2023年上海七宝中学高一下期中数学试卷及答案

七宝中学2022学年第二学期高一年级数学期中
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.角度大小为7弧度的角是第________象限角
2.已知向量
()
1,2a =-
，
()
0,1b =
，则2a b -
的坐标为__________.
3.cos57cos12sin 57sin12+
的值为__________.4.
若
2,3
a b a b ==⋅= ，则a 与b
的夹角为__________.
5.函数
sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,32x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦的最大值为______6.已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为_____2
cm .
7.函数
()πtan π4f x x ⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭的定义域为______．8.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若
2cos cos a c C
b B -=
，则cos B 的值为____________.
9.已知点M 在直线BC 上，点A 在直线BC 外，若
AB AC AB AC
+=-
，且
4
AB =uu u r ，
2
AC = ，则
AM
的最小值为______.
10.
已知函数
π()|cos
|
2f x x =（04045x ≤≤），其图像的最高点从左到右依次记为
123 n
A A A A ，，，，，其图像与x 轴的交点从左到右依次记为123 n
B B B B ，，，，，则
11121222222323332022202320232023A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅+⋅+⋅++⋅=
____.
11.函数
2sin 6y x πω⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭在区间(,2)ππ内不存在零点，则正实数ω的取值范围是________．
12.设函数
()6
6sin cos 55kx kx f x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有
(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.如果角θ的终边经过点
3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A.
1
2
B.32
C.
D.3
-
14.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C .
充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.函数()sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<
在区间5,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图像关于点7,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则θ的最小值为（
）
A.
76
π
B.
6
π C.
8
π D.
724
π16.在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在△ABC ，使得
0AB CE ⋅= ；②存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +uu r uu r
，则（
）
A .
①成立，②成立
B.①成立，②不成立
C.①不成立，②成立
D.①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.
已知函数()cos cos 2(R)f x x x x x =-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）设π0,3α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，且6()5
f α=，求sin 2α的值.
18.在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，已知222
3
2
a c
b a
c +=+．（1）求cos B 的值；（2）若3
2
BA BC →
→
⋅=
，2b ac =，求ABC 的周长．19.如图，有一条宽为60m 的笔直的河道（假设河道足够长）
，规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中ABC ）养殖观赏鱼，AB AC ⊥，顶点A 到河两岸的距离
12,,,AE h AD h C B ==两点分别在两岸12,l l 上，设ABD α∠=.
（1）若30α=︒，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域ABC 三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若130m h =，求观赏长廊总长()f α的最小值.
20.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量()OM a b =
，为函数
()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM
的伴随函数.
（1）设函数()3
π)sin(π)2
g x x x =---，试求()g x 的伴随向量OM ；
（2）记向量(ON = 的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且ππ36x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，时cos x 的
值；
（3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象
向右平移
2π
3
个单位长度得到()h x 的图象，已知()23A -，
，()26B ，，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥
.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.
21.已知向量(sin 2,cos 2)m x x = ，1
2
n = ，函数()f x m n =⋅ .
（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；
（2）若在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1()12,,22f A b a ⎡⎤
==∈⎢⎥⎣⎦
，,试判
断这个三角形解的个数，并说明理由；（3）若π2π,63x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的方程π
((1)sin 6f x x λλ+++=恰有三个不同的实根1x ，
2x ，3x ，求实数λ的取值范围及123x x x ++的值．
七宝中学2022学年第二学期高一年级数学期中
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.角度大小为7弧度的角是第________象限角【答案】一【解析】
【分析】把弧度化为度数并结合终边相同角的定义变形判断．【详解】7弧度180736041.190π
︒
=⨯-︒≈︒<︒，所以第一象限．
故答案为：一．
2.已知向量()1,2a =- ，()0,1b = ，则2a b -
的坐标为__________.
【答案】(1,0)-【解析】
【分析】运用向量坐标加、减、数乘运算求解即可.
【详解】因为(1,2)a =-
，(0,1)b =r ，
所以2(1,2)2(0,1)(1,0)a b -=--=-
.
