边际分析与弹性分析

并 说 明 其 经 济 意 义.
（二）弹性分析
1.相对改变量、相对变化率
定义： 设函数y f(x)在x x0处可导， 函数的相对改变量
y f ( x0 x) f ( x0 ) ,与自变量的相对改变量x 之比
y0
f ( x0 )
x0
y x
/ /
y0 x0
称 为f
( x)从x0到x0
x两 点 间 的 平 均 相 对 变 化率 或
L(Q)取最大值必要条件：L'(Q) 0,即R'(Q) C'(Q)
(边际收益＝边际成本）
充分条件：L''(Q) 0,即R''(Q) C''(Q)
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R'(Q) C'(Q) , R''(Q) C''(Q)
略:3、常见函数的弹性：
(1) f ( x) C的弹性EC 0； Ex
ln ax
(6) f ( x) sin x的 弹 性E(sin x) x cot x; Ex
f ( x) cos x的 弹 性E(cos x) x tan x. Ex
4、弹性的四则运算：
1. E( f ( x) g( x))
f ( x) Ef ( x) g( x) Eg( x)
Ex
Ex tan
A
）
o
（
x
在曲线上任一点A处对应的弹性,只要过A点作曲线的 切线与线段OA,它们与x轴夹角的正切值之比即所求。
两 点 间 的 弹 性。
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(
x)在x
0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则 Ey x y' x f '(x) Ex y f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
Ex ;
Ex
f (x) g(x)
2. E( f ( x) g( x)) Ef ( x) Eg( x) ;
Ex
Ex Ex
E f (x)
3. g( x) Ef ( x) Eg( x)
Ex
Ex Ex
5、弹性的图解法：
y' tan tan( ) y
f ( x) tan
x
Ey tan Ex tan | Ey | tan
例2 某工厂总利润函数为L(x) 250x - 5x2 , x为产量
(单 位 ： 吨)， 求 每 月 产 量 分 别 为20，25，30吨 时 的 边 际 利润， 并作经济解释。
例3 设巧克力糖每周的需求量Q(公斤)是价格p(元)的函数,
Q
f ( p)
1000 (2 p 1)2
,求p 10时,巧克力糖的边际需求量
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
例5：设某商品需求函数 Q f (p) 12 p 试求：
2
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？ (2)p=14时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？ (3) p为何值时总收益最大，最大收益为多少？
最大利润原则：设L(Q)=R(Q)-C(Q)
(2) f ( x) ax b的弹性E(ax b) a x ；
Ex
ax b
(3) f ( x) ax的 弹 性E(ax ) ；
Ex
(4) f ( x) bax的 弹 性E(bax ) x ln a;
Ex
(5) f ( x) b ln ax的 弹 性E(b ln ax)
1 ;
Ex
Ex
Ey c
Ex
则称y=f(x)为不变弹性函数
(三)经济学中常见的弹性函数：
1.需求弹性 2.供给弹性 3.收益弹性
1.需求弹性：设需求函数Q=f(p)在 p处可导， 则在p处需求弹性为
EQ (p) p Q
Ep
Q
经济含义：Q＝f(p)在p处， 价格每增加1％,需求减少 (p) % ，
价格每减少1％需求增加 (p) %
2.供给弹性：设供给函数p处可导， 则在p处供给弹性为
(p)
Байду номын сангаас
p
Q
经济含义：Q＝f(p)在p处，
Q
价格每增加1％,供给增加 (p) %
价格每减少1％,供给减少 (p) %
3.收益弹性
ER 呢？ EQ
ER R'(p) p (pQ)' p 1 Q' p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
Q
R'(p) Q pQ' Q(1 (p))
六、边际分析与弹性分析
（一）边际分析 （二）弹性分析
（一）边际分析
1.边际概念：设y=f(x)可导，则f '( x) 称为边际函数。
f '( x0 ) 表示x在 x0 处改变一个单位时，y近似改变了
f '(x0 )
边际成本 C'(Q) ：在产量为Q时，再多生产一单位产 品所需的成本。 边际收益R'(Q) ：在销量为Q时，再多出售一单位产 品所得的总收益。
边际利润 L'(Q) ：在销量为Q时，再多生产一单位产 品所得的总利润。
L'(Q) R'(Q) C'(Q)
边际需求 f '(P) ：在价格为P水平下，价格再提高一
单位引起需求的变化。
边际供给'(P) ：在价格为P水平下，价格再提高一
单位引起供给的变化。
例1 设某产品生产Q单位的总成本为
C(Q) 1000 7Q 50 Q (1)生 产100个 单 位 时 总 成 本 和 平 均成 本 (2)生 产100个 单 位 到225个 单 位 时 总 成 本 的 平 均变 化 率 (3)生 产100个 单 位 的 边 际 成 本, 并 解 释 其 经 济 意 义 (4)若 政 府 征 收 固 定 税 收,问 固 定 税 收 对 边 际 成 本有 没 影 响?
(1) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%, 收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%, 收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1 总收益最大
例4：设某商品的需求函数为Q=
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性