互相垂直的道 路，余下部分作为耕地，要使耕地面积 为 540 m ，道路的宽应为多少？
2
分析：如图所示，此题的相等关系是 2 矩形面积减去道路面积等于 540 m ．
20米
32米
解法一
设道路的宽为 x m，则横向的路面面积为 32x m 2，
B
B’
分析： 首先设出未知数， 其次再根据勾股定理列出方程．
解：设梯子的底端在地面上滑动的距离 BB′为 x m．
∵AB＝10 m，AC＝8 m， ∴根据勾股定理得： BC＝6（m） ．
A
根据题意，得（8－2）2＋（6＋x）2＝102A’ ．
．
化简，得 x2＋12x－28＝0．
B B’
解得 x1＝2， x2＝－14 （不合题意， 舍去） ． C 答：梯子的底端在地面上滑动的距离是 2 m．
纵向的路面面积为 20x m 2，道路面积为（32x＋20x－x2）m 2．
根据题意得：32× 20－ （32x＋20x－x2） ＝540．
化简得，x2－52x＋100＝0． 解得，x1＝2，x2＝50． 其中的 x＝50 超出了原矩形的长和宽，应舍去． 答：所求道路的宽为 2 m．
20米
32米
解法二：见下图，设路宽为 x m，则此时耕 地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕地矩 形的宽（纵向）为（20－x）m．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往 看到正解就保留，看到负解就舍去．其实， 即使是正解也要根据题设条件进行检验， 该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为 20 m、长为32 m”这个条件，从而进行正 确取舍．
（三）假设存在问题
例4 有一根长为 120 cm 的绳子．
2 2
（1）能否围成一个面积是 500 cm 的矩形？ （2）能否围成一个面积是 1000 cm 的 矩形？
（四）排列组合问题
例5 在一次聚会中，每两个参加聚会的人 都相互握了一次手，一共握了45次手，问 参加这次聚会的人数是多少？
分析：这是一个简单的排列组合问题，对这个问题， 我们可以作这样的假设：如果有 x 个人参加聚会，那么第 1 个人需要与除他自己以外的其他（x－1）个人握手，要 握（x－1）次手；第 2 个人也分别与其他（x－1）个人握 手，可握（x－1）次手；……；依此类推，第 x 个人同样 要与其他（x－1）个人握手，可握（x－1）次手,如此共有 x（x－1）次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进 1 行计算的．所以，按照题意，可得2x（x－1）=45 次手．
销售量（件） 200
解：设为了获利 9000 元，第二个月每件 T 恤的 售价应定为（80－x）元，即每件 T 恤降价 x 元， 根据题意得：
80×200 ＋（80－x） （200＋10x）＋[800－200－（200 ＋10x）] ×40－50×800＝9000． 2 整理得：x －20x＋100＝0． 解得，x1＝x2＝10．
根据题意得：x（60－x）＝500．
化简得， x2－60x＋500＝0． 解得 x1＝10，x2＝50． 当 x1＝10 时， 60－x1＝50；
当 x2＝50 时， 60－x2＝10．
答：长为 120 cm 的绳子能围成面积是 500 cm2 的矩形．
（2）如果矩形的面积是 1000 cm ，那么 根据题意得：x（60－x）＝1000． 2 化简得，x －60x＋1000＝0．
2．对于“增长率”问题，如人口的 减少、利率的降低、汽车的折旧等等， 都是在原来基数上减少，不能与一般 性的增加和减少相混淆．
（二）几何中面积、长度问题
例2 如图所示，一架长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶 A 端A处到地面的距离为8 m，如 A’ 果梯子的顶端沿墙面下滑2 m， 那么梯子的底端在地面上滑动 C 的距离是多少？
当 x＝10 时，80－x＝70＞50． 答：第二个月的单价应为 70 元．
【方法总结】
1．列方程解实际问题，一般分为审题、设未 知数、列方程、解方程、检验、写出答案这六 步进行，其中审题过程虽在草稿纸上进行，但 这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已 知条件和所求量，明确量与量之间的数量关系， 才能准确找出相等关系，列出方程．
【常见类型】
列一元二次方程解决实际问题的常见类型 有以下几种 （1）增长率问题 （2）几何中面积、长度问题 （3）假设存在问题 （4）排列组合问题 （5市为了解决市民看病难的问题， 决定下调药品的价格．某种药品经过 连续两次降价后，由每盒200元下调 至128元，求这种药品平均每次降价 的百分率是多少？
20米
32米
