2021-2022学年上海市普陀区高二年级上册学期10月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市普陀区高二上学期10月月考数学试题
一、填空题
1．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是__．
【答案】1个或3个
【分析】根据平面的性质和公理即可求解.
【详解】三条直线两两相交，
若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个，
若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面．
综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个．
故答案为：1个或3个.
2．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________
【答案】相交或异面
【分析】分为共面和不共面，可确定两种位置关系.
,b c 【详解】若为异面直线，,a b //a c
当共面时，相交；当不共面时，异面
,b c ,b c ,b c ,b c 故答案为相交或异面
【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.
3．已知上海地处东经至，则上海所辖区域的经线对应的两半平面所成的二面角的大12052︒'12212︒'小是__．
【答案】.
120︒'【分析】根据经线的定义，可以直接得答案.
【详解】解：根据经线的定义可得经线对应的两半平面所成的二面角的大小为：-=12212︒'12052︒'.
120︒'故答为：.
120︒
'4．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．【答案】
【详解】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球,r R 334834273r R ππ=2
3r R =224449r R ππ=的表面积之比为．
4
9【解析】球的表面积，体积公式．
5_______．
【答案】4π
【分析】根据底面圆的半径求出圆锥的母线长，进而求出圆雉的侧面积.
【详解】设底面圆的半径为，圆锥的母线长为，则，因为其侧面展开图为一个
r l π2πl r ==半圆，所以.
2
π4π2l =故答案为：4π
6
．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建
1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
1DB (4,3,2)1AC 【答案】(4,3,2)
-【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
D 因为
的坐标为，所以,1DB (4,3,2)(4,0,0),(0,3,2)A C 所以.1(4,3,2)
AC =-
7．已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且，则三棱锥,1AC BC AC BC ⊥==的体积为_______.
O ABC -
【分析】作出直观图，根据几何关系求出球心到平面ABC 的距离即可求解.
【详解】∵，∴为等腰直角三角形，∴，
,1AC BC AC BC ⊥==ABC AB =
则外接圆圆心是AB 中点，半径为ABC 1O 1O B =
又球的半径为OB ＝1，设O 到平面的距离为d ＝，则ABC 1OO d =
∴
11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯=
8．如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且
，若将圆锥倒置，水面高为，h 1h 113h h =2h 则等于___________.
2h
【分析】由圆锥的体积公式列式求解
【详解】设容器底面半径为，则水的体积为，r 2232112119ππ()π333327V r h r h r h =-⨯=⨯倒置后水的体积
，23
21π()3h V r h h =⨯
解得，
2h =
9．如图，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，ABCD 60cm 再沿虚线折起，得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，,,,A B C D P 在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设．若要使包装,E F AB cm AE FB x ==盒的侧面积最大，则的值为__．
x
【答案】15cm
【分析】利用可分别表示出包装盒侧面高和底边长，进而将侧面积表示为关于的二次函数，由x x 二次函数性质可得结果.
【详解】，，，
cm AE FB x == 60cm AB =()602cm EF x ∴=-又阴影部分为等腰直角三角形，
，∴)()
602cm x -=
，
cm
包装盒侧面积
，∴()248240S x x ==-+当时，包装盒侧面积取得最大值.
∴()24015cm 16x =-=-故答案为：.
15cm 10．如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为1111ABCD A B C D -P 1A C BP 1AD ，则的最小值为______.
θθ
【答案】30
【分析】设正方体边长为，如图所示：连接，，，根据对称性知：，
11BC 1PC 1A B 1PB PC m ==计算
，
.PB ∈cos θ=≤【详解】设正方体边长为，如图所示：连接
，，，根据对称性知：，
11BC 1PC 1A
B 1PB P
C m ==在中，，，当时，根据等面积法
，1Rt
A BC 1BC =
1A B
=1A C =1PB A C ⊥PB =故
，
PB m
=∈
易知，故为异面直线与所成的角，
11//AD BC 1PBC ∠BP 1AD ，故
.cos θ==≤30θ≥︒故答案为：.
