但形式由广义坐标的选取来确定哈密顿正则方程二

dH H dt t
也就是说，哈密顿函数H中不显含时间t， H 0 t 则有 dH H h 表示一积分常数 0 dt 广义能量守恒
由拉格朗日动力学可知
稳定约束：
H T V 体系机械能守恒
不稳定约束： H T2 T0 V 广义能量守恒
二、循环积分，可遗坐标
若哈密顿函数H 中不显含某一广义坐标
1
s s q L H L q p q 1 q q 1 q q s q L q L p p q q 1 q q 1 即在L和H中，若其一不含广义坐标 q 则另一必定也不 含有 q s
V mgq sin mgR sin mgC sin
1 MX 2 圆柱的动能包括质心的平动动能和绕 楔子的动能为 2 质心转动的转动动能
1 1 2 2 2 2 T mR m ( X q cos ) q sin 4 2 1 1 2 2 2 mR m ( X R cos ) 2 R sin 4 2 3 1 mR 2 2 mX 2 mRX cos 4 2
哈密顿函数：
H p q L
1
s
哈密顿正则方程
H q p H p q
拉格朗日变量：q , q , t L(q , q , t )
s L L L dL dq dq dt t 1 q 1 q s
H L q q
H L t t
这些勒让德变换只是数学内容，考虑拉格朗日方程，
d L L 0 dt q q
L p q
则有
H q p H p q
一维弹簧振子的运动 • 哈密顿量 H=Ep+Ek
L T V
L pi qi
q
s p q p 1
( 1, 2,
, s)
p q L H p q L
1 1
s
s
H p q H q p
L L q dp dq dt t 1 1 q
s s
对比
s H H H dH dq dp dt t 1 q 1 p s
可得
H q p
H L q q
H L t t
s q L p p q q 1 s
s q L p p 1 p
p p q q 1 q 1
s
q
p p q q p 1 p 1
s s
从量纲来分析：
2 q q [q q ] [q ][ ] [ ] t t L L [q p ] [ ][q ] [ q ] [ Lt ] q q / t
能量×时间 =作用量
1. 哈密顿正则方程
一、正则方程 完整、保守的系统，动力学方程为拉格朗日方程 d L L 0 dt q q 是广义坐标的二阶微分方程，可改写为 L p q 2s个一阶微分方程作为系统的 广义动量定义为 动力学方程 L p q
圆柱体可在楔子的斜面上滚动. 把圆柱轴相对于楔子斜面上端 并沿斜边计算的坐标记作q,把圆柱某根半径与竖直向下之间的 夹角记作, 无滑动这个约束条件可写为
q R
这个运动约束可以积分为
q R C
故,这是一个完整约束, q 和 不独立. 这个系统有两个自由度,可 以选 x 和 是两个独立的广义坐标. 主动力都是重力. 圆柱体的势能
例1 质量为M的楔子置于光滑的水平桌面上. 楔子底面 也是光滑的, 斜面却是粗糙的, 质量为m, 半径为R的圆 柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下. 求解楔子和圆柱体的 运动.
解 楔子可在水平方向运动. 取桌面上 的固定点O为原点, 把楔子的质心(其实 不一定要质心，改为楔子的任一点也 行)相对于O点的水平坐标记作X.
由勒让德变换给出正则方程：
拉格朗日变量：q , q , t L(q , q , t ) 哈密顿变量： q , p , t H [q , p , t ]
H p q L
1
s
新函数
新的 不要的 旧函数 独立 原独立 变量 变量
根据前面我们 H 得到的勒让德 q p 变换有：
s q L p p 1 p
q , p , t H [q , p , t ]
H p q H q p
三、勒让德变换
两个自变量的函数 f ( x, y) f f df dx dy udx vdy x y
f u x f v y
用广义坐标和广义动量来代替广义坐标和广义速度 L(q, q, t ) L[q, q(q, p), t ] L (q, p, t )
从广义动量的定义 p
L q
解出广义速度 q q (q, p, t )( 1, 2,
, s)
L (q, p, t ) L[q, q(q, p, t ), t ]
H 0 q
则由正则方程，立即有
H p 0 q
也就是
p Const.
