2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4-4：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(讲)

专题 4.4
函数 y ＝ Asin( ω x ＋φ )的图象及应用
1．认识函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的物理意义；能画出 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的图象，认识参数 A ， ω，φ对函数图
象变化的影响．
2．认识三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实质问题．
知识点一 函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的图象
1．函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的相关观点
y ＝ Asin( ωx＋ φ)
振幅
周期
频次 相位
初相
(A>0， ω>0) A
2π
1 ω
T ＝ ω
f ＝ T ＝2π
ωx＋ φ φ
2.用五点法画 y ＝ Asin( ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y ＝Asin( ωx＋ φ)一个周期内的简图时，要找五个重点点，以下表所示：
x
φ π φ
π－ φ 3π φ
2π－ φ
－ ω
－
ω
ω －
ω
ω
2ω 2ω ωx＋φ
0 π
π
3π
2π 2
2
y ＝ Asin(ωx＋ φ)
A
－ A
3.由函数 y ＝ sin x 的图象变换获得 y ＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0 ，ω>0) 的图象的两种方法
知识点二 三角函数模型的简单应用
三角函数模型在实质中的应用表此刻两个方面：
(1)已知函数模型，利用三角函数的相关性质解决问题，其重点是正确理解自变量的意义及自变量与函
数之间的对应法例．
(2)把实质问题抽象转变成数学识题，成立三角函数模型，再利用三角函数的相关知识解决问题，其关
键是建模．
考点一 函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的图象及变换
【典例
1】 (2017 ·全国卷Ⅰ )已知曲线 C 1：y ＝ cosx ， C 2：y ＝ sin 2x ＋
2π
，则下边结论正确的选项是 ()
3
A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到本来的
2 倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移
π
个单位长度，得
6
到曲线 C 2
B ．把
C 1 上各点的横坐标伸长到本来的
2 倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移
π
个单位长度，
12
获得曲线 C 2
C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到本来的
1
倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移
π
个单位长度，得
2
6
到曲线 C 2
D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到本来的
1
倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移
π
个单位长度，得
2 12
到曲线 C 2
【答案】 D
【分析】易知 C 1
x ＋ π
，把曲线 C 1
上的各点的横坐标缩短到本来的 1
倍，纵坐标不变，
： y ＝ cosx ＝sin
2 2
π
π
π π
获得函数 y ＝ sin 2x ＋ 2 的图象，再把所得函数的图象向左平移
12个单位长度， 可得函数 y ＝ sin 2 x ＋ 12 ＋ 2
＝ sin 2x ＋ 2π
的图象，即曲线 C 2，所以 D 项正确。

3
【方法技巧】三角函数图象变换的两个重点
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函
数图象的平移变换问题，其平移变换规则是
“左加、右减 ”，而且在变换过程中
惯例方法
只变换其自变量 x ，假如 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数提取后再确立平移的
单位长度和方向
方程思想 能够把判断的两函数变成同名的函数，且 x 的系数变成一致，经过列方程
求解，如 y ＝ sin 2x 变成 y ＝ sin ( 2x ＋
3π
)，可设平移 φ个单位长度，即由
2(x ＋
π
π π
解得 φ＝
，向左平移
，若 φ＜ 0 说明向右平移 |φ|个单位长度
φ)＝ 2x ＋ 3
6
6
f ( x) sin( x )(0, )
【变式 1】 （山东省烟台市 2019 届高三一模）已知函数
2 ，其图象
相邻两条对称轴之间距离为
2 ，将函数 y
f (x)
的向右平移 6 个单位长度后， 获得对于 y 轴对称，则（
）
A ． f ( x) 的对于点 (
,0) 对称 B ． f ( x) 的图象对于点 (
,0) 对称 6
2 6
π π
D ． f ( x) 在 (
) 单一递加
C ． f ( x) 在 (
, ) 单一递加
,
6
3
3
6
【答案】 C
【分析】
∵函数 ∴bc
4
4 2
3 ，其图象相邻两条对称轴之间距离为
1 2
，
2
2
3
2
∴
2 ， f ( x)
sin(2 x
) .
将函数 y
f ( x) 的向右平移
6 个单位长度后，可得 y sin(2x
) 的图象，
3
依据获得的图象对于
y 轴对称，可得
k
2， k
Z ，∴
6， f (x) sin(2x ) .
3
6
当 x
时， f (x)
1
,0) 对称，故 A 错误；
6 ，故 f (x) 的图象不对于点 (
2
6
当 x
时， f ( x)
1，故 f ( x) 的图象对于直线 x
6 对称，不对于点 ( ,0) 对称，故 B 错误；
6
6
在 (
π π 2x
[
, ] ， f ( x) 单一递加，故 C 正确；
,
) 上，
2
6 3
6
2
在 ( 2 , ) 上， 2 x
[ 3 , ] ， f (x) 单一递减，故 D 错误，
3
6
6 2 2
应选 C 。