30︒【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
11．如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，a 1111ABCD A B C D -,P Q 1111,ABB A BCC B 在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是__．
R BD 3DR RB =,,P Q R
2【分析】根据题意，作出截面图形，进而求解即可.
【详解】取中点，中点，中点，中点，
AB E BC F 11B C G 11A B H
因为，所以截面为矩形，且
，，
3DR RB =EFGH EF =EH a =
.
2
.212．如图，直四棱柱
中，底面，四边形为梯形，，1111ABCD A B C D -1A A ⊥ABCD ABCD AD BC ∥且，过，，三点的平面记为，与平面的交点为．则此四棱柱被平面2AD BC =1A C D α1BB αQ 分成上、下两部分的体积之比为__．α
【答案】##117417
【分析】根据已知得出平面，即可得到，则，则点为11QBC A D DA 平面1QC A D 1QBC A AD Q 的中点，连接，，设，梯形的高为，，则，将四棱柱1BB QA QD 1AA h =ABCD d BC a =2AD a =被平面分成上下两部分的体积分别为
，，计算出与，即可得出，通过αV 上V 下1Q A AD V -Q ABCD V -V 下求出，即可得出答案.
1111A B C D ABCD V V V -=-下上V 上【详解】直四棱柱中，四边形为梯形，，
1111ABCD A B C D -ABCD AD BC ∥平面，
∴11QBC A D DA 平面平面与平面、平面的交线平行，
∴1A CD QBC 11A D DA ，
1QC A D ∴∥，
1QBC A AD ∴~ ，
1112BQ BQ BC BB AA AD ∴===为的中点，
Q ∴1BB 如图，连接，，设，梯形的高为，
QA QD 1AA h =ABCD
d 四棱柱被平面分成上下两部分的体积分别为
，，
αV 上V 下设，则，BC a =2AD a =则，
11112323Q A AD V a h d ahd -=⨯⨯⨯⨯=，
12113224Q ABCD a a V d h ahd -+=⨯⨯⨯=，
1712A A AD Q ABCD V V V ahd --∴=+=下又，
111132A B C D ABCD V ahd -= ，
1111371121212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd -∴=-=-=下上
则此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比．
α117V V =上下二、单选题
13．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是 ( )
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3【答案】C
【分析】根据斜二测画法的概念逐项分析即得.
【详解】对于①，由斜二测画法规则可知，角的水平放置的直观图一定是角，故①正确；对于②，由斜二测画法可知，直角可以变为或，故②错误；
45 135
对于③，由斜二测画法可知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度变为原来的一x y 半，故③错误；
对于④，由斜二测画法可知，两条平行线段在直观图中仍是平行线段，故④正确；
所以正确的个数是2.
故选：C.
14．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：m n αβ①若，，，则；
//m α//n β//αβ//m n ②若，，，则；
αβ⊥m β⊥m α⊄//m α③若，，，则；
m n ⊥m α⊥//αβ//n β④若，，，，则.其中正确的是（ ）
αβ⊥l αβ= //m αm l ⊥m β⊥A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④【答案】C
【解析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.
【详解】解：①：、也可能相交或异面，故①错
m n ②：因为，，所以或，αβ⊥m β⊥m α⊂//m α
因为，所以，故②对
m α⊄//m α③：或，故③错
//n βn β⊂④：如图
因为，，在内过点作直线的垂线，
αβ⊥l αβ= αE l a 则直线，a β⊥a l
⊥又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则//m αm ααb //m b
又，所以m l ⊥b l
⊥因为，，
a l ⊥
b l ⊥,b a αα⊂⊂所以，所以，故④对.
////b a m m β⊥故选：C
【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.
