四川省乐山市峨眉2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析

高2023级高一上期数学十二月月考题（答案在最后）
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分，每个小题只有一项符合题目要求）
1.已知集合A ＝{－1，0}，B ＝{0，1}，C ＝{1，2}，则(A ∩B )∪C 等于（）
A.∅
B.{1}
C.{0，1，2}
D.{－1，0，1，2}
【答案】C 【解析】
【分析】先求交集A B ⋂，再求得与C 的并集．
【详解】A ∩B ＝{0}，所以(A ∩B )∪C ＝{0}∪{1，2}＝{0，1，2}．故选：C .
【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于基础题．2.下列函数中与函数y x =相等的函数是（）
A
.
2
y =
B.y =
C.y =
D.2
x y x
=
【答案】B 【解析】
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数y x =的定义域为R ，
对于函数2
y =
，其定义域为[)0,∞+，对于函数2
x y x
=，其定义域为()(),00,∞-+∞U ，
显然定义域不同，故A 、D 错误；
对于函数y x ==，定义域为R ，符合相等函数的要求，即B 正确；
对于函数y x ==，对应关系不同，即C 错误.
故选：B
3.函数
()
f x =
）
A.
()
,1-∞- B.
()
2,1-- C.
()
2,-+∞ D.
()
1,-+∞【答案】B 【解析】
【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，结合对数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数
()
f x =
12
log (2)0x +>，即021x <+<，解得2<<1x --，所以函数()f x 的定义域为()2,1--.故选：B.
4.一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C 【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.【详解】设扇形所在圆的半径为r ，由扇形的弧长为6，面积为6，
可得2
6
162l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩
，解得3α=，即扇形的圆心角为3rad .故选C.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.方程34560x x -+=的根所在的区间为（）
A.(3,2)--
B.(2,1)
-- C.(1,0)
- D.(0,1)
【答案】B 【解析】
【分析】计算各个区间的端点的函数值，根据零点存在性定理可得结果.【详解】设3()456f x x x =-+，
因为(3)4(27)156870f -=⨯-++=-<，(2)4(8)106160f -=⨯-++=-<。

(1)4(1)5670f -=⨯-++=>，(0)60f =>，(1)50f =>，
因为(2)(1)0f f --<，
所以根据零点存在性定理可得函数3()456f x x x =-+在区间(2,1)--内存在零点，
所以方程34560x x -+=的根所在的区间为(2,1)--.故选：B
6.设32a -=，
1
23b =，
2log 5c =，则a ，b ，c 三个数的大小关系是（）
A.c b a >>
B.a b c
>> C.c a b
>> D.b c a
>>【答案】A 【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得,a c (1,2)，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得30221-<=，又由对数函数的性质，可得22log 5log 42>>，因为1
23(1,2)=，所以c b a >>.故选：A.
7.设定义在区间(),b b -上的函数()1lg 12ax
f x x
+=-是奇函数（a ，R b ∈，且2a ≠-），则b a 的取值范围是
A.(
B.
( C.( D.
(【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：由题意222111()()lg lg lg 0121214ax ax a x f x f x x x x +--+-=+==-+-，所以22
2
1114a x x
-=-，24a =，因为2a ≠-，所以2a =，由12012x x +>-得1122x -<<，所以1
02
b <≤，1212b a <≤，故选A ．
考点：函数的奇偶性．
【名师点晴】已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f （x ）±f （－x ）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
8.幂函数()0m
y x m =≠，当m 取不同的正数时，在区间[]0,1上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设
点(1,0)A ，(0,1)B ，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y x α=，y x β=的图象三等分，即有
BM MN NA ==，则αβ=（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】D 【解析】
【分析】求出,M N 的坐标，不妨设y x α=，y x β=，分别过12(,33M ，21(,)33
N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.
