【锁定高考】(新课标版)高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第1章 第3节 简单的逻辑联结词

【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
文
A 组 基础达标
(时间：30分钟 满分：50分)
若时间有限，建议选讲1，3，8
一、 选择题(每小题5分，共20分)
(2013·北京模拟)如果命题“p∧q”是假命题，“¬q”也是假命题，则(C)
A. 命题“(¬p)∨q”是假命题
B. 命题“p∨q”是假命题
C. 命题“(¬p)∧q”是真命题
D. 命题“p∧(¬q)”是真命题
由“¬q”为假命题得q 为真命题，又“p∧q”是假命题，∴p 为假命题，¬p 为真命题．∴“(¬p)∨q”是真命题，A 错；“p∨q”是真命题，B 错；“p∧(¬q)”是假命题，D 错；“(¬p)∧q”是真命题，故选C.
(2013·吉林模拟)已知命题p ：有的三角形是等边三角形，则 (D)
A. ¬p：有的三角形不是等边三角形
B. ¬p：有的三角形是不等边三角形
C. ¬p：所有的三角形都是等边三角形
命题p ：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，∴对它的否定应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有¬p ：所有的三角形都不是等边三角形，故选D.
(2013·开封二模)下列命题中的真命题是(B)
A. ∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32
B. ∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1
C. ∃x ∈(－∞，0)，2x <3x
D. ∀x ∈(0，π)，sin x>cos x
∵sin x＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x<0时，y ＝2x 的图像在y ＝3x 的图像上方，故C 错误；当 x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故D 错误．
(2013·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0
＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12＜0的解集是{x|3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．其中正确的是(D) B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
∵命题p 和命题q 都是真命题，∴“p ∧q ”是真命题，“p ∧(¬q)”是假命题，“(¬p)∨q”是真命题，“(¬p)∨(¬q)”是假命题．
二、 填空题(每小题5分，共10分)
命题“存在x∈R，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是__对任意x∈R，都有x 2＋2x
＋5≠0__.
存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b<0成立，则b 的取值范围是__(－∞，0)∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，＋∞__.
要使x 2－4bx ＋3b<0有解，只要方程x 2－4bx ＋3b ＝0有两个不相等的实根，即判
别式Δ＝16b 2－12b>0，解得b<0或b>34
. 三、 解答题(共20分)
分)写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2分)
(2)存在一个素数不是奇数，真命题．(4分)
(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．(7分)
(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．(10分)
分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的新命题，并判断
其真假．
(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；
(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；
(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程 x 2＋x －1＝0的两实根的绝
对值相等．
(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p ∧q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
¬p：2不是4的约数，假命题．(3分)
(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
¬p：矩形的对角线不相等，假命题．(6分)
(3)p∨q：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
¬p：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号不同，真命题．(10 分)
B 组 提优演练
(时间：30分钟 满分：50分)
若时间有限，建议选讲2，4，8
一、 选择题(每小题5分，共20分)
(2013·潍坊摸底)命题p ：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6＜0，则(D)
A. ¬p：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0
B. ¬p：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6＜0
C. ¬p：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6＞0
D. ¬p：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0
特称命题的否定是全称命题．
给出如下几个结论：
①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；
②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x
<2”； ③对于∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2； ④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2.
其中正确的是(C)
A. ③
B. ③④
C. ②③④
D. ①②③④
根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②
正确；由基本不等式知③正确；由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]知④正确．
已知命题p 1：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0；p 2：∀x ∈[－1，2]，使得x 2
－1≥0.以下命题为真命题的是(C)
A. (¬p 1)∧p 2
B. p 1∧(¬p 2)
C. (¬p 1)∧(¬p 2)
D. p 1∧p 2
由题可知，命题p 1为假命题，命题p 2为假命题，因此(¬p 1)∧(¬p 2)为真命题．
(2013·华师附中月考)已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f(x)＝2－m x
在区间(0，＋∞)上是减函数．若命题“p 或q”为真，命题“p 且q”为假，则实数m 的取值范围是(C)
A. [0，＋∞)
B. [0，2]
C. [0，2)
D. (2，＋∞)
由命题p 可得m ＜0，由命题q 可得m ＜2，又由命题“p 或q”为真，命题“p 且q”
为假，得命题p 与q 一真一假，若命题p 真q 假，则可得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2，此不等式组无解；若命题p 假q 真，则可得⎩
⎪⎨⎪⎧m≥0，m ＜2，得0≤m＜2. 二、 填空题(每小题5分，共10分)
若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，0]__．
当a ＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝a 2＋8a≤0，解得－8≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围是[－8，0]．
下列结论：
①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝33
；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b
＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． __①③__.(填序号)
①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，∴p ∧(¬q)为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．∴正确结论的序号为①③.
三、 解答题(共20分)
分)已知c>0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，函数f(x)＝x ＋1x >1c
恒成立．如果“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求c 的取值范围．
由命题p 为真知，0<c<1，
∵2≤x ＋1x ≤52
， 由命题q 为真知 1c <2，又c ＞0，∴c>12
，(4分) 又“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，
则p ，q 中必有一真一假，
当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c≤12
； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c≥1. 综上可知，c 的取值范围是
. (10分)
(10分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m
－2)x ＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．
若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则
⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m>0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，
解得1＜m ＜3，即命题q ：1＜m ＜3.(6分)
∵“p ∨q ”为真，∴p ，q 至少有一个为真，
又“p∧q”为假，∴命题p ，q 至少有一个为假，
因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧m>2，m ≤1或m≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m≤2，1<m<3， 解得m≥3或1＜m≤2， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)∪(1，2]. (10分)。