15．如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面P ABCD -PAD PAD ⊥，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是ABCD M ABCD MP MC =M ABCD （ ）
A
．B ．
C
．
D
．
【答案】B 【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线，即可求得点M 的轨迹
【详解】解：根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足PD DC =D M ABCD ”，
MP MC =设的中点为，
AB E 因为平面平面，平面平面，，平面，所以PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =AD AB ⊥AB ⊂ABCD 平面，
AB ⊥PAD 因为平面，所以，
AP ⊂PAD AB AP ⊥根据题目条件可得，所以和全等，
90PA CB AE BE PAE CBE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩PAE △CBE △所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，
PE CE =E M ABCD MP MC =故动点的轨迹肯定过点和点，
M D E 而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面，
M P C PC 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，
PC AC 所以的轨迹为线段，
M DE 故选：
B
16．平面过正方体的顶点，平面，平面，平面α1111ABCD A B C D -A //α11CB D α ABCD m =α ，则，所成角的正弦值为（ ）
11ABB A n =m n
A B C D ．13
【答案】A 【分析】根据面面平行证明线线平行，利用几何法求得线线角.
【详解】由平面，平面，平面平面，平面//α11CB D α ABCD m =11CB D ⋂111111A B C D B D =平面，1111//
A B C D ABCD 则11
//m B D 同理，
1//n CD
所以即为直线，所成角，
11CD B ∠m n 又由正方体可知是正三角形，所以
，11CB D 1160CD B ∠=︒
则，所成角的正弦值为
m n sin 60︒=故选：．
A 三、解答题
17．试写出直线与平面垂直的性质定理，画出图形并证明.（证明过程包括已知，求证和证明）
【答案】答案见解析
【分析】利用反证法证明即可.
【详解】直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
已知：、是两条直线，且，．
a b a α⊥b α⊥
求证：．
//a b
证明：用反证法．
设与不平行，直线与平面的交点为．
a b b αB 过点作直线，使得．由直线与确定的平面记为，
B b '//b a 'b b 'β设平面与平面的交线为．因为，，所以，；
βαl a α⊥b α⊥a l ⊥b l ⊥由，又可得出．直线与都在平面上，都过点，
//b a 'b l '⊥b b 'βB 且都垂直于直线，
l 这与“在同一个平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．
由此得到．
//a b 18．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，P 1OO O AB O 1OO 20π，.
=2OA 120AOP ∠=︒
(1)求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
1A B AP (2)由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达
，求绳长的最小值.A 1B
【答案】(1)
【分析】（1）由已知，延长交圆于，连接，从而得到四边形为平行四边形，根据
PO C BC APBC
，将异面直线与所成角转化为与所成角，然后利用余弦定理可知接求解；
AP BC ∥1A B AP 1A B BC （2）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点到达
的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求
A 1
B 解即可.【详解】（1）
已知圆柱的表面积为，则圆柱的高为3，
1OO 20π延长交圆于，连接，
PO C BC 因为四边形的对角线互相平行，所以为平行四边形，
APBC APBC 则，异面直线
与所成角即与所成角.AP BC ∥1A B AP 1A B BC 在中，，
；1ACB △1A C
=CB =1
5A B =，
2221111cos 2A B
CB A C A BC A B CB +-∠==⋅所以1
A BC ∠=即异面直线与所成角为
.1A B
AP （2）将圆柱的侧面沿母线剪开，并展开在一个平面上，
1AA 求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线，
.
19．某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD 是矩形，
AB ＝16米，AD ＝4米，DE ＝AE ＝BF ＝CF ，腰梁AE 、BF 、CF 、DE 分别与相交的底梁所成角均为60°．
(1)请指出所有互为异面且相互垂直的“梁”，并说明理由；
(2)若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米的粮食？
【答案】(1)所以腰梁与、与互为异面且相互垂直的“梁”，理由见解析.
BF DE AE CF
【分析】（1）根据异面直线所成角的概念，过点E 作EK FB 交AB 于点K ，则为异面直线//DEK ∠DE 于FB 所成角，然后通过求解三角形即可得到，同理可得.
DE BF ⊥AE CF ⊥（2）要求原多面体的体积，可以把原多面体分割成两个全等的四棱锥和一个直棱柱，然后利用柱体和锥体的体积即可得出答案.
【详解】（1）如下图，过点E 作EK FB 交AB 于点K ，则为异面直线DE 于FB 所成角，//DEK ∠
因为DE ＝BF ＝4，与所成角均为60°， 中，因
,EA EK AB 4,AK DK ∴=∴=DEK 为，所以，即，同理.所以腰梁
222224432DE EK DK +=+==90DEK ∠=︒DE BF ⊥AE CF ⊥与、与互为异面且相互垂直的“梁”.
