广东省深圳市普通高中学校2018届高考高三数学3月月考

2018高考高三数学3月月考模拟试题01
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集}{
1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,2,4A B ==，则()
U A B =ð
（A ）{}1,2 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4 （D ）{}1,2,3,4
【答案】B
因为{}{}1,2,2,4A B ==，所以{34}U A =，ð，即()U A B =ð}{=2,3,4，选B.
（2）2
i 1-i
=为虚数单位,则 （A ）1+i （B ）-1+i
（C ）1-i
（D ）-1-i
【答案】A
22(1)2(1)11(1)(1)2
i i i i i i ++===+--+，选A. （3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A ）1
（B ）
13 （C ）12
（D ）32
【答案】B
由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为11=1⨯，使用四
棱锥的体积为11
1133
⨯⨯=
，选B. （4）右图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的
分数的茎叶图，则去年一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
（A ）84，4.84 （B ）84，1.6 （C ）85，1.6 （D ）85，4
【答案】C
数据中的最高分为93，最低分为79.所以平均分为1
84(23)855
+
+=，方差为22
21
[3(8485)
(86
85)
(8785)] 1.65
-+-+-=，所以选
C. （5）已知向量(1,2)=a ，(,6)x =b ，且a ∥b ，则x 的值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【答案】C
因为a ∥b ，所以1620x ⨯-=，解得3x =，选C.
（6）执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数
为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C
由题意知221,2log ,2
x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩。

当2x ≤时，由213x -=，得2
4x =，解得
2x =±。

当2x >时，由2log 3x =，得8x =，所以输入的实数x 值的
个数为3个，选C.
（7）已知不等式2x x ++≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 （A ）a ＜2 （B ）a ≤2
（C ）a ＞2
（D ）a ≥2
【答案】D
因为2x x ++的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有2a ≥，选D. （8）已知{}n a 为等差数列，若34899,a a a S ++==则 （A ）24 （B ）27 （C ）15
（D ）54
【答案】B
在等差数列中，由3489a a a ++=得13129a d +=，即1543a d a +==，所以
19599()92923
27222
a a a S +⨯⨯⨯=
===，选B. （9）函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，ϕ＜
π
2
的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象 （A ）向右平移
π
4个单位长度 （B ）向左平移π
4
个单位长度
（C ）向右平移π
12个单位长度 （D ）向左平移π
12
个单位长度
【答案】C
由图象可知，51,
41246T A πππ==-=，即223T ππω
==，所以3ω=，所以()sin(3)f x x ϕ=+，又555()s i n (3)s i n ()1
12124
f πππ
ϕϕ=⨯+=+=-，所以532,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又ϕ＜π2
，所以4πϕ=，即()s i n (3)
4
f x x π
=+。

因为()sin 3sin(3)sin[3()]44124g x x x x ππππ==-+=-+，所以只需将()f x 的图象向右平移π
12
个单位长度，即可得到()sin3g x x =的图象，选C.
（10）圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ∶12F F ∶
2PF =4∶3∶2，则曲线C 的离心率为
（A ）2332或 （B ）2
23或 （C ）1
22
或
（D ）1322
或
【答案】D
因为1PF ∶12F F ∶2PF =4∶3∶2，所以设14,PF x =123F F x =，22,0PF x x =>。

若
曲线为椭圆，则有124262,PF PF x x x a +=+==1232F F x c ==，所以椭圆的离心率
为
231
262
c x a x ==。

若曲线为双曲线，则有
124222,PF PF x x x a -=-==1232F F x c ==，
所以椭圆的离心率为233
222
c x a x ==。

所以选D.
（11）2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项
目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有 （A ）20种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种 【答案】B
若甲单独一组，则有12223212C C A =种。

若甲不单独一组，则112
32212C C A =，所以不同的安排
方案共有24种，选B.
（12）定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时， ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩
则关于x 的
函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为 （A ）1-2a
（B ）21a
-
（C ）12
a
--
（D ）2
1a
--
【答案】A
当01x ≤<时，()0f x ≤。