故答案为：(1,0)-.
3.cos57cos12sin 57sin12+ 的值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由两角差的余弦公式化简求值.
【详解】2
c )os57cos12sin 57sin 2cos(5712cos 4125=+︒-︒=︒=
.故答案为:22.
4.若2,3a b a b ==⋅= ，则a 与b
的夹角为__________.
【答案】30︒【解析】
【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可.
【详解】解：因为2,3a b a b ==⋅=
，
所以3cos ,2a b a b a b
⋅==
，
又因0,180a b ︒︒≤≤
，
所以a 与b 的夹角为30︒.故答案为：30︒.
5.函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，,32x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦的最大值为______【答案】1【解析】【分析】求出3
x π
+的范围，然后由正弦函数性质得最大值．【详解】,32x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则50,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32x ππ+=，即6x π=时，max 1y =．
故答案为：1．
6.已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为_____2cm .【答案】4【解析】
【分析】运用扇形的弧长公式求得扇形的半径，再运用扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意知，2α=，4l =，所以扇形的半径4
2cm 2
l
r α
==
=，所以扇形的面积211
424cm 22
S lr ==⨯⨯=.故答案为：4.
7.函数()πtan π4f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的定义域为______．【答案】3
,Z 4x x k k ⎧⎫≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
【解析】
【分析】利用整体代入法求得()f x 的定义域.【详解】令ππππ42x k -
≠+，Z k ∈，可得3
4
x k ≠+，Z k ∈，
故函数()f x 的定义域为3
,Z 4x x k k ⎧⎫≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
．故答案为：3
,Z 4x x k k ⎧⎫≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
8.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos a c C
b B
-=，则cos B 的值为____________.【答案】1
2##0.5【解析】
【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】在ABC 中
2cos cos a c C
b B
-=，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，
即()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=，因为()0,πA ∈，sin 0A ≠，可得1
cos 2
B =.故答案为：1
2
9.已知点M 在直线BC 上，点A 在直线BC 外，若AB AC AB AC +=- ，且4AB =uu u r
，
2AC =
，则AM 的最小值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据条件可得出0AB AC ⋅=
从而得出AB AC ⊥，进而得出BC ，根据题意知，
当AM BC ⊥时，AM 最小，从而得出可得出AM
的最小值．【详解】根据题意，当AM BC ⊥时，AM
最小；
由AB AC AB AC +=- ，
222222AB AC AB AC AB AC AB AC ∴++⋅=+-⋅ ，∴0AB AC ⋅=
，即AB AC ⊥，
∴BC =
=
，
∴当AM
BC ⊥时，由面积法得24AM =⨯ ，5
AM = ，
所以AM 的最小值为5
.
故答案为：
455
10.已知函数π
()|cos
|2
f x x =
（04045x ≤≤），其图像的最高点从左到右依次记为123 n A A A A ，，，，，其图像与x 轴的交点从左到右依次记为123 n B B B B ，，，，，则11121222222323332022202320232023A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅+⋅+⋅++⋅=
____.
【答案】8088-【解析】
【分析】由函数可得2T =,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积均为2-,整理后即可得到结果.【详解】由题可知，2T =，
1A (,2A (,3A 为(，…，2023A (，
1B ()1,0,2B ()3,0,3B ()5,0，…，2023B ()4045,0，
所以(112233202320231,A B A B A B A B =====
，
(
12233420222023B A B A B A B A =====
，
所以
11121222222323332022202320232023 (132)
A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅=⋅=⋅=⋅==⋅=-=-
，所以
()11121222222323332022202320232023+ (2022228088)
A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅⋅+⋅++⋅=⨯⨯-=-
.