BF DE AE CF
（2）如上图，过点分别作于点，于点，连接，则平面，E EM AB ⊥M EN CD ⊥N MN AB ⊥EMN 因为平面，所以平面平面，过点作于点，则平面AB ⊂ABCD ABCD ⊥EMN E EO MN ⊥O EO ⊥
，由题意得，，，为ABCD 4AE DE AD ===4cos 602AM DN ==︒=EM EN ==O
中点，所以，即四棱锥的高为，同理，再过点分别作于MN EO =E AMND -F FP AB ⊥点，于点，连接，原多面体被分割成两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且P FQ CD ⊥Q PQ ，所以多面体的体积为：
162212MP =--=
11222441232E AMND PQF MNE V V V --=+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
立方米的粮食.
20．图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.
【答案】(1)见详解；(2) .
30 【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以ABED Rt ABC BFGC ，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所//AD BE //BF CG E F AB BCGE 以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发B CG A --B GC 现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.
A CG 【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.
//AD BE //BF CG E F ，A ，C ，G ，D 四点共面.
∴//AD CG 又.
,AB BE AB BC ⊥⊥ 平面BCGE ，平面ABC ，平面ABC 平面BCGE ，得证.
AB ∴⊥AB ⊂ ∴⊥
(2)过B 作延长线于H ，连结AH ，因为AB 平面BCGE ，所以BH GC ⊥⊥AB GC
⊥而又，故平面，所以.又因为所以是二面角BH GC ⊥GC ⊥HAB AH GC ⊥BH GC ⊥BHA ∠的平面角，而在中，又因为故，所以B CG A --BHC △90BHC ∠= 60FBC ∠= 60BCH ∠=
.
sin 60BH BC =
而在中,的度数为.ABH 90ABH ∠= tan AB BHA BH ∠===B CG A --30
【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．
21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与P ABCD P ABCD AC 的交点，已知，是等边三角形.
BD O 60BAD ∠=︒PDB △
(1)求证：；
AC PD ⊥(2)求点到平面的距离；
D PBC (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大
E AD E PE PBC 角，并说明点此时所在的位置.
E 【答案】(1)证明见解析；
(3)，在线段上靠近点的处.
4arcsin 5E AD D 1
4【分析】（1）由题可得平面，故.根据菱形的性质可得，再根据线PO ⊥ABCD PO ⊥AC BD ⊥AC 面垂直的判定定理与性质定理即可证明；
（2）根据题干数据结合即可求解；
D PBC P BDC V V --=（3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面AD ∥PBC
E PBC D 的距离，过作垂线平面交于点，要使最大，则需使最小，此时PBC h E E
F ⊥PBC F θPE ，从而可求解.
PE AD ⊥【详解】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.P ABCD AC BD O PO ⊥ABCD 因为平面,所以.
AC ⊂ABCD PO ⊥AC 因为四边形为菱形，所以.
ABCD BD ⊥AC 因为平面,
,,PO BD O PO BD ⋂=⊂PBD 所以平面.
AC ⊥PBD 因为平面，所以.
BD ⊂PBD AC PD ⊥（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
ABD △BCD
△PBD △所以,.
PO AO CO ==
=122BDC S
=⨯=△
所以PC ==因为,所以
2BP BC ==12PBC S ==△设点到平面的距离为，
D PBC h 由得，
D PBC P BDC
V V --
=113
3PBC BDC S h S OP ⋅=⋅△△
.
h =故点到平面D PBC （3）设直线与平面所成的角为，平面，
PE PBC θAD BC AD ⇒∥∥ PBC
∴到平面的距离即为到平面的距离.
E PBC D PBC h 过作垂线平面交于点，则，
E E
F ⊥PBC F EPF θ=∠
此时要使最大，则需使最小，此时.
sin EF PE θ==θPE PE AD ⊥
经计算得，
，则，PE =1=2DE 44sin arcsin 55θθ=⇒=此时在线段上靠近点的处.E AD D 1
4。