当1x ≥时，函数()1|3|f x x =--，关于3x =对称，当1x ≤-时，
函数关于3x =-对称，由()()0F x f x a =-=，得(),y f x y a
==。

所以函数()()F x f x a =-有5个零点。

当10x -≤<，时，01x <-≤，所以
122
()log (1)log (1)f x x x -=-+=--，即2
()l o g (1)f x x =-，10x -≤<。

由2()l o g (1)f x x a =-=，解得12a x =-，因为函数()f x 为奇函数，所以函数
()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为12a x =-，选A.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y bx a =+ ∧∧∧中的b ∧
为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售
额为 （万元）. 【答案】73.5
由图可知， 4.5,35x y ==，代入回归方程7y x a =+得， 3.5a =，所以回归方程为
7 3.5y x =+，所以当10x =时，710 3.573.5y =⨯+=。

（14）设6
sin (a xdx,π
=
⎰
则二项式的展开式中的常数项等于 .
【答案】160-
sin =cos 2
a xdx x
π
π
=-=⎰，所以二项式的展开式
为
663166(((1)2k
k k k k
k k k T C C x ---+==-⋅⋅，由30k -=时，3k =，所以常数项为33
346(1)2160T C =-⋅=-。

（15）设实数x ，y 满足约束条件2220,
20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪
-≥⎨⎪+--≤⎩
，则目标函数z x y =+的最大值
为 .
【答案】4
由z x y =+得y x z =-+。

作出不等式对应的区域，平移直线y x z =-+，由图象可知，当直线y x z =-+与圆在第一象限相切时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大。

直线与圆
的距离d =
=4z =±，所以目标函数z x y =+的最大值是4。

（16）定义平面向量的一种运算：||||sin ,⊗=⋅a b a b a b ，则下列命题：
①⊗=⊗a b b a ；②()()λλ⊗=⊗a b a b ；③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ； ④若a =11221221(,),(,),||x y x y x y x y =⊗=-则b a b . 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④
由定义可知||||sin ,⊗=⋅=⊗b a b a a b a b ，所以①正确。

②当0λ<时，
,,a b a b λπ<>=-<>，所以()||||sin ,||||sin ,λλλλ⊗=⋅=-⋅a b a b a b
a b a b ,
而()||||sin ,λλ⊗=⋅a b a b a b ，所以②不成立。

③因为a b +的长度不一定等于
a b +，所以③不成立。

④2222222()||||sin ,||||(1cos ,)⊗=⋅<>=⋅-<>a b a b a b a b a b
22222||||||||cos ,=⋅-⋅<>a b a b a b
222222222112212121221||||()()()()()a b x y x y x x y y x y x y =⋅-⋅=++-+=-a b ，
所以1221||x y x y ⊗=-a b ，所以④成立，所以真命题是①④。

三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）
已知向量,cos ),(sin ,cos ),4444
x x x x
==m n 函数()f x =⋅m n . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足1
cos ,2
a C c
b +
=求(2)f B 的取值范围.
（18）（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．的随机抽取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为x ，第二次抽取卡片的标号为y .设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,),x x y --记2||OP ξ=.
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望.
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,DAB ∠为直角，AB ∥
CD ，2,,AD CD AB E F ==分别为,PC CD 的中点.
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面BEF ；
（Ⅱ）设(PA kAB k =＞0，且二面角E BD C --的大小为30，求此时k 的值. （20）（本小题满分12分）
某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克.若做广告宣传，广
告费为n （*
N n ∈）千元时比广告费为（1n -）千元时多卖出
2n
b
千克. （Ⅰ）当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量s ；
（Ⅱ）试写出销售量s 与n 的函数关系式；
（Ⅲ）当50,200a b ==时，要使厂家获利最大，销售量s 和广告费n 分别应为多少？ （21）（本小题满分13分）
已知椭圆C 的离心率e =
12(2,0),(2,0)A A -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线1x my =+与椭圆C 交于R ，Q 两点，直线1A R 与2A Q 交于点S .试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由. （22）（本小题满分13分） 已知函数()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ， （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：ln 2ln 334++…ln 1n n ++＜(1)
4
n n -（,n N n ∈＞1）.
参考答案。