故答案为：8088-.11.函数2sin 6y x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
在区间(,2)ππ内不存在零点，则正实数ω的取值范围是
________．【答案】55110,,12612⎛⎤⎡⎤
⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
【解析】
【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得26πωππ+ ，或6πωππ+ ，226
π
ωππ+ ，由此求得正实数ω的取值范围．【详解】解： 函数2sin()6
y x π
ω=+
在区间(,2)ππ内不存在零点且0ω>，所以22
T
ππ≥-，即22ππω≥，所以01ω<≤，因为(,2)x ππ∈，所以,2666x πππωωπωπ⎛⎫
+
∈++ ⎪⎝⎭
，26πωππ∴+ 或6
226πωπππωππ
⎧
+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩
，解得512ω≤或511612ω≤≤，
因为0ω>，所以5012ω<≤
或511
612
ω≤≤，故正实数ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤
⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
，故答案为：55110,
,12612⎛⎤⎡⎤
⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
．12.设函数()6
6sin
cos 55
kx kx
f x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．
【答案】8【解析】
【分析】首先化简函数，
()2
24224345(sin cos sin cos cos cos 555555858
kx kx kx kx kx kx kx f x =+-⋅+=+，根据题意最小正周期1T <，可得52
k π
>，即可得解.【详解】
()6
6224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )55555555
kx kx kx kx kx kx kx kx f x =+=+-⋅+
2
2222(sin cos )3sin cos 5555
kx kx kx kx =+-⋅232345
1sin cos 45858
kx kx =-=+，
若对任意实数a ，均有(){}(){}
1f x a x a f x x R <<+=∈，
则最小正周期1T <，即21
45
k π
<，即52
k π>，
由Z k ∈，所以8k ≥，所以则k 的最小值为8.故答案为：8
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.如果角θ的终边经过点3,221⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，则tan θ=（
）
A.
1
2
B.32
C.
D.33
-
【答案】D 【解析】【分析】
由三角函数的定义可求得tan θ的值.
【详解】由三角函数的定义可得132tan 3
32
θ=
=-
.故选：D.
【点睛】本题考查利用三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.14.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】cos2cos2A B <等价于sin sin A B >，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
【详解】在三角形中，因为cos2cos2A B <，所以2212sin 12sin A B -<-，即
sin sin A B
>若A B >，则a b >，即2sin 2sin R A R B >，sin sin A B >若sin sin A B >，由正弦定理
sin sin a b
A B
=，得a b >，根据大边对大角，可知A B >所以“A B >”是“cos2cos2A B <”的充要条件故选：C
15.函数()sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<
在区间5,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图像关于点7,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则θ的最小值为（）
A.
76
π B.
6
π C.
8
π D.
724
π【答案】C 【解析】
【分析】由周期求出ω，代点求出ϕ的值，可得函数的()f x 的解析式，再根据函数的对称性求出θ的值，进而可得结论．
【详解】由函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<
的图象可得2566T w ππππ⎛⎫
=
=--= ⎪⎝⎭
，2w ∴=又函数过点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，得sin 03πϕ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭，又02πϕ<<，可知3πϕ=．
故函数()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
．把()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变）
，再向右平移(0)θθ>个单位长度后，得到()sin 443g x x πθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图象，
∵所得图象关于点7,024π⎛⎫
⎪⎝⎭对称，7sin 440243πθπ⎛⎫∴⨯-+= ⎪⎝⎭，即sin 402θ3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
即cos 40θ=，解得：84
k ππ
θ=
+，Z k ∈，由0θ>，可得当0k =时，θ的最小值为8
π．故选：C
16.在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在△ABC ，使得
0AB CE ⋅= ；②存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +uu r uu r
，则（
）
A.①成立，②成立
B.①成立，②不成立
C.①不成立，②成立
D.①不成立，②不成立
【答案】B 【解析】
【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.【详解】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，
①(12,2)AB x y =---uu u r ，(1,)CE x y =-uur ，若0AB CE ⋅=
，∴2(21)(1)20x x y -+--=，
∴2(21)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 明显存在，∴①成立；
②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uu r uu r uu u r
，CF 与AD 交点即重心G ，
∵G 为AD 三等分点，E 为AD 中点，∴CE 与CG
不共线，即②不成立；故选：B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.已知函数()cos cos 2(R)f x x x x x =-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）设π0,3α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，且6()5
f α=，求sin 2α的值.
