2021高三数学北师大版(理)课后限时集训：指数与指数函数含解析

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一、选择题
1．设a＞0，将
a2
a·3
a2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
C.故选C.]
[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝1
9
，
所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13|2x －4|.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 7．不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫
12 x ＋4的解集为________．
(－1,4) [原不等式等价为2－x 2＋2x ＞2－x －4， 又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]
8．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．
⎝
⎛
⎭⎪⎫0，12 [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝
|a x －1|的图像，
由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12
；
同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜1
2，与a ＞1矛盾．
综上，a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12.]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13ax 2－4x ＋3.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13－x 2－4x ＋3，
令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.
则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
1．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a
D ．1＜a ＜b
C [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.
∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫
a b x ＞1.
∴a
b
＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.] 2．设f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 2，r ＝错误!，则下列关系式中正确的是( )
A ．q ＝r ＜p
B ．p ＝r ＜q
C ．q ＝r ＞p
D ．p ＝r ＞q
C [∵0＜a ＜b ，∴
a ＋b
2
＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝错误!＝错误!＝e ＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.]
3．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值
为________．
12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2
，。