近年届高考数学大一轮复习第2讲不等式选讲第2课时不等式的证明配套练习文北师大版(2021年整理)

2019届高考数学大一轮复习第2讲不等式选讲第2课时不等式的证明配套练习文北师大版
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第2课时不等式的证明
1．设不等式|2x－1|＜1的解集为M。

（1）求集合M;
（2)若a，b∈M,试比较ab＋1与a＋b的大小．
解（1)由｜2x－1｜＜1得－1＜2x－1＜1,
解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1｝．
（2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，
所以（ab＋1）－（a＋b）＝（a－1)(b－1）＞0.
故ab＋1＞a＋b.
2．已知a，b，c均为正实数，且互不相等,且abc＝1，求证:错误!＋错误!＋错误!
＜错误!＋错误!＋错误!.
证明法一∵a,b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1,
∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＜错误!＋错误!＋错误!＝错误!
＋错误!＋错误!。

∴错误!＋错误!＋错误!＜错误!＋错误!＋错误!。

法二∵错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!；
1
b
＋错误!≥2错误!＝2错误!；错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!.
∴以上三式相加，得错误!＋错误!＋错误!≥ 错误!＋错误!＋错误!.
又∵a，b，c互不相等,∴错误!＋错误!＋错误!＞错误!＋错误!＋错误!。

法三∵a，b,c是不等正数，且abc＝1，
∴1
a
＋
1
b
＋错误!＝bc＋ca＋ab＝错误!＋错误!＋错误!＞错误!＋错误!＋错误!＝
错误!＋错误!＋错误!。

∴a＋b＋错误!＜错误!＋错误!＋错误!。

3．（2017·衡阳二联)已知函数f（x）＝｜x－3｜.
（1)若不等式f（x－1）＋f(x）＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；
(2)若|a|＜1，｜b｜＜3，且a≠0,判断错误!与f错误!的大小，并说明理由．
解（1）因为f（x－1)＋f（x）＝｜x－4｜＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，
不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，
则1≥a即可,
所以实数a的取值范围是(－∞,1］．
(2）错误!＞f错误!。

证明：要证错误!＞f错误!，
只需证｜ab－3｜＞｜b－3a｜,
即证（ab－3）2＞(b－3a)2，
又（ab－3)2－(b－3a）2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)．
因为｜a｜＜1，|b｜＜3，所以(ab－3）2＞(b－3a）2成立,
所以原不等式成立．
4．(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
(1)求实数a，b的值;
（2）求错误!＋错误!的最大值．
解（1)由｜x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则错误!解得错误!
(2）错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!
≤错误!
＝2错误!＝4，
当且仅当错误!＝错误!，即t＝1时等号成立，
故(错误!＋错误!)max＝4.
5．（2015·全国Ⅱ卷）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：（1）若ab＞cd，则错误!＋错误!＞错误!＋错误!；
(2）错误!＋错误!＞错误!＋错误!是|a－b|＜|c－d｜的充要条件．
证明（1)因为(错误!＋错误!)2＝a＋b＋2错误!，(错误!＋错误!）2＝c＋d ＋2错误!，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得（错误!＋错误!）2＞(错误!＋错误!）2。

因此错误!＋错误!＞错误!＋错误!。

（2）①若|a－b｜＜|c－d｜,
则（a－b）2＜（c－d）2,
即(a＋b）2－4ab＜（c＋d）2－4cd。

因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd。

由(1）得错误!＋错误!＞错误!＋错误!。

②若错误!＋错误!＞错误!＋错误!，
则(a＋错误!)2＞(错误!＋错误!)2,
即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.
因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd，
于是(a－b）2＝（a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝（c－d)2.
因此｜a－b｜＜|c－d｜。

综上，错误!＋错误!＞错误!＋错误!是|a－b|＜｜c－d|的充要条件．6．已知a，b，c均为正实数．求证：
(1)（a＋b)(ab＋c2）≥4abc;
（2）若a＋b＋c＝3，则a＋1＋错误!＋错误!≤3错误!。

证明(1）要证（a＋b)（ab＋c2)≥4abc，
可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，
需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，
即证b（a－c）2＋a（c－b）2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，
由已知，上式显然成立，故不等式（a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立．
（2）因为a，b,c均为正实数，由不等式的性质知
错误!·错误!≤错误!＝错误!，当且仅当a＋1＝2时，取等号,错误!·错误!≤错误!＝错误!,当且仅当b＋1＝2时，取等号，错误!·错误!≤错误!＝错误!,当且仅当c＋1＝2时，取等号，
以上三式相加，得2(错误!＋错误!＋错误!)≤错误!＝6，
所以a＋1＋错误!＋错误!≤3错误!，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号．。