第一部分 层级二 专题3 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题3 数列

课时跟踪检测(七) 数列的通项与求和
一、选择题
1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析：选D 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以{a n }是首项和公比均为2的等比数列，所以S n ＝2(1－2n )
1－2
＝126，解得n ＝6.
2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9
D ．8
解析：选B 因为a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m ，所以m ＝10，
故选B.
3．已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 2，则a 8＝( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
解析：选D 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，
解得d ＝2，d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.
解法二：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，由S 3＝a 2可得3a 2＝a 2，解得a 2＝3，a 2＝
0(舍去)，则d ＝a 2－a 1＝2，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.
4．(2019·泰安模拟)数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2 019＝( )
A ．1
B ．－2
C ．3
D ．－3
解析：选A 因为a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2(n ≥3)．
所以a n ＋3＝－a n (n ∈N *)， 所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，
故{a n }是以6为周期的周期数列． 因为2 019＝336×6＋3，
所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.
5．(2019·兰州模拟)已知函数f (n )＝⎩⎨⎧
n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，
且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．100 C ．－100
D ．10 200
解析：选B 由题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋
100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.
6．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 018
2 0182的值为( )
A.2 0182 019
B.2 0172 019
C.2 0184 035
D.2 0172 018
解析：选A 由题意得，因为数列{a n }满足a n ＝n
n ＋1
，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的通项
公式为a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182＝1－12＋12－1
3＋…＋
12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019.
二、填空题
7．(2019·太原模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＋1＋1＝1
2，且a 2＝2，则a 4＝________.
解析：因为数列{a n }满足a n ＋1
a n ＋1＋1＝1
2，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n
＋1}是等比数列，公比为2，则a 4＋1＝22(a 2＋1)＝12，解得a 4＝11.
答案：11
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为________．
解析：由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋
a 7>0，所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)
2＝6(a 6＋a 7)>0，所以
S 12·S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12.
答案：12
9．数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2
n
2S n －1
(n ≥2)，则
S n ＝________.
解析：当n ≥2时，将a n ＝S n －S n －1代入a n ＝2S 2n 2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n
2S n －1，
化简整理，得S n －S n －1＝－2S n －1·S n ，两边同除以－S n －1·S n ，得1S n －1
S n －1
＝2(n ≥2)，
又1S 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1
S n
＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝12n －1
.
答案：
12n －1
三、解答题
10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)
2＝n .而a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的
通项公式为a n ＝n .
(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，
则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．
记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n
)1－2＝2
2n ＋
1
－2，
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.
11．(2019·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝
2a n
(a n ＋1)(a n ＋1＋1)
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；
当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－1，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n
－1
.所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，故通项公式a n ＝2n －1. (2)由(1)知，b n ＝2a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝2n (2n －1＋1)(2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －
1＋1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
21＋1－122＋1＋
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1＋1－12n ＋1＝2n －12n ＋1
. 12．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
b n a n 的前n 项和T n .
解：(1)设{a n }的公比为q ，
由题意知，a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2
，
又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .
(2)由题意知，S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2
＝(2n ＋1)·b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n
＋1
≠0，所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b n
a n
，则c n ＝2n ＋12n .
因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋5
23＋
7
24＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，
两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32
＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n －11－12－2n ＋1
2n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋5
2n .。