广东省广州市市铁一中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析

广东省广州市市铁一中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．
A．①③B．②③C．①④D．②④
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】计算题．
【分析】由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）逐个验证即可
【解答】解：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）验证
①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数
②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（﹣x），为奇函数
③﹣xf（﹣x）=﹣x?[﹣f（x）]=xf（x），为偶函数
④f（﹣x）+（﹣x）=﹣[f（x）+x]，为奇函数
可知②④正确
故选D
【点评】题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题．
2. 已知锐角，满足，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
观察式子可将，即，
化简易得，即
【详解】
又，是锐角，则，即，
故选：B．
【点睛】此题考查和差公式的配凑问题，一般观察式子进行拆分即可，属于较易题目。

3. 下列函数中周期为，且在上为减函数的是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
略
4. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数，，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝( )
A．0 B．1 C. D．5
参考答案：
C
略
5. 已知是函数的一个零点，若，，则（）．A．，B．，C．，D．，
参考答案：
A
∵是函数的一个零点，
∴，
又在上单调递增，且，，
∴，
∴，．
故选．
6. 设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）．
A．B．C．D．
参考答案：
A
解：图中阴影部分所表示了在集合中但不在集合中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是，
故选．
7. 在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】散点图．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计．
【分析】观察两个变量的散点图，样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，
若带状从左向右上升，是正相关，下降是负相关，由此得出正确的选项．
【解答】解：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，
对照图形：B中样本点成直线形带状分布，且从左到右是上升的，∴是正相关关系；
C中样本点成直线形带状分布，且从左到右是下降的，∴是负相关关系；
D中样本点不成直线形带状分布，相关关系不明显．
故选：B．
【点评】本题考查了变量间的相关关系、散点图及从散点图上判断两个变量有没有线性相关关系的应用问题，是基础题．
8. 直线与直线垂直，则a的值为（）
A．－3 B．C．2 D．3
参考答案：
D
∵直线ax+2y﹣1=0与直线2x﹣3y﹣1=0垂直，
∴2a+2×（﹣3）=0
解得a=3
故选：D．
9. 在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，，则=（）
A．B．C．3 D．﹣3
参考答案：
B
【考点】9R：平面向量数量积的运算；8G：等比数列的性质；HR：余弦定理．
【分析】先求a+c的平方，利用a、b、c成等比数列，结合余弦定理，求解ac的值，然后求解．
【解答】解：a+c=3，所以a2+c2+2ac=9…①
a、b、c成等比数列：b2=ac…②
由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB…③
，
解得ac=2，
=﹣accosB=
故选B ．
10. 设函数f （x ）=ln （x +）+x 3（﹣1＜x ＜1），则使得f （x ）＞f （3x ﹣1）成立的x 的取值范
围是（ ）
A ．（0，）
B ．（﹣∞，
） C ．（，
） D ．（﹣1，
）
参考答案：
A ∵
，定义域关于原点对称，
∴f(x)是奇函数，而 时，f(x)递增，
故
时，f(x)递增，故f(x)在
递增，
若 ，则
，解得
，故选A ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若=2，则tan （α﹣）
= ．
参考答案：
2
【考点】GR ：两角和与差的正切函数．
【分析】由两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值化简所求即可计算得解． 【解答】解：∵
=2，
∴tan
（α﹣
）=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应
用，属于基础题．
12. .一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________________. 参考答案：
2 略
13. 已知函数f ( x ) =
，则它的反函数f – 1 ( x ) = 。

参考答案：
f – 1 ( x ) =
14. 等差数列
中，
，，数列
中，
，
，则数列
的通项公式为 ▲ .
参考答案：
15. 已知过点M （﹣3，0）的直线l 被圆x 2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l 的方程为 ．
参考答案：
x=﹣3或5x ﹣12y+15=0
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设直线方程为y=k （x+3）或x=﹣3，根据直线l 被圆圆x 2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，
可得圆心到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式确定k 值，验证x=﹣3是否符合题意．
【解答】解：设直线方程为y=k （x+3）或x=﹣3，
∵圆心坐标为（0，﹣2），圆的半径为5，
∴圆心到直线的距离d==3，
∴=3，
∴k=，∴直线方程为y=（x+3），即5x﹣12y+15=0；
直线x=﹣3，圆心到直线的距离d=|﹣3|=3，符合题意，
故答案为：x=﹣3或5x﹣12y+15=0．
【点评】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉x=﹣3．
16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，则c的值为
_________
．
参考答案：
17. _________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知f（x）=|ax﹣1|（a∈R），不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）﹣f（）≤2．
参考答案：
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）讨论a=0，a＞0，a＜0，由题意可得﹣3，2为|ax﹣1|=5的两根，运用绝对值不等式的解法，即可得到a=﹣2：（2）运用绝对值的含义，讨论x的范围可得或或，解不等式即可得到所求解集．
【解答】解：（1）由|ax﹣1|＞5，得到ax＞6或ax＜﹣4，
当a=0时，不等式无解．
当a＜0时，或．
由题意可得﹣3，2为|ax﹣1|=5的两根，
则，解得a=﹣2．
当a＞0时，或．
故，此时a无解．
综上所述，a=﹣2．
（2）f（x）=|﹣2x﹣1|，
f（x）﹣f（）≤2，即为：
|2x+1|﹣|x+1|≤2?或或，
即﹣2≤x＜﹣1或或．
故原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}．
19. （本小题满分12分）青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对高二600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
（Ⅰ）填写答题卡频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）试估计该年段成绩在段的有多少人？
（Ⅲ）请你估算该年段分数的众数。

参考答案：
（Ⅰ）
...............6分（Ⅱ）该年段成绩在段的人数为 600(0.2+0.32)=6000.52=312人 (10)
分
（Ⅲ）该年段分数的众数为85分…12分
【答案】
20. （8分）已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）
（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．
参考答案：
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH所在的直线方程．
解答：（Ⅰ）BC中点D的坐标为（2，0），
∴直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；
（Ⅱ）∵，BH⊥AC，
∴，
∴直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．
点评：本题考查了直线方程的求法，考查了中点坐标公式的应用，是基础题．
21. 已知函数。

（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）若不存在实数组满足不等式，求实数的取值范围。

参考答案：
（1），
令，则，
当时，无最小值，舍去；
当时，最小值不是，舍去；
当时，，最小值为，
综上所述，。

由题意，对任意恒成立。

当时，因且，
故，即；
当时，，满足条件；
当时，且，故，；
综上所述，
略
22. 已知函数f（x）=﹣2sin x﹣cos2x．
（1）比较f（），f（）的大小；
（2）求函数f（x）的最大值．参考答案：
【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．
【解答】解：（1）f（）=﹣，
f（）=﹣，
∵﹣＞﹣，
∴f（）＞f（），
（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．
=﹣2sinx﹣1+2sin2x，
=2（sinx﹣）2﹣，
∴函数f（x）的最大值为3．。