2019届高三数学一轮复习:第24讲 平面向量的概念及其线性运算
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2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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教学参考
2.[2015·全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 不平行,
向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数
λ=
.
[答案] 1
2
[解析] 因为 λa+b 与 a+2b 平行,所以存在唯
一实数
t,使得
λa+b=t(a+2b),所以
������ 1
= =
图 4-24-2
(4)������������ =12|������������ |.其中错误结论的序号是
.
[答案] (4)
[解析] 根据向量的概念可知(4) 错误.
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课前双基巩固
3.[教材改编] M 是△ABC 的边 BC 的中点,������������=a,������������=b,则
������������ =
.
[答案] 12(a+b) [解析] ∵
������������ +������������ =������������ ,������������ +������������ =������������ ,������������ =-
������������,∴������������=1(������������+������������)=1(a+b).
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课前双基巩固
知识聚焦
1.向量的有关概念及表示
名称
定义
向量 在平面中,既有 大小 又有 方向 的量
表示 用 a,b,c,…或������������,������������,…表示
向量 a 的 大小 ,也就是表示向量 a 的有向线 向量的模 段������������的 长度 (或称模)
向量 a∥b,且|a|>|b|>0,则向量 a+b 的方向
与向量 a 的方向相同;③设 a0 为单位向量,
则平面内向量 a=|a|·a0.其中正确结论的
序号是
.
[答案] ②
[解析] 对于①,由于������������与������������是相反向量,所以 ������������+������������=0,①错误;对于②,由于 a∥b 且|a|>|b|>0,所
[答案] D [解析] 若|a|=|b|成立,则以 a,b 为邻边组成的平行 四边形为菱形,a+b,a-b 表示的是该菱形的对角线, 而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不 一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b| 成立,则以 a,b 为邻边组成的平行四边形为矩形, 矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立, 从而不是必要条件.故选 D.
三角形 法则 平行四边形 法则
(1)加法交换律:a+b= b+a ;
(2)加法结合
律:(a+b)+c= a+(b+c)
减去一个向量相 减法 当于加上这个向
量的 相反向量 三角形法则
a-b=
a+(-b)
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课前双基巩固
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
1 = -2������,所以 λ=2. -1 = ������������,
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课前双基巩固
题组二 常错题 ◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.
5.给出下列结论:①������������ +������������ =2������������ ;②已知
���2���,������,解
得 λ=t=12.
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教学参考
■ [2016-2015]其他省份类似高考真题
[2016·北京卷] 设 a,b 是向量,则 “|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
|a|
或 |������������|
零向量 长度为 0 的向量
用 0 表示
单位向量 长度等于 1 个单位的向量
用 e 表示,|e|=
1
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课前双基巩固
方向 相同 或相反的非零向量(或称共线向
平行向量
a∥b
量)
相等向量 长度 相等且方向 相同 的向量
(2)对实数加法的分配律:
(λ1+λ2)a= λ1a+λ2a
3.向量的共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一的实数 λ,使 b=λa .
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课前双基巩固
常用结论
1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的向量,即������1������2+������2������3+������3������4+…+������������-1������������ =������1������������ .特别地,一个封闭图形首尾连接而成的 向量和为零向量. 2.若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内任意一点,则������������=12(������������+������������). 3.若 A,B,C 是平面内不共线的三点,则������������+������������+������������=0⇔P 为△ABC 的重心.
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课前双基巩固
7.已知向量 a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围
为
.
[答案] [2,6]
[解析] 当 a 与 b 方向相同时,|a-b|=2, 当 a 与 b 方向相反时,|a-b|=6,当 a 与 b 不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值 范围为[2,6].此题易忽视 a 与 b 方向相 同和 a 与 b 方向相反两种情况.
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第24讲 PART 4
平面向量的概念 及其线性运算
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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考试说明
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义. 2.理解向量的几何意义. 3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
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[答案] ������������
[解析] ������������-������������+������������-������������+������������+������������+������������=( ������������+������������+������������+������������+������������)-(������������+������������) =������������ .
以当 a,b 同向时,a+b 的方向与 a 的方向相同,当 a,b
反向时,a+b 的方向仍与 a 的方向相同,②正确;对于 ③,因为不确定 a0 的方向与 a 的方向是否相同,所以 ③错误.
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课前双基巩固
6.若四边形 ABCD 满足������������=12 ������������且|������������|=|������������|,
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教学参考
考情分析
考点
考查方向
平面向量的 概念
概念辨析、应用等
考例
平面向量的 加、减、数乘运算及其应 2016全国卷Ⅱ3,2015全国
线性运算 用
卷Ⅰ7
共线向量
根据向量共线确定参数值、 应用等
2015全国卷Ⅱ13
考查热度 ★☆☆ ★★☆ ★☆☆
运算律
实数 λ 与向量 a 的积 (1)|λ
数乘 运算叫作向量
的 数乘 , 记作 λa
,这种 (2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方 (1)对向量加法的分配律:
向 相同 ;当 λ<0 时,λa 与 a λ(a+b)= λa+λb ;
的方向 相反 ;当 λ=0 时,λa= 0
图 4-24-1
5.若������������=λ������������+μ������������(λ,μ 为常数),则 A,B,C 三点共线的充要条件是 λ+μ=1.
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课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1.[教材改编]
������������-������������+������������-������������+������������+������������+������������=
2
2
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课前双基巩固
4.[教材改编] 向量 e1 与 e2 不共线,若 a=e1-e2 与 b=-2e1+λe2
共线,则 λ=
.
[答案] 2
[解析] 因为 e1 与 e2 不共线,且 a=e1-e2 与 b=-2e1+λe2 共线,所以存 在 μ∈R,使 e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得
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课前双基巩固
4.在△ABC 中,AD,BE,CF 分别为三角形三边上的中线,它们交于点 G(如图 4-24-1 所示), 易知 G 为△ABC 的重心,则有如下结论: (1)������������ +������������ +������������ =0; (2)������������=13(������������+������������); (3)������������=12(������������+������������),������������=16(������������+������������).
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教学参考
真题再现
■ [2017-2013]课标全国真题再现
1.[2015·全国卷Ⅰ] 设 D 为△ABC 所在
平面内一点,������������=3������������,则 ( ) A.������������=-13 ������������+43 ������������ B.������������=13 ������������-43 ������������ C.������������=43 ������������+13 ������������ D.������������=43 ������������-13 ������������
[答案] A
[解析] 由题意知
������������=������������+������������=������������+13 ������������=������������+13(������������-������������)=-
1 3
������������ +43
������������
则四边形 ABCD 的形状是
.
[答案] 等腰梯形
[解析] ������������=12 ������������表示������������与������������共线,但 |������������|≠|������������|,所以四边形 ABCD 是梯形,又
|������������|=|������������|,所以四边形 ABCD 是等腰梯形.
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课前双基巩固
2.[教材改编] 如图 4-24-2,D,E,F 分别是△ABC 各边
的中点,给出下列结论:
(1)������������ =������������ ; (2)������������ 与������������ 共线;
(3)������������ 与������������ 是相反向量;
a=b
相反向量 长度 相等,方向 相反 的向量
向量 a 的相反向量是 -a
说明:零向量的方向是不确定的 、 任意的 . 规定:零向量与任一向量 平行 .
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课前双基巩固
2.向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量 和
加法 的运算