鲁教版八年级2.4分式方程

2.4分式方程
一．分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

例 1.下列关于x 的分式方程,42480300,300015009000,212=-+==+x x x x x x x b
a a x x x x x x x =-=-=--==-,054,312,213,02（a,
b 为非0常数），哪些是整式方程，哪些是分式方程？
甲乙两地相距1400km ，从甲地到乙地乘高铁列车比乘特快列车少用9 h,已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.8倍。

（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均速度为x km/h,请写出关于x 的方程。

（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需要y h,请写出关于y 的方程。

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。

已知七年级同学捐款总额4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。

如果设 七年级捐款人数为x 人，请列出关于x 的方程。

随堂练习
1.据联合国《2010年世界投资报告》指出，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了12%。

设2008年我国吸收外国投资额为x 亿美元，请列出关于x 的方程.你能列出几个方程？其中哪些是方方程？
2. “退耕还林还草”是我国西部地区实施的一项重要生态工程。

某地规划退耕面积共69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5：3。

设退耕还林的面积为x 公顷，请列出关于x 的分式方程。

问题解决
1. 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000 kg 和14000 kg,已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500 kg ，如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg,请列出关于x 的分式方程。

2. 某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6h 完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1 h 后完成了后一半任务，如果设单独采用机械装运x h 可以完成后一半任务，请列出关于x 的分式方程。

3. 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长450km 的高速公路。

某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快30 km/h,从甲地到乙地由高速公路所需的时间是由普通公路所需时间的一半。

如果设该客车从甲地到乙地由高速公路所需的时间为x h, 请列出关于x 的分式方程。

例1 解方程.321x
x =- 解：方程两边都乘),2(-x x 得).2(3-=x x
解这个方程，得.3=x
检验：将3=x 代入原方程的两边，
左边=1，右边=1.
因为 左边=右边，
所以，3=x 是原方程的根。

一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母）约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程。

注意：（1）分式方程去分母时，需在方程两边同乘一个整式，这就取消了方程各分式分母值不为0的限制，也就是使变形所乘的最简公分母值为0，我们称它为原分式方程增根。

（2）因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验，为了方便，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母值等于0就可以了。

如果所得到的是原方程的增根，应当舍去。

（3）解分式方程的一般步骤
去分母
解整式方程
例2
解方程.1
21
12-=-x x x
解：方程两边都乘,12-x 得.21x x =+
解这个方程，得.1=x
检验：当1=x 时，原方程中分式11-x 和1
22-x x 的分母的值为零， 所以1=x 是原方程的增根，应舍去。

因此，原方程无解。

随堂练习
1. 解方程：
（1）
;413x x =- （2）.423532=-+-x
x x 知识技能
1. 解方程：
（1）
;)1(516++=+x x x x （2）;14143=-+--x x x
（2）;31232y
y y --=-- （4）.2132121x x x x --=--
3.某市为治理污水，需要铺设一段全长3000m 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务。

实际每天铺设多长管道？
4. 某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率。

做一做
某单位将沿街的一部分房屋出租，每件房屋的租金相同。

已知每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。

（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？
（2）根据这一情景你能提出哪些问题?
（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
例3某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的3
1，小丽家去年12月份的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是28元。

已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3米3，求该市今年居民用水的价格。

分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月份的用水量-小丽家去年12月份的用水量=3米3.
所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。

解：设该市去年居民用水的价格为x 元/米3，则今年的水价为x )3
11(+元/米3，根据题意，得.37.14)3
1(28=-+x x 解这个方程，得.1.2=x
经检验，1.2=x 是所列方程的根。

8.2)3
11(1.2=+⨯（元/米3）. 所以，该市今年居民用水的价格为2.8元/米3.
列分式方程解应用题的步骤
审题---设未知数---找等量关系，列方程---解方程---检验---答
随堂练习
小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书若干本，又用15元买了一种文学书若干本，科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。

这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
问题解决
1. 甲种原料与乙种原料的单价比为2:3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲种原料的单价。

2. 某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价。

3. 某商店甲种糖果的售价为20元/千克，乙种糖果的售价为16元/千克。

为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后（搅匀）销售，如果将混合后糖果按17.5元/千克销售，那么混合销售和分开销售的销售额相同。

这包甲糖果有多少千克？
例4 一艘轮船顺水航行40 km 所用的时间与逆水航行30 km 所用的时间相同，若水流速度为3km/h ，求轮船在静水中的速度。

解：设轮船在净水中的速度为x km/h,则顺水航行的速度为（x+3）km/h,逆水航行的速度为（x-3）km/h.根据题意，得.3
30340-=+x x 解这个方程得.21=x
经检验，21=x 是所列方程的根。

所以，轮船在静水中的速度是21km/h.
例5 甲、乙两人都要走3km 的路，甲的速度是乙的速度的1.2倍，甲比乙少用0.1h.甲、乙两人的速度各是多少？
解：设乙的速度是x km/h,则甲的速度是1.2x km/h. 根据题意，得.1.02.133=-x
x 解这个方程得.5=x
经检验，5=x 是所列方程的根。

)./(652.12.1h km x =⨯=
所以，甲、乙两人的速度分别是6km/h 和5km/h.
随堂练习
1. 甲、乙两个植树队参加植树造林活动。

已知甲队每小时比乙队少种3棵树。

甲队种60棵树与乙队种66棵树所用的时间相同。

甲乙两队每小时各种多少棵树？
2.八年级一班的团员人数与非团员人数之比为2:1，后来又有5名同学加入团组织，班内的团员人数与非团员人数之比变为7：2.求原来班内团员人数。