【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==，所以12(,33M ，21(,)33
N ，不妨设y x α=，y x β=，分别过12(,)33M ，21(,33
N ，
则2133α⎛⎫
= ⎪⎝⎭，1233β
⎛⎫= ⎪⎝⎭，则212333α
α
β⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭23αβ
⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1αβ=．故选：D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（）
A.2
1,04
x x x ∃∈-+
<R B.所有的正方形都是矩形
C.2,220x x x ∃∈++≤R
D.至少有一个实数x ，使310
x +=【答案】AC 【解析】
【分析】若该命题是真命题，则其否定为假命题，若该命题为全称量词命题，则其否定为特称量词命题.【详解】对A ：该命题的否定为2
1
,04
x x x ∀∈-+
≥R ，是全称量词命题，又2
2
11042x x x ⎛⎫
-+=-≥ ⎪⎝⎭
，故为真命题，故A 符合要求；
对B ：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B 不符合要求；对C ：该命题的否定为2,220x x x ∀∈++>R ，是全称量词命题，又()2
222110x x x ++=++>，故为真命题，故C 符合要求；
对D ：存在实数=1x -，使310x +=，故该命题为真命题，则其否定为假命题，故D 不符合要求.故选：AC.
10.已知0,0a b >>且1ab =则函数()x
f x a =与函数()lo
g b x x g =-的图像不可能是（
）
A. B. C. D.
【答案】ACD 【解析】
【分析】先根据题干讨论,a b 的取值范围，然后根指对函数图像的性质判断即可.【详解】0,0a b >>且1ab =，分类讨论有：情况一：01,1a b <<>时：
先讨论()f x ，当()01x
a f x a <<⇒=单减，
此时C 选项满足()f x ，此时D 选项不满足()f x ；现在讨论()g x ，当()1b g x >⇒单减，
此时C 选项不满足()g x ，此时D 选项满足()g x ；综上所述：CD 选项不可能；
情况二：1a b ==时：这种情况直接舍去，因对0b >且1b ≠；情况三：1,01a b ><<时：
先讨论()f x ，当()1x
a f x a =⇒=单增，此时AB 选项满足()f x ，
现在讨论()g x ，当()01b g x <<⇒单增，此时B 选项满足()g x ，综上所述：B 选项是有可能正确的；
对于A 选项的对数图像显然不在定义域内，故也是不可能的.综上所述：图像不可能是ACD 选项.故选：ACD .
11.若()()
2
lg 21f x x ax a =-++在区间(],1-∞上递减，则a 的取值可以是（
）A .
1
B.1.5
C.2
D.3
【答案】AB 【解析】
【分析】利用复合函数同增异减的性质，求出参数a 需要满足的不等式，解不等式即可求得结果.【详解】设()2
21g x x ax a =-++，可知函数()g x 在(],a -∞上单调递减，
又函数lg y x =在定义域内单调递增；
由复合函数单调性可知需满足()1
10a g ≥⎧⎨>⎩
，解得12a ≤<；
所以a 的取值可以是1或1.5.故选：AB
12.下列说法正确的是（）
A.1
(0)x x
x
+>的最小值是2
B.
2
C.
2
的最小值是2
D.4
23x x
--
的最大值是2-【答案】AB 【解析】
【分析】根据均值不等式判断A ，根据20x ≥判断B ，根据均值不等式判断C ，取特殊值判断D.
【详解】因为0x >，所以12x x +
≥=，当且仅当1x x =时，即1x =时等号成立，故A 正确；
2
=≥0x =，故B 正确；
2
2=≥==
时，即
23x =-，无解，等号不成立，故C 错误；
因为423x x --中，令=1x -时，4
2392x x
--=>-423x x --的最大值不是2-，故D 错误.故选：AB
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数()6log 4a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________．【答案】()5,6【解析】
【分析】利用对数函数图象过定点求解即得.
【详解】函数()6log 4a y x =+-中，当41x -=，即5x =时，log (4)a x -的值恒为0，即恒有6y =，所以函数()6log 4a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过点()5,6.故答案为：()
5,614.计算sin810tan1125cos420++ 的结果是__________．【答案】5
2
##2.5【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据三角函数的诱导公式，可得：原式(
)()()
sin 236090
tan 3360
45cos 36060=⨯++⨯+++
15sin90tan45cos601122
=++=++
= .故答案为：
52
.
