2020年浙江省台州市白鹤中学高二数学理月考试卷含解析

2020年浙江省台州市白鹤中学高二数学理月考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )
A．13 B．35 C．49
D． 63
参考答案：
C
略
2. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围是（）
A．(－∞, －1) B．(2,+∞) C．(－∞, －2) D．(1,+∞)
参考答案：
B
函数，
且存在唯一的零点，且，，
时的解为，
令得或，
令得，
在上递增，在上递减，
在0处有极大值，在处有极小值，
因为函数，若存在唯一的零点，且，
，
则，实数a的取值范围是，故选B.
3. 若复数，则z2=（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
略
4. 在△ABC中,,,则（）
A．B．C． D．1
参考答案：
B
略
5. 对于二项式，以下判断正确的有（）
A. 存在，展开式中有常数项；
B. 对任意，展开式中没有常数项；
C. 对任意，展开式中没有x的一次项；
D. 存在，展开式中有x的一次项.
参考答案：
AD
【分析】
利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。

【详解】设二项式展开式通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。

故答案选AD
【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题。

6. 若复数满足，其中i为虚数单位，则z=
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
由复数的除法运算法则化简，由此可得到复数
【详解】由题可得；
；
故答案选B
【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则，属于基础题。

7. 设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐
标原点，为的最小值，则的最大值为
A． B． C．
D．
参考答案：
C
8. 已知随机变量，若，则，分别为（）
A. 6和2.4
B. 6和5.6
C. 2和2.4
D. 2和5.6
参考答案：
C
【分析】
利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.
【详解】，，.
，，由期望和方差的性质可得，
.
故选：C.
【点睛】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
9. 下列不等式一定成立的是( )
A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）
C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）
参考答案：
C
【考点】不等式比较大小．
【专题】探究型．
【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可
【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；
B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；
C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0；
D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．
综上，C选项是正确的．
故选：C．
【点评】本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键
10. 如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别为BC、B B1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）．
A．直线AA1B．直线A1B1C．直线 A1D1D．直线B1C1
参考答案：
D
根据异面直线的概念可看出，，都和直线为异面直线，
和在同一平面内，且这两直线不平行，
∴直线和直线相交．
故选．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数（为常数），当时，
只有一个实根；当时，只有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①有一个相同的实根；
②有一个相同的实根；
③的任一实根大于的任一实根；
④的任一实根小于的任一实根.
其中真命题的序号是________.
参考答案：
①②④
【分析】
的根的问题可转化为，即和图象交点个数问题，由题意图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，再对四个命题逐个分析得到结果.
【详解】由题意图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，
的根的问题可转化为，
即和图象交点个数问题，
由图可知，正确的命题为①②④，
故答案是：①②④.
【点睛】该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有函数的单调性与函数的极值问题，将方程的根转化为曲线与直线的交点问题来解决，属于中档题目.
12. 已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为▲．
参考答案：
略
13. 试通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为”，猜测关于球的相应命题是“半径为的球内接长方体中，以正方体的体积为最大，最大值
为▲”.
参考答案：
略
14. 在△ABC中，若，则△ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，，则四面体S-ABC的外接球半径R=______________．
参考答案：
【分析】
通过条件三条棱两两垂直，可将其补为长方体，从而求得半径.
【详解】若两两垂直,可将四面体补成一长方体，从而长方体外
接球即为四面体的外接球，于是半径，故答案为.
【点睛】本题主要考查外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决本题的关键.
15. 一个四棱柱的一个对角面面积为S，与该对角面相对的两侧棱间的距离为d，两对角面构成的二面角是60°，则四棱柱的体积V = ____ 。

参考答案：
S d
16. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－4,0），C（4,0）且顶点B在椭圆
上，则____________；
参考答案：
略
17. 设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
参考答案：
[0，]
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
参考答案：
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）
≥3x+2的解集即可．
（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后
求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为
|x﹣1|≥2．
由此可得x≥3或x≤﹣1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤﹣1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0得
|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}
由题设可得﹣=﹣1，故a=2
19. 某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f=
其中（单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克），试写出一个计算费用算法，并画出相应的程序框图.
参考答案：
算法：
第一步：输入物品重量ω；
第二步：如果ω≤50，那么f =0.53ω，否则，f = 50×0.53+（ω－50）×0.85；
第三步：输出物品重量ω和托运费f.
相应的程序框图.
20. （本小题满分13分）
已知是奇函数。

（1）求a的值；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围。

参考答案：
（1）因为是奇函数，故对定义域内的x，都有
即
， ................. ........2分
即，于是
. .................. 4分
（2）
方程可化为：
，令
..................6分
于是，
则
(8)
分
的值域为
， .............................11分
故
....................................................13分
21. 已知椭圆C：的一个焦点为，离心率为．设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最大值.
参考答案：
（1）；（2）.
试题分析：（1）由题意，，，根据求出，则椭圆的方程为. （2）设点（），则直线的方程为，
联立得，而
，带入韦达定理，
，则，而，即，则当时，，最大值为.
试题解析：（1）由已知，，，
∴，3分
∴椭圆的方程为. 4分
（2）设点（），则直线的方程为，2分
由消去，得4分
设，，则，6分
∴
8分
∵，即
∴当时，，的最大值为. 10分
考点：1.圆锥曲线的求解；2.最值的求解.
22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，
AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．
（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（I）由PC⊥底面ABCD，可得PC⊥AC．由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：AC⊥BC，因此AC⊥平面PBC，即可证明平面EAC⊥平面PBC．
（II）取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得设P（0，0，a）（a＞0），可取=（1，﹣1，0），利用向量垂直与数量积的关系可
得：为平面PAC的法向量．设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，可得，由于二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可得
==，解得a=4．设直线PA与平面EAC所成角
为θ，则sinθ=||=即可得出．
【解答】（I）证明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PC⊥AC．
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，
∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，又AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（II）解：取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），
设P（0，0，a）（a＞0），则E，
=（1，1，0），=（0，0，a），=，
取=（1，﹣1，0），则=0，
∴为平面PAC的法向量．
设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，
取=（a，﹣a，﹣4），
∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，
∴===，解得a=4，
∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则
sinθ=||===，
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．。