【答案】（1）π
（2）
43310
+【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x 并运用三角函数周期公式求解即可.（2）由α范围可得π26α-
的范围，进而由同角三角函数的平方关系可求得πcos 26α⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的
值，再利用配凑角及两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.【小问1详解】
因为()πcos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x ⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝
⎭，
所以2π
π2
T =
=.即()f x 的最小正周期为π.【小问2详解】因为()π62sin 265
f αα⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭，所以π3sin 265
α⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，又因为π0,3α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
所以πππ2662α-
<-<，
所以π4cos 265α⎛⎫-
== ⎪⎝
⎭，所以ππ3π1π433sin 2sin 2sin 2cos 266262610αααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-
+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦.18.在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，已知2
2
2
3
2
a c
b a
c +=+．（1）求cos B 的值；（2）若3
2BA BC →
→
⋅=
，2b ac =，求ABC 的周长．【答案】（1）3cos 4
B =；
（2）3.【解析】
【分析】（1）直接利用余弦定理求解；
（2）化简3
2
BA BC →
→
⋅=得2ac =，求出b =，3a c +=，即得解.【小问1详解】
解：由已知得：2
2
2
32
a c
b a
c +-=
由余弦定理得2223
cos 24
b a
c B ac +-==.
【小问2详解】
解：BA BC →
→
⋅33
cos 42ac B ac ==
=，解得2ac =，
所以22b ac ==，b =
，
由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，
于是()()2
2
222cos 7a c ac ac B a c =+--=+-，解得3a c +=，
故ABC 的周长为3+.
19.如图，有一条宽为60m 的笔直的河道（假设河道足够长）
，规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中ABC ）养殖观赏鱼，AB AC ⊥，顶点A 到河两岸的距离
12,,,AE h AD h C B ==两点分别在两岸12,l l 上，设ABD α∠=.
（1）若30α=︒，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域ABC 三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若130m h =，求观赏长廊总长()f α的最小值.
【答案】（1）2；
（2）1)m .【解析】
【分析】（1）由题可得12
ABC S h =
，再利用基本不等式即得；
（2）由题可知sin cos 1()30sin cos f ααααα++⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，利用同角关系式可转化为601y t =-，然后利用函数的单调性即求.【小问1详解】当30α=︒
时，21212,sin cos h h AB h AC h αα====，
所以1212ABC S AB AC h =
⋅= ，
又因为1260h h +=≥（当且仅当1230h h ==时等号成立），所以12900h h ≤，
于是12ABC S h =
≤ ，
因此，养殖区域面积的最大值为2.【小问2详解】由题意，3030
,sin cos AB AC αα
=
=，
所以30sin cos BC αα===，所以ABC 的周长111sin cos 1()3030sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++⎛⎫⎛⎫=++=
⎪⎝⎭⎝⎭
，
其中0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
设sin cos t αα=+
，则sin cos (1,4t πααα⎛
⎫=+=
+∈ ⎪⎝
⎭，
所以21
sin cos 2
t αα-=.
所以
2160
30112
t y t t +=⋅
=
--
，t ∈
于是当t =
时，min 1)y =
=
，即min ()1)f α=，
因此，观赏长廊总长的最小值为1)m +.
20.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量()OM a b =
，为函数
()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM
的伴随函数.
（1）设函数()3
π)sin(π)2
g x x x =---，试求()g x 的伴随向量OM ；
（2）记向量(ON = 的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且ππ36x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，时cos x 的
值；
（3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象
向右平移
2π
3
个单位长度得到()h x 的图象，已知()23A -，
，()26B ，，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥
.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）()
OM =
（2）
433
10
+（3）存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥
.【解析】
【分析】（1）利用诱导公式求出()cos g x x x =+，从而得到()g x 的伴随向量；（2）根据向量得到()f x ，利用利用凑角法得到cos x ；（3）先求出()h x ，再设出P 点坐标，利
用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到2
219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，根据等式左右两
边的取值范围，得到当且仅当0x =时，2
192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭和
2254x -同时等于254，此时()0,2P .