15.已知1)f x +=-()f x =_________.【答案】()
2
430x x x -+≥【解析】
1(1)t t +=≥21(1)t x t =-=-，，进而可得出()f x 的解析式.
1(1)t t +=≥21(1)t x t =-=-，，
由1)f x +=-
得()f t =22(1)2(1)=43t t t t ----+(1t ≥)，即
2()43f x x x =-+(0x ≥).
故答案为：243(0)x x x -+≥.
16.已知函数()()()2
,2
3522,2
x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为__________．
【答案】53⎫⎪⎭
【解析】
【分析】结合分段函数、指数函数与二次函数性质即可得.【详解】由函数()f x 是R 上的单调递增函数，故x y a =在2x >时单调递增，即1a >，
()()2
3522y a x =--+在2x ≤时单调递增，即350a -<，解得53
a <
，且()()2
2352222a a ≥--+=
，即a ≥
或a ≤，
综上可得53a ≤<
，即53a ⎫∈⎪⎭.
故答案为：53⎫⎪⎭.四、解答题：本题共6小题，共70分．
17.计算求值：（1）(
)()()
52111
13
3
6
6
22
236a b
a b a b -÷（2）()()2439log 3log 9log 2log 2+-【答案】（1）b -（2）1【解析】
【分析】（1）以实数指数幂的运算规则解之即可；（2）以对数运算规则解之即可.【小问1详解】
()()()5211113
3
6
6
2
2
236a b a b a b -÷()511211236
326
236a
b
b +-=⨯-÷=-⎡⎤⎣⎦．
【小问2详解】
()()2439log 3log 9log 2log 2+-()()
2
22232
3log 3log 3log 2log 2=+-()22332311log 3log 3log 2log 22log 3log 21
22⎛⎫
=+-=⨯= ⎪⎝⎭18.已知集合{
}
2
120A x
x x =--≤∣，{}
121B x a x a =-≤≤+∣．（1）当2a =时，求A B ⋃；
（2）若A B ⋂=∅，求实数的a 取值范围．【答案】（1）[]
3,5A B È=-（2）2a <-或5a >【解析】
【分析】（1）化简集合A ，B,利用并集运算求解；’（2）分B =∅和B ≠∅两种情况，利用集合间关系列不等式求解.
【小问1详解】
由题意{}
[]2
1203,4A x
x x =--≤=-∣，当2a =时，[]1,5B =，[]
3,5A B ∴⋃=-【小问2详解】
A B =∅ ，∴当B =∅时，121a a ->+，解得2a <-，满足题意
当B ≠
∅时，得121213a a a -≤+⎧⎨
+<-⎩或12114a a a -≤+⎧⎨->⎩
解得5
a >综上所述：2a <-或5
a >19.若不等式2(1)460a x x --+>的解集是{31}x x -<<．（1）解不等式22(2)0x a x a +-->；
（2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．【答案】（1）{
1x x <-或}
3
2
x >（2）[]
6,6-【解析】
【分析】（1）由题意可得3-和1是方程2
(1)460a x x --+=的两个根，则有43116311a a ⎧
-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩
，求出a 的值，
然后解不等式22(2)0x a x a +-->即可，
（2）由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ，从而可得0∆≤，进而可求出b 的取值范围【小问1详解】
由题意得3-和1是方程2
(1)460a x x --+=的两个根，则有43116311a a ⎧
-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=
⎪-⎩
，解得3a =，
所以不等式22(2)0x a x a +-->化为2230x x -->，(1)(23)0x x +->，解得1x <-或3
2
x >
，所以不等式的解集为{
1x x <-或}
32
x >【小问2详解】
由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ，所以24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤，所以b 的取值范围为[]
6,6
-20.科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：
122x x y m -=⋅+（04x ≤≤，0m >）.
（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.
