高中数学 3.3《指数函数》课件(1) 北师大版必修1

规律方法 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指 数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指 数函数图像的变化规律来判断． (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同 底的两个幂，或者通过中间值来比较．
【训练 2】 求下列函数的定义域与值域；
(1)y＝
；(2)y＝23 ；(3)y＝
解 (1)令 x－4≠0，得 x≠4，∴定义域为{x|x∈R 且 x≠4}．
∵x－1 4≠0，∴
≠1，∴y＝
的值域为{y|y＞0 且
y≠1}．
(2)定义域为 R.
故 y＝23－|x|的值域为{y|y≥1}． (3)定义域为[2，＋∞)．
【示例】 若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|＋1(a＞0 且 a≠1)的 图像有两个公共点，求 a 的取值范围． [思路分析] 本题涉及两个函数图像的交点，需作出图像，根据 交点的个数，讨论 a 的取值范围．
解 当 a＞1 时，通过平移变换和翻折变换可得(实线)，由图可
知 1＜2a＜2，即12＜a＜1，与 a＞1 矛盾；
(2)函数 y＝ax 的图像与函数 y＝a－x 的图像关于 y 轴对称，y＝ax 的图像与 y＝－ax 的图像关于 x 轴对称，函数 y＝ax 的图像与 y ＝－a－x 的图像关于坐标原点对称． (3)使用指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的单调性时，要首先讨论 底数 a 与 1 的关系． 当 a＞1 时，y＝ax 在 R 上单调递增，且 x＞0 时，ax＞1；当 x ＝0 时，ax＝1；当 x＜0 时，0＜ax＜1； 当 0＜a＜1 时，y＝ax 在 R 上单调递减，且 x＞0 时，0＜ax＜1； 当 x＝0 时，ax＝1；当 x＜0 时，ax＞1. 单调性是指数函数最重要的一个性质，运用此性质可以求与指 数函数有关的函数的值域、单调区间．
规律方法 本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有 关．根据指数函数的ห้องสมุดไป่ตู้义域为 R，值域为(0，＋∞)，结合前一 章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的定义 域和值域．在求解中要注意正确运用指数函数的单调性．在求 值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数 的值域为(0，＋∞)．
②左右平移(b＞0) y＝f(x)的图像― 向b―个左―单平――位移→ y＝f(x＋b)的图像． y＝f(x)的图像―向b―个右――单平―位移―→ y＝f(x－b)的图像．
(2)对称变换： y＝f(x)的图像――关―于――y―轴―对――称―→ y＝f(－x)的图像． y＝f(x)的图像――关―于――x―轴―对――称―→y＝－f(x)的图像． y＝f(x)的图像――关―― 于―原―― 点―对―称――→y＝－f(－x)的图像．
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像和性质
a＞1
0＜a＜1
图像
定义域 值域
R (0，＋∞)
过定点
过点 (0,1)，即x＝ 0 时，y＝ 1 。
性 函数值的 当x＞0时， y＞1 ； 当x＞0时，0＜y＜1； 质 变化 当x＜0时，0＜y＜1。 当x＜0时， y＞1 。
单调性 是R上的 增函数 。 是R上的 减函数 。
§3 指数函数 3．1 指数函数的概念 3．2 指数函数 y＝2x 和 y＝( 12x)的图像和性质 3．3 指数函数的图像和性质
【课标要求】 1．理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数． 2．掌握指数函数的图像和性质． 【核心扫描】 1．指数函数的概念和性质及其应用．(重点) 2．指数函数性质的归纳、概括及其应用．(难点) 3．指数函数中的数形结合思想．(方法)
规律方法 指数函数的结构特点： (1)系数为 1，(2)底数为不等于 1 的正数，(3)指数只有 x.因此， 判断一个函数是否为指数函数，只要看是否符合这几个特点．