这就是哈密顿动力学中的广义动量守恒原理
广义动量守恒原理的条件： 拉格朗日动力学：拉格朗日函数中不显含某一广义坐标
哈密顿动力学：哈密顿函数中不显含某一广义坐标 这两个条件实际上是等价的
H q, p, t p q L q, q q, p, t , t
因此
g g dg du dy u y
g x u f g v y y
旧独立变量 x, y 新独立变量 u, y
g x u f g v y y
不要的原独立变量=
新函数 新独立变量 新函数 新独立变量 旧函数 =保留的不独立变量 =新的不独立变量
§4 哈密顿动力学
1 正则方程 2 守恒原理 3 泊松括号和泊松定理 4 刘维定理 5 哈密顿原理 6 正则变换 7 哈密顿—雅可比原理
拉格朗日动力学
q ( 1, 2, q ( 1, 2,
, s) , s) , s) , s)
哈密顿动力学
q ( 1, 2, p ( 1, 2,
哈密顿变量： q , p , t H [q , p , t ]
s H H H dH dq dp dt t 1 q 1 p s
H p q L
1
s
dH p dq q dp dL
s s L L L p dq q dp dq dq dt t 1 1 1 q 1 q s s
s
不含于L或H 的广义坐标 q 称为可遗坐标 可遗坐标对应的广义动量 p 守恒 若体系某一广义动量守恒，给问题的求解带来方便，这 在拉格朗日动力学和哈密顿动力学中是相同的，但在哈 密顿动力学中更适合于处理可遗坐标；
拉格朗日函数中虽然可以含有可遗坐标 q ，但是可以 含有相应的广义速度 q ，问题仍然是s个自由度； 而哈密顿函数中，不仅不含有可遗坐标 q ，而相应的 广义动量 p 是个常数，因此这一自由度相当于已经解 出，只要求解其他自由度即可。 可见在哈密顿动力学中可遗坐标才是正真的可以忽略 想一想：为什么不讨论L中不显含 q ，或H中不显含 p 的问题？
四个变量之间的两个方程， 其中的2个是独立的
以u，y为独立变量，则 x x(u, y )
v v(u, y)
f ( x, y) f [ x(u, y), y] f (u, y)
构造一个新的函数
g xu f x(u, y)u f g (u, y ) dg xdu udx df xdu udx (udx vdy) xdu vdy
s L L L q q q 1 q q
s L L q p 1 q p
s q L p p q q 1
s q L p p 1 p
系统的动力学方程，但形式由广义坐标的选取来确定
H H q , p , t
对时间求微商：
s s dH H dq H dp H dt 1 q dt 1 p dt t 考虑正则方程 H H q p p q s H H H H H H dH t dt 1 q p p q t
原不独立变量= --
=
保留的独立变量
g x u g v y
将 f 换成 g 后
比 较
f u x f v y
第一式：u 与 x 对易 第二式：加负号 这种由一组独立变量(x,y)变为另一组独立变量(u,y) 的变换成为勒让德变换 勒让德变换指出：独立变量改变，相应的函数本身 随之改变，这样不独立变量仍可以用独立变量的偏 导数表示
H Ek E p mx 2 / 2 kx 2 / 2
p2 1 2 kx 2m 2 哈密顿正则方程： H p x 动量定义 p m H 牛顿第二定律 p kx x
p …广义动量 x…广义位移
mx kx
即： mx kx
0
哈密顿变量： q , p , t H [q , p , t ]
所以
1 3 2 L M m X mR 2 2 mRX cos mgR sin 2 4 pX L M m X mR cos X
按定义, 广义动量
L 3 p mRX cos mR 2 2 所以得到广义速度
d L L 考虑拉格朗日方程， 0 dt q q L d L dp p dt q dt q
H L p q q
因此有：
H q p H p q
H L t t
2. 守恒原理
一、能量积分 哈密顿量：
( 1, 2,
, s)
哈密顿正则方程
二、特性函数
q , q , t L(q , q , t )
d L L 0 dt q q
q , p , t L L[q , q (q, p, t ), t ]
s q L p p q q 1
s
s
1
1
s L L L dH p dq q dp dq dq dt t 1 1 1 q 1 q s s s s L L p dq q dp dq p dq dt t 1 1 1 q 1 s s s