考点二
由图象求函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的分析式
【典例 2】【 2019 年高考天津卷】已知函数
f (x) Asin( x )( A 0,0,| |
)
是奇函数，将
y f x
的图象上全部点的横坐标伸长到本来的
2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
g x ．若
g 2
3
g x
的最小正周期为
f
2π，且
4
，则
8
A ． 2
B ．
2
C ．
2 D ． 2
【答案】 C
【分析】∵
f ( x)
为奇函数，∴
f (0) Asin
0,
=k π,k Z ,
k 0,0 ；
g (x)
1 x, 2π
A sin
T
2π,
2
1
又
2
∴
2 ，
g ( π
2
)
又 4
，∴A 2，
f (
3π 2.
∴ f (x)
)
2sin 2x ，
8
应选 C 。

【方法技巧】确立 y ＝ Asin( ωx＋ φ)＋ b( A>0 ， ω>0)的步骤和方法
(1)求 A ，b ：确立函数的最大值
M 和最小值 m ，则 A ＝ M － m ，b ＝ M ＋ m ；
2 2
2π
(2)求 ω：确立函数的周期
；
T ，则可得 ω＝ T
(3)求 φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入
(此时 A ，ω，b 已知 )或代入图象与直线 y ＝ b 的交点求解 (此时要
注意交点是在上涨区间上仍是在降落区间上
)．
②五点法：确立 φ值时，常常以找寻 “五点法 ”中的某一个点为打破口．
【变式 2】（上海市崇明区 2019 届高三三模）将函数
y sin x 的图像上全部的点向右平移
个
6 4
单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到本来的
2 倍（纵坐标不变） ，则所得图像的分析式为（
）
A ． y
sin x
5 B ． y
sin x
12
2 12
2
C ． y
sin 2x
5 D ． y
sin x 5
12
2 24
【答案】 A
【分析】向右平移个单位长度得：y sin x sin x5
612
44
横坐标扩大到本来的 2 倍得：y sin x5
212
此题正确选项 A 。

【贯通融会】（山东省烟台市2019 届高三一模）将函数 f x sin x0,π
的图象向右平2
移个单位长度后，所得图象对于y 轴对称，且fπ1 ，则当
取最小值时，函数 f x 的分析式为
62
（）
A．f x sin 2 x B． f x sin2xπ
6
6
C． f x
π
D． f x sin4x
πsin 4 x
6 6
【答案】 C
【分析】将函数 f x sin x(0,) 的图象向右平移个单位长度后，可得
26
y sin x
6
的图象；
∵所得图象对于y 轴对称，∴
6k， k Z ．
2
∵ f
1sin sin，即 sin1，，.
2226
∴k，6k 2 0 ,
63
则当取最小值时，取 k 1 ，可得 4 ，
∴函数 f x 的分析式为f x sin4x
6
.
应选 C。

考点三三角函数的实质应用
【典例 3】（河北省衡水市2019 届调研）如图，某地夏季从8～ 14 时用电量变化曲线近似知足函数y
π
＝ Asin(ωx＋φ)＋ b A>0，ω>0， |φ|<2
(1)求这天的最大用电量及最小用电量。

(2)写出这段曲线的函数分析式。

【分析】 (1) 最大用电量为50 万 kW·h，最小用电量为30 万 kW·h.
(2)由图象可知，8～ 14 时的图象是y＝ Asin( ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象，
11
∴A＝2×(50－ 30)＝10， b＝2×(50＋ 30)＝ 40.
12ππ
∵ ×＝ 14－ 8，∴ω＝.
2ω6
π
∴ y＝ 10sin 6x＋φ＋ 40.
将 x＝8， y＝ 30 代入上式，解得
πφ＝ .
6
π π
∴所求分析式为y＝ 10sin 6x＋6＋ 40， x∈[8,14] ．
【方法技巧】解决三角函数实质应用题的注意事项
(1)活用协助角公式正确化简；
(2)正确理解题意，实质问题数学化；
(3)ωx“＋φ”整体办理；
(4)活用函数图象性质，数形联合．
【变式 3】（广东省湛江市 2019 年模拟）把函数y f x 的图象向左平移2个单位长度，再把所得的
3
图象上每个点的横、纵坐标都变成本来的 2 倍，获得函数g x 的图象，而且 g x的图象以下图，则 f x 的表达式能够为（）
2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4-4：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(讲)
A ． f x2sin x
B ．
6
C ． f
x sin 4x D ． 6
f x sin 4x
6
f x
2sin 4 x
6
【答案】 B
【分析】
∵ g （0）＝ 2sin φ＝ 1，即 sin φ 1
，
2 ∴ φ
5
2k
, 或 φ
2k
,k Z （舍去）
6
6
则 g （x ）＝ 5
），
2sin （ ωx
6
7 5 2k , k
Z,
5 12
2 又
6
2k
, 当 k=1,
12
6
7
即 g （x ）＝
5 ），
2sin （ 2 x
6
1
2sin 4x
5
把函数 g x ）的图象上全部点的横坐标缩短到到本来的 ，获得 y ＝
），再把纵坐标缩短
（
2
（
6
到到本来的
1
，获得 y ＝ sin （ 4x
5 ），再把所得曲线向右平移
2 个单位长度获得函数 g （ x ）的图象，
2
6 3
即 g （x ）＝ sin[
2 ）
5 ]＝ sin 4x
8 5 sin 4x
11 4x
4 （ x-
63
6
sin
3
6
6
应选 B 。

2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4-4：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(讲)。