【训练 1】 指出下列函数哪些是指数函数： (1)y＝3x；(2)y＝x3；(3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x；(5)y＝πx；(6)y＝ (4x)2；(7)y＝xx；(8)y＝(6a－3)x(a＞12且 a≠23)．
解 (1)、(5)、(6)、(8)为指数函数；(2)底数不是常数，故不是 指数函数；(3)是－1 与指数函数 3x 的乘积；(4)中底数－3＜0， 故不是指数函数；(7)中底数 x 不是常数，故(2)(3)(4)(7)均不是 指数函数．
题型二 定义域、值域问题
【例 2】 求下列函数的定义域和值域：
【 解 题 流 程 】 作出y＝2x的图像 → 左右平移作第1题图像 → 上下平移作第2题图像 → 对称变换作第3题图像
[规范解答] (1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝2x …
1 8
1 4
1 2
1248…
根据上表中 x，y 的对应值在直角坐标系中描点作图如图：(3 分) 函数 y＝2x－2 的图像可以由 y＝2x 的图像向右平移 2 个单位得到， 函数 y＝2x＋1 的图像可以由 y＝2x 的图像向左平移 1 个单位得 到．(6 分)
(2)函数 y＝2x＋1 的图像可以由 y＝2x 的图像向上平移 1 个单位 得到，函数 y＝2x－2 的图像可以由 y＝2x 的图像向下平移 2 个 单位得到．(9 分) (3)函数 y＝2－x 的图像由 y＝2x 的图像关于 y 轴对称后得到；函 数 y＝－2x 的图像由 y＝2x 的图像关于 x 轴对称后得到；函数 y ＝－2－x 的图像由 y＝2x 的图像关于原点对称后得到．(12 分)
所以函数 y＝ 的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，
值域为{y|y＞0，且 y≠1}．
(2)设 u＝－x2＋2x＋8，则 u＝－(x－1)2＋9≤9.
因为 y＝12u 在(－∞，9]上是减函数，
所以12u≥129＝5112，
所以 y＝
的定义域为 R，
值域为y|y≥5112.
(3)y＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2. 因为 2x＞0，所以 2x＋1＞1，所以(2x＋1)2＞1， 所以 y＝4x＋2x＋1＋1 的定义域为 R，值域为(1，＋∞)．
题型一 指数函数的概念 【例 1】 函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，求 a 的值． [思路探索] 按照指数函数的形式特点，列出参数 a 满足的条件 进行求解．
解 由 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，可得 a2－3a＋3＝1， a＞0且a≠1， 解得aa＝ ＞10或 且aa＝ ≠21， ， 即 a＝2.
【题后反思】 指数函数图像的平移与对称可以推广到任意函数 f(x)．理解好图像之间的如下几种变换，对我们掌握函数图像的 形状与性质大有帮助． (1)平移变换： ①上下平移(b＞0) y＝f(x)的图像―向b―个上―单平――位移→ y＝f(x)＋b 的图像． y＝f(x)的图像―向b―个下―单平――位移→ y＝f(x)－b 的图像．
∵ x－2≥0，∴y＝
≥1，值域为[1，＋∞)．
题型三 利用指数函数的单调性比较大小 【例 3】 比较下列各组数的大小；
[思路探索] (1)利用函数 y＝56x 的单调性比较；(2)利用函数 y ＝1πx 的单调性比较；(3)可以分别与 1 比较大小．
(2)考察函数 y＝1πx. ∵0＜1π＜1， ∴函数 y＝1πx 在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－π＜0，∴1π－π＞1π0＝1.
(4)利用指数函数的单调性知 4.54.1＞4.53.6， 又∵4.53.6＞0,3.73.6＞0，∴43..5733..66＝43..573.6， ∵43..57＞1,3.6＞1， ∴43..573.6＞1，从而 4.53.6＞3.73.6， ∴4.54.1＞3.73.6.
题型四 指数函数的图像问题 【例 4】 (本题满分 12 分)先作出函数 y＝2x 的图像，再通过图 像变换作出下列函数的图像： (1)y＝2x－2，y＝2x＋1； (2)y＝2x＋1，y＝2x－2； (3)y＝－2x，y＝2－x，y＝－2－x.