解法二 设路宽为 x m，则耕地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕 地矩形的宽（纵向）为（20－x）m．
根据题意得： （32－x） （20－x）＝540．
解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去） ．
（以下步骤同解法一）
20米
32米
小结 1．解法二和解法一相比更简单，它利用 “图形经过移动，它的面积大小不会改变” 的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使 列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于 实际施工，仍可按原图的位置修路）．
解：设这种药品平均每次降价的百分率 是 x．
根据题意，得 200(1－x) ＝128．
解得 x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去） ．
2
答：这种药品平均每次降价 20%．
小结 1. 列一元二次方程解应用题的一般步 骤与列一元一次方程解应用题一样， 所以列一元二次方程解应用题的一般 步骤也归纳为：审、设、列、解、检 验、答这六个步骤．
2
∵b －4ac＝（－60） －4× 1× 1000 ＝3600－4000＝－400＜0， ∴此方程没有实数解． 答： 长为 120 cm 的绳子不能围成面积 是 1000 cm 的矩形．
2
2
2
小结
解决存在性问题的一般步骤是：先 假设问题存在或成立，然后根据题意列 出方程求解．如果方程有解，就说明假 设成立；如果方程无解，则说明假设不 成立．
（1）填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 80 单价（元） 200 销售量（件） 清仓 40
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利 9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
分析：
时间 单价（元） 第一 第二个月 个月 80 80－x 200＋10x 清仓 40 800－200－ （200＋10x）
2．在列一元二次方程解实际问题时还要 注意一些关键的词语，如“多”、 “倍”、“差”、“提前”、“同时”、 “早到”、“迟到”、“增加几倍” 等． 3．在解决复杂问题时，我们可以借助于 列表格等辅助方式弄清题目中的数量关 系，列出方程．
4．一元二次方程是我们日常生活中解决许多 问题的有效模型，我们要善于利用列一元二次 方程求解这个数学模型解决实际生活中的各种 问题，并注意要根据实际意义进行解释和检验， 从中体会数学建模的思想方法．
（4）解：就是解方程，求出未知数的值； （5）检验：列方程解应用题时，要对所求 出的未知数进行检验，检验的目的有两个： 其一，检验求出来的未知数的值是否满足方 程；其二，检验求出的未知数的值是不是满 足实际问题的要求，对于适合方程而不适合 实际问题的未知数的值应舍去； （6）答：就是写出答案，其中在书写时还要 注意不要漏写单位名称．
（五）销售问题
例6 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 可销售出20件，每件盈利40元，经调查发 现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均 每天可多售出2件．若商场平均每天要盈 利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：这类销售问题，涉及的数量关系比 较多，我们可以通过列表的方式来分析其 中的数量关系． 每件衬衫 每天的销 的盈利 售量（件） （元） 降价前 降价后 20 20＋2x 40 40－x
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪 些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的 等量关系；
（2）设：是指设元，也就是设未知数； （3）列：就是列方程，这是非常重要的关 键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含 义的一个相等关系，然后列代数式表示相等 关系中的各个量，就得到含有未知数的等式， 即方程；
分析：在解决这一类存在问题时，一般 先假设面积是 500 cm 和 1000 cm 的矩 形存在，再根据题意列出方程求解．如 果方程有解，就说明符合条件的矩形存 在；如果方程无解，则说明符合条件的 矩形不存在．
2 2
解：设这根绳子围成的矩形的长是 xcm，则宽是 （60－x）cm． （1）如果矩形的面积是 500 cm2，那么