湖北省武汉市新洲区部分高中2019届高三第一学期末质量检测(理科)数学(扫描有答案)

新洲区部分高中2019届高三第一学期末质量检测
数学(理科)参考答案
选择题
1. D
2. B
3. B
4. A
5. A
6. B
7. A
8. C
9. B 10. B 11. C 12. B
填空题
1.
2. --160
3. 70
4. ①③④
解答题
17. （1）因为，，成等差数列．
所以，
由正弦定理得，
即，
而，
所以，
由，得…………………………………………….6分
（2）因为，
所以，
又，，
所以，
即，
所以．………………………………………12分
18. （1）解法一：在题图所示的中，设，则
由，知，为等腰直角三角形，所以
由折起前知，折起后（如题图），，，
且，所以平面．……………………………………………………….3分
又，所以
于是
当且仅当，即时，等号成立，
故当，即时，三棱锥的体积最大………………………………………..6分解法二：同解法一，得
令
由
且，解得．当时，，当时，．所以当时，取得最大值．故当时，三棱锥的体积最大．（2）解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）知，当三棱锥的体积最大时，
于是可得
且．设，则．因为等价于，
即
故
所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．
设平面的一个法向量为，由
得．可取．设与平面所成角的大小为，则由可得
即，故与平面所成角的大小为．……………………………….12分
解法二：由（1）知，当三棱锥的体积最大时，
如图，
取的中点，连接，则．
由（1）知平面，所以平面．如图，
延长至点使得，连接，则四边形为正方形，所以．取的中点，连接，又为的中点，则，所以．
因为平面，又平面，所以．又，
所以平面．又平面，所以．
因为，当且仅当，而点是唯一的，所以点是唯一的．
即当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．
连接，由计算得
所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图所示，
取的中点，连接，则平面．
在平面中，过点作于，则平面．
故是与平面所成的角．在中，易得
所以是正三角形，故
即与平面所成角的大小为. (参照解法一给分)
19. （1）易知，，，所以，，
设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值；当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．……………………………5分（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，，，联立
消去，整理得，所以
由得
或
又
所以
又
因为，即，所以
故由①，②得
或…………………………………………….12分
20.（1）……………………………………………………………………….2分
（2）的取值：，，，，
，，，，
其分布列为
………………………………………………..8分
（3）4:1获胜的概率
4:2获胜的概率
4:3获胜的概率
所以林高远获得冠军的概率为………………………………………..12分
21.（1）定义域为，
，由有：，函数
在，上单调递增，在（，）上单调递减，的极大值为…………………………………………..4分
（2）设，，不妨设，，所以
又，由，在定义域内恒成立，又，所以
，，
即，
构造函数
所以，所以在，上恒成立，又
所以恒成立，又
只需要
所以…………………………………………………………………………………..12分
22. （1）由曲线的极坐标方程，得，
所以曲线的直角坐标方程是．
由直线的参数方程得，
代入中，消去得，
所以直线的普通方程为．……………………………………5分
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，设，两点对应的参数分别为，，则，，
所以．
因为原点到直线的距离，
所以的面积是．………………………………..10分
23. （1）当时，，即，
原不等式等价于，
解得，故不等式的解集为．…………………………….5分
（2），原不等式等价于，
由三角绝对值不等式的性质，得，
原不等式等价于，又，
所以，解得……………………………………………………………………………10分。