【答案】（1）经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）1
,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.【解析】
【分析】（1）将2m =代入函数解析式，令5y =，结合04x ≤≤解出x 的值；（2）令2222x
x y m =⋅+
≥，换元12,116x
t -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，于是得出22m t t +≥，由参变量分离法得出222m t t ≥-，
然后求出函数222y t t =-在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值，即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意，当2m =，令122222252
x x x x y -=⋅+=⋅+=，04x ≤≤Q 时，解得1x =，因此，经过1分钟时间，该物质的温度为5摄氏度；
（2）由题意得1222x x m -⋅+≥对一切04x ≤≤恒成立，
则由1222x x m -⋅+≥，得出22222x x m ≥
-，令2x t -=，则1116t ≤≤，且222m t t ≥-，构造函数()221122222
f t t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当12
t =时，函数()y f t =取得最大值12，则12m ≥.因此，实数m 的取值范围是1
,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】本题考查给定函数模型的应用，考查指数方程的求解以及指数不等式恒成立问题的求解，在含单一参数的不等式问题中，通常利用参变量分离法转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
21.已知函数()()R y f x x =∈,是奇函数，当0x ≥时，()2
2f x x x =-．（1）求()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 的单调性；
（3）若方程()f x m =有三个不同的根，求m 的取值范围．
【答案】（1）()2
2f x x x =--（2）()f x 的单调递减区间是[]1,1-，单调递增区间是(),1-∞-，()
1,+∞（3）()
1,1-【解析】
【分析】（1）根据题意，利用函数()f x 为奇函数，结合()()f x f x -=-，即可求解；
（2）作出函数()f x 的图象，结合图象，即可得到函数()f x 的单调区间；
（3）根据题意，转化为函数()y f x =与y m =的图象有三个不同的交点，结合图象，即可求解.
【小问1详解】
解：设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，()2
2f x x x =-，可得()()22
()22f x x x x x -=---=+，又因为函数()y f x =是奇函数，所以()()22f x f x x x -=-=+，即()22f x x x =--，
所以函数()f x 的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
.【小问2详解】
解：作出函数()f x 的图象，如图所示：
可得()f x 的单调递减区间是[]1,1-，单调递增区间是(),1-∞-，()
1,+∞【小问3详解】
解：要使得方程()f x m =有三个不同的根，
即函数()y f x =与y m =的图象有三个不同的交点，
如图所示，可得11m -<<，即m 的取值范围是()1,1-．
22.已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，
又()213
f =-．（1）求证()f x 为奇函数；
（2）求证：()f x 为R 上的减函数；
（3）解关于x 的不等式：
()()()()11222f bx f x f bx f b ->-．（其中2b >）【答案】22.证明见解析
23.证明见解析24.2,2b b -⎛⎫-∞ ⎪-⎝
⎭【解析】【分析】（1）由赋值法利用奇函数定义即可证明函数()f x 为奇函数；
（2）利用函数单调性定义由2211210,x x x x x x =+-->即可得出证明；
（3）由()()()f x f y f x y +=+将不等式化简可得()12f bx b f bx x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，再由函数单调性以及2b >即可得22
b x b -<-.【小问1详解】
由题意()()()f x f y f x y +=+，
令0x y ==得()()()000f f f +=，可得()00f =；
再令x y =-得()()()00f x f x f +-==，
即对于任意x ∈R 都满足()()f x f x -=-，
所以()f x 为奇函数
【小问2详解】
令12x x <，则2211210,x x x x x x =+-->，
因此()()()()2211211f x f x x x f x x f x =+-=-+，
可得()()()21210
f x f x f x x -=-<所以()f x 为R 上的减函数；
【小问3详解】
()()()()11222f bx f x f bx f b ->-不等式化为：()()()12f bx f b f bx f x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭即可得()12f bx b f bx x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭
，
又()f x 为R 上的减函数，所以12
bx b bx x +<+，整理的()22b x b -<-，又2b >，即20b ->，解得22b x b -<-．则不等式的解集为2,2b b -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭.。