问题解决
1. 甲、乙两个火车站相距720 km ，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2h ，求火车原来的速度。

2. 小李做90个零件与小王做120个零件所用的时间相同，他俩每小时一共做35个零件。

小李、小王每小时各做多少个零件？
3. 某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高产量，准备将部分旱田改成水田，改完之后，旱田的面积占水田面积的10%。

应当把多少公顷旱田改成水田？
达标练习
分式方程及其解法
1. 下列方程不是分式方程的是（ ）
A. 13=-x x
B.1111=-++x x x
C.243=+y
x D.x x =--3221 2. 解分式方程,1
613122-=-++x x x 下列四步解题中，错误的是（ ） A. 方程的最简公分母是12-x
B. 方程两边乘以)1(2-x ，得整式方程6)1(3)1(2=++-x x
C. 解B 项中整式方程得1=x
D. 原方程的解为1=x
3. 如果方程x
x x --=-3323有增根，则它的增根一定是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
4. 已知1=x 是分式方程x
k x 311=+的解，则实数k= . 5. 关于x 方程4
332=-+x a ax 的解为,1=x 则3-a 的值为 . 6. 如果方程x
m x x -=--223有增根，则m 的值为 . 7. 解分式方程：
（1）
;3152x x =+ （2）.3911332-=-+x x x
8. k 为何值时，
12-k 与3
1--k 互为相反数？
分式方程的应用
1. 小玲每天骑自行车或步行去上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30min.设小玲步行的平均速度为x m/min.根据
题意可列方程 .
2. 某小型超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了200元，第二批用了550元，第二批购进水果的质量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元，设第一批购进水果x
千克，则可列方程 .
3. 若关于x 的方程32
4=+-x ax 无解，则a 的值为 . 4. 某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“...”，设实际每天铺设管道x m,则可得方程,153000103000=--x
x 根据此情景，题中用“...”表示缺失的条件应补为（ ） A.
每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成 B.
每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C.
每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成
5. 分式方程)
2)(1(11-+=-+x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3
6. 解方程
（1）;23212--=--x x x （2）.13112=++x
x x
7. 小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%.如果A,B 两城相距10km ，他骑车从A 城去B 城，再步行返回A 城市共需4 h ，则小王跑步从A 城到B 城需要多少分钟？
8.某市从今年1月1日起调整居民天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的燃气费是96元.今年小颖家将天然气热水器换成太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m 3,5月份燃气费是90元，则该市今年居民用天然气的价格是每立方米多少元？
9.晨晨写下一个分数，这个分数的分子比分母小3，如果把分子加上8，分母减去1，所得的分数恰好是原来分数的倒数，则晨晨写的原数是？
10.陈明同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠后，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，求原定的人数是多少？
11.某学校学生捐款支援地震灾区.第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等.求第一次的捐款人数.
12.端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买多少个？
13.奥达玩具商店根据市场调查，用5000元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快脱销，接着又用9000元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元.（1）第一批悠悠球每套的进价是多少元？
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
14.某手机店经销的iPhone5手机二月售价比一月每台降价500元.如果卖出相同数量的iPhone5手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元.
（1）一月iPhone5手机每台售价为多少元？
（2）为了扩大经营，该店计划三月购进iPhone5s手机销售，已知iPhone5的每台进价为3500元，iPhone5s每台进价为4000元，该手机店打算用10万元再购机一批iPhone5和iPhone5s，问购进iPhone5手机10台后至多还能购进多少台iPhone5s？
课后作业
1.某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个，设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为（）
A. 1541020=++x x
B.1541020=+-x x
C.1541020=-+x x
D.154
1020=--x x 2. 小朱要到距家1500米的学校上学，一天小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他。

已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。

若设小朱的速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. 1014401001440=--x x
B.10100
14401440++=x x C.1010014401440+-=x x D.1014401001440=-+x
x 3. 若关于x 的方程12
42+-=-x x ax 无解。

则a 的值是 。

4. 若关于x 的分式方程
x m x x 21051-=--无解，则m= . 5. 解下列分式方程：
（1）
;0415=-+x x （2）;31232--=--x x x
（2）
;225111+=++x x x （4）.91232312-=--+x x x
6. 若分式方程
2
21-=--x m x x 有增根，求m 的值。

7. 已知关于x 的分式方程3
23-=--x m x x 有一个正数解，求m 的取值范围。

8. 某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子原件的生产，若乙车间每天生产的电子原件数量是甲车间的
1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子原件多少个？
9.2013年4月20日，四川省雅安市庐山县发生了里氏7.0级强烈地震。

某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务。

在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？
9. 某开发公司的960件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的3
2，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元。

（1）甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成。

在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助，请帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案。

10. 关于x 的方程c c x x 11+=+的解是;1,21c x c x ==方程c c x x 11-=-（即c c x x 11-+=-+）的解是c x c x 1,21-==；方程c c x x 22+=+的解是c
x c x 2,21==；方程c c x x 33+=+的解是.3,21c
x c x == （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程)0(≠+=+
m c m c x m x 与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用方程的“解的概念”进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可直接求解，请用这个结论解关于x 的方程.1212-+=-+a a x x。