【小问1详解】
()3
π)sin(π)cos
2
g x x x x x =---=+，故()
OM = ；
【小问2详解】
由题意得：()π8sin 2sin 35f x x x x ⎛⎫=+=+
= ⎪⎝
⎭，故π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，由于ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以ππ23x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭0，，所以π3cos 35x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，所以
ππππππcos cos cos cos sin sin
333333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
3143
525210
⨯+⨯=
.【小问3详解】
(
)πcos 2cos 3g x x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()12cos 2h x x =，假设存在点
1,2cos 2P x x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，使得AP BP ⊥ ，则
2211112,2cos 32,2cos 644cos 18cos 180
2222AP BP x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⋅=+-⋅--=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即2
219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为122cos 22x -≤≤，所以131952cos 2222x -≤-≤-，
所以2
2519169
2cos 4224x ⎛⎫≤-≤
⎪⎝⎭，又因为2252544x -≤，所以当且仅当0x =时，2
192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭和2254x -同时等于254，此时()0,2P ，故在函数()y h x =的图象上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥
.
21.已知向量(sin 2,cos 2)m x x =
，1
2
n = ，函数()f x m n =⋅ .（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；
（2）若在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1()12,,22f A b a ⎡⎤
==∈⎢⎥⎣⎦
，,试判
断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的方程π((1)sin 6f x x λλ+++=恰有三个不同的实根1x ，2x ，3x ，求实数λ的取值范围及123x x x ++的值．
【答案】（1）π
()sin(26f x x =+，增区间是ππ[π,π36
],Z k k k -+∈；（2）答案见解析；
（3
）
13λ+≤<时，原方程有三个解123,,x x x ，且
123π3π
π22
x x x ++=
+=．【解析】
【分析】（1）由数量积的坐标表示计算出()f x 并由两角和的正弦公共化简；（2）由正弦定理求得sin B ，再利用a 的范围得出三角形解的个数；
（3）化简方程得sin 1x =或1sin 2x λ-=，由此可得1
122
λ-≤<时原方程有三解，从而求得三解的和．【小问1详解】
由题意1π
()2cos 2sin(2)226
f x m n x x x =⋅=+=+ ，
由πππ2π22π262k x k -
≤+≤+，得ππ
ππ36
k x k -≤≤+，所以增区间是ππ
[π,π36
],Z k k k -+∈；【小问2详解】
π()sin(216f A A =+=，又0πA <<，即ππ13π
2666
A <+<，
所以ππ
262
A +
=，π6A =，
由正弦定理sin sin a b A B =，π
2sin
116sin [2]2
B a a =
=∈，当1a =时，sin 1B =，0πB <<，因此π
2
B =
，只有一解；1
12
a <<时，1sin 1B a =>，无解；
2a =时，a b =，A B =，三角形只有一解，
12a <<时，11
sin [,1)2
B a =
∈，又a b <，因此A B <，所以B 有两解，可能为锐角也可能为钝角．综上，1
12
a <<时，三角形无解，1a =或2a =时三角形只有一解，12a <<时，三角形有两解；
【小问3详解】
方程π((1)sin 6f x x λλ+++=为π
sin(2)(1)sin 2
x x λλ+
++=，即cos 2(1)sin x x λλ++=，22sin (1)sin 10x x λλ-++-=，(sin 1)(2sin 1)0x x λ--+=，sin 1x =或1
sin 2
x λ-=
，
因为π2π,63x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以πsin 12x x =⇒=，
记1π2x =
，原方程有三个解，则
1
12
λ-≠，ππ[,)62x ∈-时，sin y x =递增，π2π(,]23x ∈时，sin y x =递减，2π3sin 32=
，π1
sin()62-=-，πsin 12
=，
所以
31
122
λ-≤<，即13
λ+≤<时，1sin 2x λ-=有两解，记两解为23,x x ，则23πx x +=，
13λ+≤<时，原方程有三个解123,,x x x ，且123π3π
π22
x x x ++=
+=．。