当 0＜a＜1 时，同样通过平移变换和翻折变换得到图像(虚线)，
由图可知 1＜2a＜2，即12＜a＜1.
∴当直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|＋1 的图像有两个交点时，a
的取值范围是a12＜a＜1
.
方法点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时 要注意分类讨论；(2)根据条件确定直线 y＝2a 与图像的位置关 系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其求解过程 体现了数形结合思想在处理函数图像的交点时的应用．
解析 由 1＞n＞m＞0，有图像必在 C、D 中选，可在 x＝1 处 作一条 x 轴的垂线，与①、②分别交于两点 A、B，则 A(1，m)， B(1，n)．由于 n＞m.故 B 点在上方，故选 C. 答案 C
方法技巧 指数函数中的数形结合思想 数学的本质是数与形的统一，数形结合的思想始终是数学研究 中最重要的思想方法之一．研究和应用指数函数的性质，图像 是个有力的工具；并且，由于这类函数的图像比较单一，也容 易画出，因此，利用它的图像进行比较大小、讨论方程根的情 况的题目比较普遍．
自学导引 1．指数函数的概念 一般地， 函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 叫作指数函数，其中 x 是自 变量，函数的定义域是 R.
想一想：在指数函数的定义中，为什么要规定 a＞0 且 a≠1? 提示 规定底数 a＞0 且 a≠1 是因为当底数小于 0 时，在实数 范围内，存在一些自变量的函数值不存在，当 a＝0、1 时，无 研究必要．
y＝f(x)的图像 保―留――y― 轴―右―去― 边―掉部―原― 分―图，―像并 ――y作轴―其 ―左―关边―于 ―部―y分―轴―对――称―图―→像y＝f(|x|)的图像． y＝f(x)的图像将――x轴保――下留―方x―轴―图―上像―方―翻―图折―像―上―去→y＝|f(x)|的图像．
【训练 4】 指数函数①f(x)＝mx；②g(x)＝nx 满足不等式 1＞n ＞m＞0，则它们的图像是( )．
(1)y＝ ；(2)
；(3)
[思路探索] 利用指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的定义域和作为 指数部分的自变量的取值范围，共同确定所求函数的定义域．求 值域必须先求出所求函数的单调区间，利用复合函数的单调性， 求出所求函数的单调区间，然后求出值域．
解 (1)设 u＝1x，则 x≠0，u≠0，由 y＝2u，知 y≠1，
审题指导 对于函数的图像，要注意以下三点： (1)识图：由图像能得到函数的性质，这些性质主要指定义域、 值域、奇偶性、单调性，还有其它的特性． (2)作图：作图的方法主要有两种：列表描点法和变换作图法．变 换作图中要注意变换的顺序及变换的“作用点”． (3)用图：用图为我们解决问题提供了很大的方便． 数形结合的思想方法主要是用图，但要注意，有些问题有时需 要转化，转化成函数问题，才可以作图像，从而才可以用图．
【训练 3】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.8－0.1,1.250.2；
(3)1.70.3,0.93.1;
(4)4.54.1,3.73.6.
解 (1)由于底数 1.7＞1，所以指数函数 y＝1.7x 在(－∞，＋∞) 上是增函数，∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73. (2)1.250.2＝0.8－0.2，∵0＜0.8＜1， ∴指数函数 y＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.8－0.1＜1.250.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1.
名师点睛 1．指数函数的概念 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)解析式的结构特征： ①底数：大于零且不等于 1 的常数； ②指数：自变量 x； ③系数：1. 指数函数的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个 标准，缺一不可．
2．指数函数图像性质的引申 (1)指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)底数越大时，函数的图像在 y 轴右侧部分越远离 x 轴，这一性质可通过 x＝1 时的函数值大小 去理解．如 a＞b＞1＞c 时，见下图中的函数图像．