高中数学复习课一解三角形新人教A版必修.doc

复习课(一) 解三角形
其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．
[考点精要]
解三角形的常见类型及方法
(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．
(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．
(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．
(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；
(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，
根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝1
2，
由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π
6.
(2)根据余弦定理，得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，
所以b ＝7. [类题通法]
利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．
[题组训练]
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2
－b 2
＝3bc ，sin C ＝23sin
B ，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选 A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 2
2bc
＝
－3bc ＋23bc 2bc ＝3
2
，所以A ＝30°，故选A.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π
6，a ＝1，b ＝3，则B
＝________.
解析：依题意得，由正弦定理知：1sin
π6
＝3sin B ，sin B ＝3
2，又0<B <π，b >a ，可得
B ＝π3或
2π3
. 答案：π3或2π3
3．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2
＝ac . 由余弦定理得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1
2
，
当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为1
2
.
判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．
[考点精要]
三角形中的常用结论
(1)A ＋B ＝π－C ，
A ＋
B 2＝
π
2－C
2
. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2
＋b 2
)sin(A －B )＝(a 2
－b 2
)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．
[解] ∵(a 2
＋b 2
)sin(A －B )＝(a 2
－b 2
)·sin(A ＋B )，
∴a 2
[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2
[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2
cos A sin B ＝2b 2
sin
A cos
B .
由正弦定理得2sin 2
A cos A sin
B ＝2sin 2
B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .
∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]
根据所给条件判断三角形的形状的途径
(1)化边为角．
(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；
④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．
[题组训练]
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos
A －sin
B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π
2
或B
＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π
3
.∵3b ＝23
a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即
sin A ＝
32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π
3
.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A
2，sin 3A 2，n
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫
cos A
2
，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．
解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2
＝3，即m 2
＋n 2
＋2m ·n ＝3.又因为m 2
＝n 2
＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝1
2
，
又0<A <π，所以A ＝π
3
.
(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝3
2.
所以sin B ＋sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3－B ＝32
，
化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π
6，
所以B ＋π6＝π3或2π
3
，
所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π
6
，所以△ABC 为直角三角形．
题以解答题为主，难度一般．
[考点精要]
(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．
[典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．
[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122
＋202
－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC ＝28海里．
∴渔船甲的速度为BC
2
＝14(海里/小时)．
(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得
AB
sin α
＝
BC
sin 120°
.
即sin α＝
AB sin 120°
BC ＝
12×32
28＝3314
. 故sin α的值为33
14.
[类题通法]
应用解三角形知识解决实际问题的步骤
(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；
(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
[题组训练]
1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶
A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的
∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )
A ．10 2 m
B ．20 m
C ．20 3 m
D ．40 m
解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2
＝x 2
＋402
－2×40x ×cos 120°，即x 2
－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.
2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为
________m.
解析：设旗杆高为h m ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝
h
sin 60°＝
233
h .
在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，
由正弦定理，得106
sin 30°＝23
3h sin 45°，故h ＝30(m)．
答案：30
3.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)
(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？
(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米． 在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°，
则DC ＝BD 2＋BC 2
＝200米，
所以客车的速度v ＝CD
10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．
(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， 又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°， 所以∠CEB ＝45°.
在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BC
sin 45°
，
所以EB ＝
BC sin 30°
sin 45°
＝506米，即此时客车距楼房506米．
1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212
C ．28
D ．6 3
解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝3
2
，则S
△ABC
＝12bc sin A ＝12×3×8×3
2
＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2
B －sin 2
A sin 2
A
的值为( )
A.19
B.13 C ．1
D.72
解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2
a 2＝2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32a 2－a 2a 2
＝72
. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )
A.3
5 B ．－3
5
C ．±35
D ．±4
5
解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝4
5
.又θ∈(0，
π)，∴cos θ＝±1－sin 2
θ＝±35
.
4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334
m 2
，则此人这时离开出发点的距离为( )
A ．3 m B. 2 m C ．2 3 m
D. 3 m
解析：选D 在△ABC 中，S ＝1
2AB ×BC sin B ，
∴
334＝1
2
×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2
＋BC 2
－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3
2
，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7
D ．7
解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2
－
2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.
6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )
A ．一定是锐角三角形
B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．一定是直角三角形 解析：选C 由正弦定理
a sin A ＝
b
sin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝5
8
.因为a <b ，所
以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×39
8
<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△
ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.
7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于3
2
，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝
3
2
，∴A ＝120°，
∴a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A .
∴a 2
＝(a －2)2
＋(a －4)2
＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7. ∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝3
8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.
解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝
12×85＝45
， 所以cos C ＝2cos 2
B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.
答案：7
25
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋
tan A
tan B ＝2c
b
，则边c 的值为________．
解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos B
cos A sin B
＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝A ＋B cos A sin B ＝sin C
cos A sin B
＝
c
b cos A ＝2
c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°
，所以c ＝2 2.
答案：2 2
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .
(1)求tan C 的值；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0<A <π，cos A ＝2
3，
所以sin A ＝1－cos 2
A ＝
53
， 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
53cos C ＋2
3
sin C ，
所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.
(2)由tan C ＝5得sin C ＝
56
，cos C ＝
16，
于是sin B ＝5cos C ＝56
.
由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12
×2
×3×
56＝5
2
. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π
3
，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠
ADC ＝17
.
(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．
解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝1
7，
所以sin ∠ADC ＝43
7
.
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝
437×12－17×32＝33
14
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BAD
sin ∠ADB ＝8×
331443
7＝3.
在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B
＝82＋52
－2×8×5×12＝49.
所以AC ＝7.
12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．
(1)求B 的值；
—————————— 精心制作仅供参考 灿若出品必属精品 ——————————
灿若寒星 (2)求2sin 2
A ＋cos(A －C )的范围．
解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，
∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .
由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，
即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .
又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12
. ∵0<B <π，∴B ＝π3
. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3
， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32
sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3
<π， ∴－32<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－12，1＋3.。